1、12 椭圆的简单性质第 1 课时 椭圆的简单性质学习目标 1.掌握椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.能根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点思考 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b) ，(a，b)，( a，b)，(a，b) 梳理 椭圆的简单性质焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1( ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 (c,0) (0，c)对称性 关于 x 轴，y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(a,0)，A 2(
2、a,0)，B1(0，b)，B 2(0，b)A1(0，a)，A 2(0，a)，B1(b,0)，B 2(b,0)范围 |x|a，| y|b |x|b，|y|a长轴、短轴 长轴 A1A2 的长为 2a，短轴 B1B2 的长为 2b知识点二 椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比 称为椭圆的离心率，记作 e .因为 ac，故椭圆离心率 e 的ca ca取值范围为(0,1)，当 e 趋近于 1 时，椭圆越扁，当 e 趋近于 0 时，椭圆越圆1椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点( )2椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 ac.( )3椭圆的离心率 e 越接近于 1，椭圆越圆( )4椭圆 1(ab0)的长轴长等
3、于 a.( )x2a2 y2b2类型一 椭圆的简单性质例 1 设椭圆方程 mx24y 24m( m0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标12及顶点坐标考点 椭圆的简单性质题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质解 椭圆方程化为标准形式为 1，且 e .x24 y2m 12(1)当 04 时，由 e ，解得 m ，所以椭圆的长轴长和短轴长分别为 ，4，m 4m 12 163 833焦点坐标为 F1 ，F 2 ，(0， 233) (0，233)顶点坐标为 A1 ，A 2 ，B 1(2,0)，B 2(2,0)(0， 433) (0，433)反思与感悟 解决椭圆的简单性质问题的方法是将所给方
4、程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义求椭圆的基本量跟踪训练 1 (1)椭圆 x2 1 的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为( )y2mA. B.14 12C2 D4考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何特征求参数答案 A解析 椭圆 x2 1 的焦点在 x 轴上，y2ma 21，b 2m，则 a1，b ，m又长轴长是短轴长的两倍，24 ，即 m .m14(2)对椭圆 C1： 1( ab0)和椭圆 C2： 1(ab0)的几何性质的表述正确的是( )x2a2 y2b2 y2a2 x2b2A范围相同 B顶点坐标相同C
5、焦点坐标相同 D离心率相同考点 椭圆的简单性质题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质答案 D解析 椭圆 C1： 1(ab0)的范围是axa，byb，顶点坐标是(a,0) ，x2a2 y2b2(a,0)，(0 ，b)，(0，b)，焦点坐标是( c,0)，(c,0)，离心率 e ；椭圆caC2： 1(ab0)的范围是aya，bxb，顶点坐标是(b,0) ，(b,0)，(0 ，a)，y2a2 x2b2(0，a)，焦点坐标是(0 ，c)，(0 ，c )，离心率 e ，只有离心率相同ca类型二 求椭圆的离心率命题角度 1 利用焦点三角形性质求椭圆的离心率例 2 椭圆 1(ab0)的两焦点为 F1，F 2，
6、以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分x2a2 y2b2正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_考点 椭圆简单性质的应用题点 求椭圆离心率的值答案 13解析 方法一 如图，DF 1F2 为正三角形，N 为 DF2 的中点，F 1NF 2N，|NF 2|c ，|NF 1| |F1F2|2 |NF2|2 c，4c2 c2 3由椭圆的定义可知|NF 1|NF 2|2a， c c2a，3e 1.ca 23 1 3方法二 在焦点NF 1F2 中 ，NF 1F230 ，NF 2F1 60，F 1NF290，由离心率公式和正弦定理，得e 2c2a |F1F2|NF1| |NF2| sin F1NF2si
7、n NF1F2 sin NF2F1sin 90sin 30 sin 60112 32 1.3反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到 a 与 c 的关系或利用 e 求解1 b2a2跟踪训练 2 设 F1，F 2 是椭圆 E： 1(ab0)的左、右焦点， P 为直线 x 上一点，x2a2 y2b2 3a2F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为( )A. B. C. D.12 23 34 45考点 椭圆简单性质的应用题点 求椭圆离心率的值答案 C解析 如图，设直线 x 交 x 轴于 D 点，3a2因为F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则有|F 1F2| F2
8、P|.因为PF 1F2 30，所以PF 2D 60，DPF 2 30，所以|DF 2| |F2P| |F1F2|，12 12即 c 2c，即 2c ，3a2 12 3a2即 ，ca 34所以椭圆的离心率为 e .34命题角度 2 利用 a，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围 )例 3 (1)设椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F2 作 x 轴的垂线与x2a2 y2b2C 相交于 A，B 两点，F 1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF 1B，则椭圆 C 的离心率为_考点 椭圆几简单何性质的应用题点 求椭圆离心率的值答案 33解析 直线 AB：x c ，代入
9、 1，x2a2 y2b2得 y ，b2a设 A ，B .(c，b2a) (c， b2a) ，1BFk b2a 0c c b2a2c b22ac直线 BF1：y0 (xc) ，b22ac令 x0，则 y ，b22aD ，k AD .(0， b22a)b2a b22ac 3b22ac由于 ADBF 1， 1，b22ac3b22ac3b 44a 2c2， b22ac，即 (a2c 2) 2ac，3 3 e2 2e 0，3 3e ， 2 4 43 323 2423e0，e . 2 423 223 33(2)若椭圆 1(a b0)上存在一点 M，使得F 1MF290(F 1，F 2 为椭圆的两个焦点)，
10、x2a2 y2b2则椭圆的离心率 e 的取值范围是_考点 椭圆简单性质的应用题点 求离心率的取值范围答案 22，1)解析 椭圆 1(ab0)，by b.x2a2 y2b2由题意知，以 F1F2 为直径的圆与椭圆至少有一个公共点，则 cb，即 c2b 2，所以 c2a 2c 2，所以 e21e 2，即 e2 .12又 0b0)，x2a2 y2b2由椭圆的对称性，知|B 1F| B2F|，又 B1FB 2F，B 1FB2 为等腰直角三角形，|OB 2|OF |，即 bc.|FA| ，10 5即 ac ，且 a2b 2c 2，10 5将上面三式联立，得Error!解得Error!所求椭圆方程为 1.
11、x210 y25反思与感悟 解决利用简单性质求椭圆的标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c 应满足的关系式，进而求出 a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论跟踪训练 4 如图，OFB ，ABF 的面积为 2 ，则以 OA 为长半轴，OB 为短半轴，6 3F 为一个焦点的椭圆方程为_考点 椭圆简单性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程答案 1x28 y22解析 设所求椭圆方程为 1(a b0)，x2a2 y2b2由题意知，|OF|c ，|OB|b，|BF| a.OFB ， ，a2b.6 bc 33S ABF |AF|BO| (ac)b12 12 (2b b)b2 ，
12、12 3 3解得 b22，则 a2b2 .2所求椭圆的方程为 1.x28 y221椭圆 25x29y 21 的范围为( )A|x| 5，|y| 3B|x| ，|y| 15 13C|x| 3，|y| 5D|x| ，|y|13 15考点 椭圆的简单性质题点 椭圆范围的简单应用答案 B解析 椭圆方程可化为 1，x2125y219所以 a ，b ，13 15又焦点在 y 轴上，所以|x| ，|y | .故选 B.15 132已知椭圆 C1： 1，C 2： 1，则( )x212 y24 x216 y28AC 1 与 C2 顶点相同BC 1 与 C2 长轴长相同CC 1 与 C2 短轴长相同DC 1 与
13、C2 焦距相等考点 椭圆的简单性质题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知，C 1 的顶点坐标为(2 ，0)，(0 ，2)，长轴长为 4 ，3 3短轴长为 4，焦距为 4 ；C 2 的顶点坐标为(4,0)，(0 ，2 )，长轴长为 8，短轴长为 4 ，2 2 2焦距为 4 .故选 D.23若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6，则椭圆的方程为( )A. 1x29 y216B. 1x225 y216C. 1 或 1x225 y216 x216 y225D以上都不对考点 椭圆简单性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程答案 C解析 由 2a2
14、b18,2c6，c 2a 2b 2，得 a5，b4，椭圆方程为 1 或 1.x225 y216 x216 y2254. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是( 10,0)，则焦点坐标为_考点 椭圆简单性质的应用题点 由椭圆的几何特征求参数答案 (0， )69解析 由题意知椭圆焦点在 y 轴上，且 a13，b10，则 c ，故焦点坐标为a2 b2 69(0， )695已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率为_考点 椭圆简单性质的应用题点 求椭圆离心率的值答案 45解析 根据题意得 2b6，ac9 或 ac9(舍去
15、)又因为 a2b 2c 2，所以 a5，c4，故 e .ca 451已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量” ，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距3与椭圆 1 有相同焦点的椭圆可设为 1.x2a2 y2b2 x2a2 m y2b2 m4求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用一、选择题1已知焦点在 y 轴上的椭圆 y 21，其离心率为 ，则实数 m 的值是( )x2m 32A4 B.14C4 或 D.1
16、4 12考点 椭圆简单性质的应用题点 由椭圆的几何特征求参数答案 B解析 焦点在 y 轴上，a 21，b 2m ，e ，ca 1 b2a2 1 m 32m .142焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 ，则椭圆的方程为( )5A. 1 B. 1x236 y216 x216 y236C. 1 D. 1x26 y24 y26 x24考点 椭圆简单性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程答案 A解析 依题意得 c2 ，a b10，又 a2b 2c 2，从而解得 a6，b4.5所以所求椭圆的方程为 1.x236 y2163椭圆的短轴长等于 2，长轴端点与短轴端点间的距离等于 ，则此椭圆
17、的标准方程是( )5A. y 22x24Bx 2 1y24C. y 21 或 x2 1x24 y24D4x 2y 21考点 椭圆的性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程答案 C解析 由题意知 2b2，且 a2b 25，得 a2 且 b1，由于椭圆焦点所在的位置不定，所以椭圆的标准方程为 y 21 或 x2 1.x24 y244中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 ，且过点(2,0) 的椭圆的方程是( )32A. y 21x24B. y 21 或 x2 1x24 y24Cx 2 4y21Dx 24y 24 或 4x2y 216答案 D解析 若焦点在 x 轴上，则 a2.又 e ，c .32 3b
18、 2a 2c 21，方程为 y 21，即 x2 4y24.x24若焦点在 y 轴上，则 b2.又 e ， 1 ，32 b2a2 34 14a 24b 216，方程为 1，即 4x2y 216.x24 y2165直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭14圆的离心率为( )A. B.13 12C. D.23 34考点 椭圆的性质的应用题点 求椭圆的离心率的值答案 B解析 如图，|OF 1|c ，|OB|b，则|BF 1|a，设原点到 l 的距离为 d，则 adbc ，d ，bca又 d 2b，则 b，14 bca 12e .ca 126已知椭圆 C：
19、 1(ab0)的左、右焦点为 F1，F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交x2a2 y2b2 33C 于 A，B 两点若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为( )3A. 1 B. y 21x23 y22 x23C. 1 D. 1x212 y28 x212 y24考点 椭圆的性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程答案 A解析 由 e 得 .33 ca 33AF 1B 的周长为 4 ，由椭圆定义，3得 4a4 ，得 a .3 3代入得 c1，b 2a 2c 22，C 的方程为 1.x23 y227从椭圆 1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x
20、 轴x2a2 y2b2正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A. B.24 12C. D.22 32考点 椭圆性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 C解析 由题意可设 P(c，y 0)(c 为半焦距)，则 kOP ，k AB ，y0c baOPAB， ，即 y0 .y0c ba bca把 P 代入椭圆方程，得 1，( c，bca) c2a2 (bca)2b2 2 ，e .(ca) 12 ca 228已知椭圆 1 上有一点 P，F 1，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，若F 1PF2 为直角三x24 y22角形，则这样的点 P 有(
21、)A3 个 B4 个C6 个 D8 个考点 椭圆几何性质的应用题点 椭圆对称性的应用答案 C解析 当PF 1F2 为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点 P 有 2 个；同理当PF 2F1 为直角时，这样的点 P 有 2 个；当点 P 为椭圆的短轴端点时，F 1PF2 最大，且为直角，此时这样的点 P 有 2 个故符合要求的点 P 共有 6 个故选 C.二、填空题9已知椭圆的短半轴长为 1，离心率 0b0)的左顶点为 A，左焦点为x2a2 y2b2F，上顶点为 B，若BAO BFO 90，则椭圆的离心率是_考点 椭圆性质的应用题点 求椭圆离心率的值答案 5 12解析 BAOBFO 90，BAO
22、FBO，tanBAOtanFBO，即 ，得 b2ac，ba cba 2c 2ac，即 e2e10，0b0)的左、右焦点， A 是椭圆上位于第一象限内的一点，x2a2 y2b2若 0，椭圆的离心率等于 ，AOF 2 的面积为 2 ，求椭圆的方程AF2 F1F2 22 2考点 椭圆性质的应用题点 椭圆性质的综合应用解 如图， 0，AF2 F1F2 AF 2F 1F2.椭圆的离心率 e ，ca 22b 2 a2.12设 A(x，y)(x0，y0)，由 AF2F 1F2 知 xc，A(c，y)代入椭圆方程得 1，c2a2 y2b2y .b2aAOF 2 的面积为 2 ，2 cy2 .2AOFS12 2
23、即 c 2 .12 b2a 2 ，b 28，ca 22a 22b 216，椭圆方程为 1.x216 y28四、探究与拓展14.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2 为椭圆顶点，F 2 为右焦点，延长 B1F2 与 A2B2 交于点 P，若B 1PB2 为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( )A. B.(5 22 ，1) (0，5 22 )C. D.(0，5 12 ) ( 5 12 ，1)考点 椭圆简单性质的应用题点 求离心率的取值范围答案 C解析 B 1PB2 为 与 的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距的长度分别为A2B2 F2B1 a，b，c，则
24、(a，b)， ( c ，b) ，A2B2 F2B1 当向量的夹角为钝角时， 0，不等式两边同除以 a2，得 1ee 20，即 e2e1b0)，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，x2a2 y2b2直线 AF2 交椭圆于另一点 B(如图)(1)若F 1AB90，求椭圆的离心率；(2)若 2 ， ，求椭圆的方程AF2 F2B AF1 AB 32考点 椭圆简单性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)若F 1AB90，则 AOF2 为等腰直角三角形，所以有 OAOF 2，即 bc .所以 a c， e .2ca 22(2)由题意知 A(0，b)，F 1(c,0)，F 2(c,0)其中 c ，设 B(x，y) a2 b2由 2 ，得(c，b) 2( xc，y)，AF2 F2B 解得 x ，y ，即 B .3c2 b2 (3c2， b2)将 B 点坐标代入 1，得 1，x2a2 y2b2 94c2a2 b24b2即 1，解得 a23c 2.9c24a2 14又由 (c，b) ，AF1 AB (3c2， 3b2) 32即 b2c 21，即有 a22c 21.由解得 c21，a 23，从而有 b22.所以椭圆方程为 1.x23 y22