1、11 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形知识点一 椭圆的定义思考 给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆梳理 (1)定义平面内到两个定点 F1，F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点 F1，F 2 叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F 2 间的距离叫作椭圆的焦距(2)椭圆的集合表示设 M 为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点
2、为 F1，F 2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点 M 的集合，表示为M |MF1|MF 2|2a,2a|F 1F2|，a 为常数知识点二 椭圆的标准方程思考 椭圆方程中，a，b 以及参数 c 有什么几何意义，它们满足什么关系？答案 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半a，b，c 始终满足关系式 a2b 2c 2.梳理 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1( ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 F1(c,0)，F 2(
3、c,0) F1(0， c)，F 2(0，c)a，b， c 的关系 c2a 2b 21到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆( )2椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关( )3椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备 a2b 2c 2.( )类型一 椭圆的标准方程命题角度 1 求椭圆的标准方程例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点 A(0,2)，B ；(12，3)(2)经过点(3 ， )，且与椭圆 1 有共同的焦点15x225 y29考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)当焦点在 x 轴上时，可设
4、椭圆的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2点 A(0,2)，B 在椭圆上，(12，3)Error!解得Error!这与 ab 相矛盾，故应舍去当焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 1(a b0)，y2a2 x2b2点 A(0,2)，B 在椭圆上，(12，3)Error!解得Error!椭圆的标准方程为 x2 1.y24综上可知，椭圆的标准方程为 x2 1.y24(2)椭圆 1 的焦点为(4,0) 和(4,0)，x225 y29可设椭圆的方程为 1(a b0)x2a2 y2b2由椭圆的定义可得2a ，3 42 15 02 3 42 15 022a12，即 a6.c4，b 2a 2
5、c 26 24 220，椭圆的标准方程为 1.x236 y220反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程(2)待定系数法先确定焦点位置；设出方程；寻求 a，b，c 的等量关系；求 a，b 的值，代入所设方程特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为 mx2ny 21(mn，m 0，n0)跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0， 2)，(0,2)，并且椭圆经过点 ；( 32，52)(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0) ；(3
6、)经过点 P(2 ，1)，Q( ，2)3 3考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知，2a ( 32)2 (52 2)2 ( 32)2 (52 2)22 ，10即 a .又 c2，10b 2a 2c 26.所求椭圆的标准方程为 1.y210 x26(2)椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2又椭圆经过点(0,2)和(1,0) ，Error!Error!所求椭圆的标准方程为 x 21.y24(3)设椭圆的方程为 mx2ny 21( m0，n0 ，且
7、 mn)，点 P(2 ，1)，Q ( ， 2)在椭圆上，3 3代入得Error!Error!所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25命题角度 2 由标准方程求参数或其取值范围例 2 若方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是_x2m y2m2 2考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 (0,1)解析 方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，x2m y2m2 2将方程改写为 1，y22 m2 x2m有Error!解得 0|F1F2|时，轨迹是椭圆；当 2a|F 1F2|时，轨迹是线段 F1F2；当 2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到
8、了简化运算的目的一、选择题1已知两定点 F1(1,0) ，F 2(1,0)，且|F 1F2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点 P 的轨迹方程是( )A. 1 B. 1x216 y29 x216 y212C. 1 D. 1x24 y23 x23 y24考点 求椭圆的标准方程题点 定义法求椭圆的标准方程答案 C解析 |F 1F2|是| PF1|和|PF 2|的等差中项，|PF 1| |PF2| 2|F1F2|2 24|F 1F2|.点 P 的轨迹应是以 F1，F 2 为焦点的椭圆c1，a2，b 2a 2c 23，动点 P 的轨迹方程为 1.x24 y232设 F1，F 2 是椭圆 1
9、 的焦点，P 为椭圆上一点，则 PF 1F2 的周长为( )x225 y29A16 B18 C20 D不确定答案 B解析 PF 1F2 的周长为| PF1|PF 2|F 1F2|2a2c.因为 2a10，c 4，25 9所以周长为 10818.3已知椭圆的焦点坐标为( 1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 ( )A. 1 B. y 21x24 y23 x24C. 1 D. x 21y24 x23 y24考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 A解析 c1，a ( )2，b 2a 2c 23，12 2 12 0 2 12 0椭圆的方程为 1.x24 y
10、234设椭圆 1(m1)上一点 P 到其左、右焦点的距离分别为 3 和 1，则 m 等于( )x2m2 y2m2 1A6 B3C2 D4考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 C解析 m 2m21，椭圆焦点在 x 轴上，am，则 2m314，m2.5椭圆 1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2， N 是 MF1 的中点，则|ON|等于( )x225 y29A2 B4C8 D.32考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 如图，F2 为椭圆右焦点，连接 MF2，则 ON 是F 1MF2 的中位线，|ON| |MF2|，又|MF 1|2，| MF1|
11、MF2|2a10，|MF 2|8，12|ON| 4.6设定点 F1(0，3) ，F 2(0,3)，动点 P 满足条件| PF1|PF 2|a (a0)，则点 P 的轨迹是( )9aA椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 D解析 a 2 6，9a a9a当且仅当 a ，即 a3 时取等号，9a当 a3 时，|PF 1| PF2|6|F 1F2|，点 P 的轨迹是线段 F1F2；当 a0 且 a3 时，| PF1|PF 2|6| F1F2|，点 P 的轨迹是椭圆7 “1b0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且 x2a2 y2b2 PF1 .若PF 1F2
12、的面积为 9，则 b_.PF2 考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 3解析 由椭圆定义，得|PF 1|PF 2|2a，|PF 1|2| PF2|22|PF 1|PF2|4a 2.又 ，PF1 PF2 |PF 1|2| PF2|2|F 1F2|2(2c) 24c 2，即 4c22|PF 1|PF2|4a 2，|PF 1|PF2| 2b2， |PF1|PF2| 2b2b 29，12PFSA12 12又b0，b3.三、解答题12求过点(0,4)且与椭圆 9x24y 236 有相同焦点的椭圆的方程考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 由 9x24y 236，得 1，x2
13、4 y29则 c ，9 4 5焦点在 y 轴上，设所求椭圆方程为 1(ab0)，y2a2 x2b2则 a4，b 2a 2c 211，所求椭圆方程为 1.x211 y21613已知椭圆的中心在原点，两焦点 F1，F 2 在 x 轴上，且过点 A(4,3)若 F1AF 2A，求椭圆的标准方程考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 设所求椭圆的标准方程为 1(a b0)x2a2 y2b2设焦点 F1(c,0)，F 2(c,0)(c0)F 1AF 2A， 0 ，F1A F2A 而 (4c,3)， (4c, 3)，F1A F2A (4c)( 4c )3 20，c 225，即 c5，F 1
14、(5,0)，F 2(5,0)2a|AF 1|AF 2| 4 52 32 4 52 32 4 .10 90 10a2 ，10b 2a 2c 2(2 )25 215.10所求椭圆的标准方程为 1.x240 y215四、探究与拓展14已知点 P 在椭圆上，且 P 到椭圆的两个焦点的距离分别为 5,3.过 P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 方法一 设所求的椭圆方程为 1(a b0)或 1(ab0)，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知条件得Error!解得Error!所以 b2a 2c 212.于是所
15、求椭圆的标准方程为 1 或 1.x216 y212 y216 x212方法二 设所求的椭圆方程为 1(a b0)或 1(ab0)，两个焦点分别为x2a2 y2b2 y2a2 x2b2F1，F 2.由题意知 2a|PF 1| PF2|358，所以 a4.在方程 1 中，令 xc ，得|y| ；x2a2 y2b2 b2a在方程 1 中，令 yc ，得|x| .y2a2 x2b2 b2a依题意有 3，得 b212.b2a于是所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x216 y212 y216 x21215已知椭圆 1(ab0)的焦点分别为 F1(0，1)，F 2(0,1)，且 3a24b 2.y2a2 x2b2(1)求椭圆的方程；(2)设点 P 在这个椭圆上，且|PF 1|PF 2|1，求F 1PF2 的余弦值考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题解 (1)由题意得椭圆焦点在 y 轴上，且 c1.又3a 24b 2，a 2b 2 a2c 21，14a 24，b 23，椭圆的标准方程为 1.y24 x23(2)如图所示，| PF1|PF 2|1.又由椭圆定义知，|PF 1| PF2|4，|PF 1| ，| PF2| ，|F 1F2|2，52 32cos F 1PF2 .522 322 2225232 35