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2019年北师大版数学选修1-1讲义:1.2.3 充要条件

1、23 充要条件学习目标 1.了解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习,弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断知识点一 充要条件的概念思考 若设 p:整数 a 是 6 的倍数,q:整数 a 是 2 和 3 的倍数,则 p 是 q 的什么条件?q是 p 的什么条件?答案 因为 pq 且 qp,所以 p 是 q 的充分条件也是必要条件;同理,q 是 p 的充分条件,也是必要条件梳理 一般地,如果既有 pq,又有 qp,就记作 pq.此时,我们说,p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件知识点二 充要条件的判断1由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件若原命题为

2、“若 p,则 q”,则逆命题为“若 q,则 p”,那么 p 与 q 有以下四种情形:原命题 逆命题 条件 p 与结论 q 的关系 结论真 假 pq,但 q p p 是 q 成立的充分不必要条件假 真 qp,但 pq p 是 q 成立的必要不充分条件真 真 pq,qp,即 pq p 是 q 成立的充要条件假 假 pq,qp p 是 q 成立的既不充分又不必要条件由上表可得充要条件的判断方法:原命题和逆命题均为真命题,p 才是 q 的充要条件2从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若 AB,则 p 是 q 的充分条件,若 AB,则 p 是 q的充分不必要条件若 BA,则 p 是 q 的必要条

3、件,若 BA,则 p 是 q的必要不充分条件若 AB,则 p,q 互为充要条件若 AB 且 BA,则 p 既不是 q 的充分条件,也不是q 的必要条件其中 p:A x|p(x)成立,q:Bx|q(x)成立 1 “两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要不充分条件( )2若命题“若 p,则 q”及其否命题都是真命题,则 pq.( )3若命题“若 p,则 q”及其逆命题都是假命题,则 pq,qp( )4若 p 是 q 的充要条件,则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题( )类型一 充要条件的判断例 1 下列各题中,p 是 q 的什么条件?(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)(1

4、)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形;(2)p:a 2b 20,q:ab0;(3)p:x1 或 x2,q:x 1 ;x 1(4)p:sin sin ,q: .考点 充要条件的判断题点 识别四种条件解 (1)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形,四边形是矩形四边形的对角线互相平分,p 是 q 的必要不充分条件(2)a 2b 20 ab0 ab0,ab0a 2b 20,p 是 q 的充分不必要条件(3)当 x1 或 x2 时,可得 x1 成立,反过来,当 x1 时,可以推出x 1 x 1x1 或 x2,p 是 q 的充要条件(4)由 sin sin 不能推出 ,反过来由 也不能推出 si

5、n sin ,p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件则 p 是 q 的既不充分又不必要条件反思与感悟 充要条件的常用判断方法(1)命题判断法设“若 p,则 q”为原命题,那么:原命题为真,逆命题为假时,p 是 q 的充分不必要条件;原命题为假,逆命题为真时,p 是 q 的必要不充分条件;原命题与逆命题都为真时,p 是 q 的充要条件;原命题与逆命题都为假时,p 是 q 的既不充分又不必要条件(2)集合法若 p 与 q 确定的集合分别是 A,B,则当且仅当 AB 时,p 是 q 的充要条件跟踪训练 1 下列各题中,p 是 q 的什么条件?(1)p:a,b,c 三数成等比数列,q:b

6、;ac(2)p:yx4,q:x 1,y 3;(3)p:ab,q:2 a2b;(4)p:ABC 是直角三角形,q:ABC 为等腰三角形解 (1)若 a,b,c 成等比数列,则 b2ac,b ,则 pq;若 b ,当 a0,b0ac ac时,a,b,c 不成等比数列,即 qp,故 p 是 q 的既不充分又不必要条件(2)yx4 不能得出 x1,y 3,即 pq,而 x1,y3 可得 xy4,即 qp,故 p 是 q 的必要不充分条件(3)当 ab 时,有 2a2b,即 pq,当 2a2b时,可得 ab,即 qp,故 p 是 q 的充要条件(4)方法一 若ABC 是直角三角形不能得出ABC 为等腰三

7、角形,即 pq;若ABC 为等腰三角形也不能得出ABC 为直角三角形,即 qp,故 p 是 q 的既不充分又不必要条件方法二 如图所示,p,q 对应集合间无包含条件,故 p 是 q 的既不充分又不必要条件类型二 充要条件的探求与证明命题角度 1 探求充要条件例 2 求关于 x 的不等式 ax2ax 1a0 对一切实数 x 都成立的充要条件考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件解 充分性:当 00 对一切实数 x 都成立而当 a0 时,不等式 ax2ax1a0 化为 10.显然当 a0 时,不等式 ax2ax1a0 对一切实数 x 都成立必要性:因为 ax2ax 1a0 对一切实数 x 都

8、成立,所以 a0 或Error!解得 0a0 对一切实数 x 都成立的充要条件45反思与感悟 探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明“条件结论”和“结论条件” ,也可以寻求结论的等价命题,还可以先寻求结论成立的必要条件,再证明它也是其充分条件跟踪训练 2 “函数 yx 22x a 没有零点”的充要条件是 考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件答案 a0,方程一定有两个不等实根,设两实根为 x1,x 2,则 x1x2 0,即 ac0,若 p 是 q 的一个充分不必要条件,求 m 的取值范围考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求

9、参数范围解 由 3xm0 得,x 3.q:B x|x3pq 而 qp,A 是 B 的真子集, 1,m3m3,即 m 的取值范围是3,) 反思与感悟 首先应把 p 与 q 之间的关系转化为 p,q 确定的集合之间的包含关系,然后构建满足条件的不等式(组)求解同时要注意命题的等价性的应用跟踪训练 4 已知 p:xk ,q: 2,由题意知,x|xk x|x2,则 k2,k 的取值范围是(2 ,).1 “21 或 x1 或 x1 或 x1 或xb”是“a|b|”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 B解析

10、 由 a|b|ab,而 aba|b|.3已知向量 a(m 2,4),b(1,1) ,则“m 2”是“ab”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 A解析 当 m2 时,a(4,4),b(1,1),ab,当 ab 时,m 24,即 m2,故选 A.4直线 xym0 与圆(x1) 2(y1) 22 相切的充要条件是 考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件答案 m4 或 m0解析 圆心(1,1)到直线 xym0 的距离为 ,2即 ,|1 1 m|2 2解得 m4 或 m0.5设 nN ,一元二次方程

11、 x24xn0 有整数根的充要条件是 n .答案 3 或 4解析 由 16 4n0,得 n4,又 nN ,则 n1,2,3,4.当 n1,2 时,方程没有整数根;当 n3 时,方程有整数根 1,3,当 n4 时,方程有整数根 2.综上可知,n3 或 4.1充要条件的判断有三种方法:定义法、命题等价法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明要分充分性和必要性两方面来证明,在证明时要注意两种叙述方式的区别:p 是 q 的充要条件,则由 pq 证的是充分性,由 qp 证的是必要性;p 的充要条件是 q,则由 pq 证的是必要性,由 qp 证的是充分性(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再

12、证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件一、选择题1 “x,y 均为奇数”是“x y 为偶数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 A解析 当 x,y 均为奇数时,一定可以得到 xy 为偶数;但当 xy 为偶数时,不一定必有x,y 均为奇数,也可能 x,y 均为偶数2设 p:x1”是“数列 an为递增数列”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点 充要条件的概念及判断题点 充要条件的判断答案 D解析 当数列a n的首项 a1

13、1,则数列 an是递减数列;当数列a n的首项 a11”是“数列 an为递增数列”的既不充分又不必要条件故选 D.4设 a,b 是实数,则“ab”是“a 2b2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 D解析 aba 2b2,a2b2ab,ab 是 a2b2 的既不充分又不必要条件5函数 f(x)x 2mx1 的图像关于直线 x1 对称的充要条件是( )Am2 Bm2 Cm 1 Dm1考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件答案 A解析 f(x) x 2mx1 21 ,(x m2) m24f

14、(x)的图像的对称轴为 x ,由题意得 1,m2 m2m2.6已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 A解析 prs q,故 qp,否则 rp,故选 A.7 “不等式 x2x m0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是 ( )Am B00 Dm 1考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数答案 C解析 不等式 x2x m0 在 R 上恒成立,则 14m

15、 ,14结合各选项,可知“不等式 x2xm 0 在 R 上恒成立” 的一个必要不充分条件是 m0.8在下列三个结论中,正确的有( )x 24 是 x34x2 或 x2 或 x2 或 x4 是 x3b”是“3 a3b”的充分不必要条件;“”是“cos b”是“3 a3b”的充要条件,故错误;2 ,则 cos 2cos ,cos ,32 32“”是“cos 5,Px|(xa)(x 8)0(1)求实数 a 的取值范围,使它成为 MPx|5x 8 的充要条件;(2)求实数 a 的一个值,使它成为 MPx|5x 8 的一个充分不必要条件;(3)求实数 a 的取值范围,使它成为 MPx|5x 8 的一个必

16、要不充分条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数解 由 MP x|5x8知, a8.(1)MPx|5x 8的充要条件是3a5.(2)MPx|5x 8的充分不必要条件,显然,a 在3,5中任取一个值都可以(3)若 a5,显然 MP5 ,3) (5,8 是 MPx |5x8 的必要不充分条件故 a3 为必要不充分条件四、探究与拓展14已知 p: 0,q:4 x2 xm0,p 是 q 的充分条件,则实数 m 的取值范围是( )x 1xA6,) B( ,2 2C2,) D(2 ,)2考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的

17、范围答案 A解析 由 0,得 0x1,即 p:0x1.x 1x由 4x2 xm0,得 4x2 xm.因为 4x 2x(2 x)22 x 2 ,(2x 12) 14要使 p 是 q 的充分条件,则当 0x1 时,m 大于等于 4x2 x的最大值,又当 x1 时,4 x2 x有最大值 6,所以 m6.故选 A.15求关于 x 的方程 ax22x10 至少有一个负的实根的充要条件解 当 a0 时,x ,符合题意12当 a0 时,显然方程没有零根若方程有两个异号实根,则 a0.若方程有两个负的实根,则必须满足Error!解得 0a1.综上,若方程至少有一个负的实根,则 a1.反之,若 a1,则方程至少有一个负的实根,所以关于 x 的方程 ax22x 10 至少有一个负的实根的充要条件是 a1.