1、23 充要条件学习目标 1.了解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断知识点一 充要条件的概念思考 若设 p：整数 a 是 6 的倍数，q：整数 a 是 2 和 3 的倍数，则 p 是 q 的什么条件？q是 p 的什么条件？答案 因为 pq 且 qp，所以 p 是 q 的充分条件也是必要条件；同理，q 是 p 的充分条件，也是必要条件梳理 一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件知识点二 充要条件的判断1由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件若原命题为
2、“若 p，则 q”，则逆命题为“若 q，则 p”，那么 p 与 q 有以下四种情形：原命题 逆命题 条件 p 与结论 q 的关系 结论真 假 pq，但 q p p 是 q 成立的充分不必要条件假 真 qp，但 pq p 是 q 成立的必要不充分条件真 真 pq，qp，即 pq p 是 q 成立的充要条件假 假 pq，qp p 是 q 成立的既不充分又不必要条件由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p 才是 q 的充要条件2从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 AB，则 p 是 q的充分不必要条件若 BA，则 p 是 q 的必要条
3、件，若 BA，则 p 是 q的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为充要条件若 AB 且 BA，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件其中 p：A x|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立 1 “两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要不充分条件( )2若命题“若 p，则 q”及其否命题都是真命题，则 pq.( )3若命题“若 p，则 q”及其逆命题都是假命题，则 pq，qp( )4若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题( )类型一 充要条件的判断例 1 下列各题中，p 是 q 的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)(1
4、)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：a 2b 20，q：ab0；(3)p：x1 或 x2，q：x 1 ；x 1(4)p：sin sin ，q： .考点 充要条件的判断题点 识别四种条件解 (1)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，p 是 q 的必要不充分条件(2)a 2b 20 ab0 ab0，ab0a 2b 20，p 是 q 的充分不必要条件(3)当 x1 或 x2 时，可得 x1 成立，反过来，当 x1 时，可以推出x 1 x 1x1 或 x2，p 是 q 的充要条件(4)由 sin sin 不能推出 ，反过来由 也不能推出 si
5、n sin ，p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件则 p 是 q 的既不充分又不必要条件反思与感悟 充要条件的常用判断方法(1)命题判断法设“若 p，则 q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p 是 q 的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p 是 q 的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时，p 是 q 的充要条件；原命题与逆命题都为假时，p 是 q 的既不充分又不必要条件(2)集合法若 p 与 q 确定的集合分别是 A，B，则当且仅当 AB 时，p 是 q 的充要条件跟踪训练 1 下列各题中，p 是 q 的什么条件？(1)p：a，b，c 三数成等比数列，q：b
6、；ac(2)p：yx4，q：x 1，y 3；(3)p：ab，q：2 a2b；(4)p：ABC 是直角三角形，q：ABC 为等腰三角形解 (1)若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac，b ，则 pq；若 b ，当 a0，b0ac ac时，a，b，c 不成等比数列，即 qp，故 p 是 q 的既不充分又不必要条件(2)yx4 不能得出 x1，y 3，即 pq，而 x1，y3 可得 xy4，即 qp，故 p 是 q 的必要不充分条件(3)当 ab 时，有 2a2b，即 pq，当 2a2b时，可得 ab，即 qp，故 p 是 q 的充要条件(4)方法一 若ABC 是直角三角形不能得出ABC 为等腰三
7、角形，即 pq；若ABC 为等腰三角形也不能得出ABC 为直角三角形，即 qp，故 p 是 q 的既不充分又不必要条件方法二 如图所示，p，q 对应集合间无包含条件，故 p 是 q 的既不充分又不必要条件类型二 充要条件的探求与证明命题角度 1 探求充要条件例 2 求关于 x 的不等式 ax2ax 1a0 对一切实数 x 都成立的充要条件考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件解 充分性：当 00 对一切实数 x 都成立而当 a0 时，不等式 ax2ax1a0 化为 10.显然当 a0 时，不等式 ax2ax1a0 对一切实数 x 都成立必要性：因为 ax2ax 1a0 对一切实数 x 都
8、成立，所以 a0 或Error!解得 0a0 对一切实数 x 都成立的充要条件45反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件” ，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件跟踪训练 2 “函数 yx 22x a 没有零点”的充要条件是 考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件答案 a0，方程一定有两个不等实根，设两实根为 x1，x 2，则 x1x2 0，即 ac0，若 p 是 q 的一个充分不必要条件，求 m 的取值范围考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求
9、参数范围解 由 3xm0 得，x 3.q：B x|x3pq 而 qp，A 是 B 的真子集， 1，m3m3，即 m 的取值范围是3，) 反思与感悟 首先应把 p 与 q 之间的关系转化为 p，q 确定的集合之间的包含关系，然后构建满足条件的不等式(组)求解同时要注意命题的等价性的应用跟踪训练 4 已知 p：xk ，q： 2，由题意知，x|xk x|x2，则 k2，k 的取值范围是(2 ，).1 “21 或 x1 或 x1 或 x1 或xb”是“a|b|”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 B解析
10、 由 a|b|ab，而 aba|b|.3已知向量 a(m 2,4)，b(1,1) ，则“m 2”是“ab”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 A解析 当 m2 时，a(4,4)，b(1,1)，ab，当 ab 时，m 24，即 m2，故选 A.4直线 xym0 与圆(x1) 2(y1) 22 相切的充要条件是 考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件答案 m4 或 m0解析 圆心(1,1)到直线 xym0 的距离为 ，2即 ，|1 1 m|2 2解得 m4 或 m0.5设 nN ，一元二次方程
11、 x24xn0 有整数根的充要条件是 n .答案 3 或 4解析 由 16 4n0，得 n4，又 nN ，则 n1,2,3,4.当 n1,2 时，方程没有整数根；当 n3 时，方程有整数根 1,3，当 n4 时，方程有整数根 2.综上可知，n3 或 4.1充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明要分充分性和必要性两方面来证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：p 是 q 的充要条件，则由 pq 证的是充分性，由 qp 证的是必要性；p 的充要条件是 q，则由 pq 证的是必要性，由 qp 证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再
12、证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件一、选择题1 “x，y 均为奇数”是“x y 为偶数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 A解析 当 x，y 均为奇数时，一定可以得到 xy 为偶数；但当 xy 为偶数时，不一定必有x，y 均为奇数，也可能 x，y 均为偶数2设 p：x1”是“数列 an为递增数列”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点 充要条件的概念及判断题点 充要条件的判断答案 D解析 当数列a n的首项 a1
13、1，则数列 an是递减数列；当数列a n的首项 a11”是“数列 an为递增数列”的既不充分又不必要条件故选 D.4设 a，b 是实数，则“ab”是“a 2b2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 D解析 aba 2b2，a2b2ab，ab 是 a2b2 的既不充分又不必要条件5函数 f(x)x 2mx1 的图像关于直线 x1 对称的充要条件是( )Am2 Bm2 Cm 1 Dm1考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件答案 A解析 f(x) x 2mx1 21 ，(x m2) m24f
14、(x)的图像的对称轴为 x ，由题意得 1，m2 m2m2.6已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 识别四种条件答案 A解析 prs q，故 qp，否则 rp，故选 A.7 “不等式 x2x m0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是 ( )Am B00 Dm 1考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数答案 C解析 不等式 x2x m0 在 R 上恒成立，则 14m
15、 ，14结合各选项，可知“不等式 x2xm 0 在 R 上恒成立” 的一个必要不充分条件是 m0.8在下列三个结论中，正确的有( )x 24 是 x34x2 或 x2 或 x2 或 x4 是 x3b”是“3 a3b”的充分不必要条件；“”是“cos b”是“3 a3b”的充要条件，故错误；2 ，则 cos 2cos ，cos ，32 32“”是“cos 5，Px|(xa)(x 8)0(1)求实数 a 的取值范围，使它成为 MPx|5x 8 的充要条件；(2)求实数 a 的一个值，使它成为 MPx|5x 8 的一个充分不必要条件；(3)求实数 a 的取值范围，使它成为 MPx|5x 8 的一个必
16、要不充分条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数解 由 MP x|5x8知， a8.(1)MPx|5x 8的充要条件是3a5.(2)MPx|5x 8的充分不必要条件，显然，a 在3,5中任取一个值都可以(3)若 a5，显然 MP5 ，3) (5,8 是 MPx |5x8 的必要不充分条件故 a3 为必要不充分条件四、探究与拓展14已知 p： 0，q：4 x2 xm0，p 是 q 的充分条件，则实数 m 的取值范围是( )x 1xA6，) B( ，2 2C2，) D(2 ，)2考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的
17、范围答案 A解析 由 0，得 0x1，即 p：0x1.x 1x由 4x2 xm0，得 4x2 xm.因为 4x 2x(2 x)22 x 2 ，(2x 12) 14要使 p 是 q 的充分条件，则当 0x1 时，m 大于等于 4x2 x的最大值，又当 x1 时，4 x2 x有最大值 6，所以 m6.故选 A.15求关于 x 的方程 ax22x10 至少有一个负的实根的充要条件解 当 a0 时，x ，符合题意12当 a0 时，显然方程没有零根若方程有两个异号实根，则 a0.若方程有两个负的实根，则必须满足Error!解得 0a1.综上，若方程至少有一个负的实根，则 a1.反之，若 a1，则方程至少有一个负的实根，所以关于 x 的方程 ax22x 10 至少有一个负的实根的充要条件是 a1.