1、章末复习,第四章 导数应用,学习目标 1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值. 2.会用导数解决一些简单的实际应用问题,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内是增加的；如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内是减少的. (2)函数的极值与导数 极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值； 极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫作函数的极小值点，f(a
2、)叫作函数的极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2.求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的 . (2)将函数yf(x)的各极值与 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,极值,端点处函数值f(a)，f(b),题型探究,类型一 导数中的数形结合思想,例1 已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则yf(x)的图像大致是,解析,答案,解析 当00， f(x)0， 故yf(x)在(1,2)上是增加的，因此排除D.,反思与感悟 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自
3、的关键要素.对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内是增加的，在哪个区间内是减少的；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.,跟踪训练1 函数f(x)ln x x2的大致图像是,解析,答案,又因为x0，所以(1x)(1x)0，所以01. 于是当01时，函数f(x)是减少的；,类型二 构造函数求解,命题角度1 比较函数值的大小,解析,A.acb B.bca C.abc D.ca0时，xf(x)f(x)0. g(x)在(0，)上是减少的.,g(x)是偶函数，,故选B.,反思与感悟 “构造法”是一种重要而灵活的思维方式，应用构造
4、函数法比较大小时，先构造函数，再根据函数单调性比较大小.,跟踪训练2 设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)f(b)g(b) B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(b)f(b)g(x) D.f(x)g(x)f(a)g(a),f(x)g(b)f(b)g(x).,解析,答案,命题角度2 求解不等式 例3 定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)，满足f(x)2ex的解集为 A.(，0) B.(，2) C.(0，) D.(2，),f(x)0，即函数g(x)在定义域内是增加的. f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x
5、)g(0). 函数g(x)在定义域内是增加的， x0，即不等式的解集为(0，)，故选C.,解析,答案,反思与感悟 应用构造法解决不等式时，先根据所求结论与已知条件，构造函数，通过导函数判断函数的单调性，再利用单调性得到x的取值范围.,解析 令g(x)f(x)2x4，f(x)2， 则g(x)f(x)20. 又由g(1)f(1)2(1)40， 得g(x)0，即g(x)g(1)的解为x1， f(x)2x4的解集为(1，).,跟踪训练3 函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为 A.(1,1) B.(1，) C.(，1) D.(，),解析,答案,类型三 利
6、用导数研究函数的极值与最值,例4 已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行. (1)求函数f(x)的解析式；,解答,解 因为f(x)3x22ax， 曲线在点P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a， 即32a3，a3. 又函数过(1,0)点，即2b0，b2. 所以a3，b2，f(x)x33x22.,(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；,解答,解 由f(x)x33x22，得f(x)3x26x. 由f(x)0，得x0或x2. 当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减少的， 所以f(x)maxf(0)
7、2，f(x)minf(t)t33t22. 当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,f(x)minf(2)2， f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. 因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0， 所以f(x)maxf(0)2.,(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.,解答,解 令g(x)f(x)cx33x22c， 则g(x)3x26x3x(x2). 当x1,2)时，g(x)0. 要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，,即实数c的取值范围为(2,0.,反思与感悟 1.求极值时一般需要确定f(x)
8、0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点. 2.求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.,跟踪训练4 已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图像关于原点成中心对称. (1)求a，b的值；,解答,解 函数f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数， f(x)f(x)， 即ax3(a1)x248(a2)xb ax3(a1)x248(a2)xb， 于是2(a1)x22b0恒成立，,(2)求f(x)的单调区间及极值；,解答,解 由(1
9、)得f(x)x348x， f(x)3x2483(x4)(x4)， 令f(x)0，得x14，x24. 令f(x)0， 得x4. f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4)和(4，). f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.,(3)当x1,5时，求函数的最值.,解答,解 由(2)知，函数在1,4上是减少的，在4,5上是增加的， f(4)128，f(1)47，f(5)115， 函数的最大值为47，最小值为128.,类型四 导数的综合应用,例5 已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在R上是增加的，求a的取值范围；,解答,解 f(x)3x2a， 因为f(x)在R上
10、是增加的，所以f(x)0在R上恒成立， 即3x2a0在R上恒成立. 即a3x2，而3x20，所以a0. 当a0时，f(x)x31在R上是增加的，符合题意. 所以a的取值范围是(，0.,(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,解答,解 假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的， 则f(x)0在(1,1)上恒成立， 即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2， 又因为在(1,1)上，03x23，所以a3. 当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0， 所以f(x)在(1,1)上是减少的，即a3符合题意， 所以存
11、在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，且a的取值范围是3，).,反思与感悟 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f(x)不能恒等于0，则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围来确定.,解答,解 f(x)12x2a，,a3.,解答,a(12x2)min0. 当a0时，f(x)12x20恒成立(只有x0时f(x)0). a0符合题意.,a(12x2)max3.,综上，a的取值范围为(，0
12、3，).,达标检测,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0， 可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2， 所以函数的解析式为f(x)x33x22x. f(x)3x26x2，,1,2,3,4,5,2.已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有 A.bf(b)af(a) B.bf(a)af(b) C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a),答案,解析,1,2,3,4,5,解析 设g(x)xf(x)，x(0，)， 则g(x)xf(x)f(x)0， g(x)在区间(0，)上是减少的或g(x)为常函数. a0，a0.,1,2,3,4,5,答案,解析,由函数f(x)在(2，)内是减少的， 知f(x)0在(2，)内恒成立，,1,2,3,4,5,规律与方法,导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.,