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北师大版高中数学选修1-1课件:第四章 导数应用 章末复习

1、章末复习,第四章 导数应用,学习目标 1.掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的极值和最值. 2.会用导数解决一些简单的实际应用问题,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数yf(x)在这个区间内是增加的;如果 ,那么函数yf(x)在这个区间内是减少的. (2)函数的极值与导数 极大值:在点xa附近,满足f(a)f(x),当xa时, ,则点a叫作函数的极大值点,f(a)叫作函数的极大值; 极小值:在点xa附近,满足f(a)f(x),当xa时, ,则点a叫作函数的极小值点,f(a

2、)叫作函数的极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2.求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a,b)内的 . (2)将函数yf(x)的各极值与 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,极值,端点处函数值f(a),f(b),题型探究,类型一 导数中的数形结合思想,例1 已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则yf(x)的图像大致是,解析,答案,解析 当00, f(x)0, 故yf(x)在(1,2)上是增加的,因此排除D.,反思与感悟 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注意抓住各自

3、的关键要素.对于原函数,要重点考查其图像在哪个区间内是增加的,在哪个区间内是减少的;而对于导函数,则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.,跟踪训练1 函数f(x)ln x x2的大致图像是,解析,答案,又因为x0,所以(1x)(1x)0,所以01. 于是当01时,函数f(x)是减少的;,类型二 构造函数求解,命题角度1 比较函数值的大小,解析,A.acb B.bca C.abc D.ca0时,xf(x)f(x)0. g(x)在(0,)上是减少的.,g(x)是偶函数,,故选B.,反思与感悟 “构造法”是一种重要而灵活的思维方式,应用构造

4、函数法比较大小时,先构造函数,再根据函数单调性比较大小.,跟踪训练2 设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且f(x)g(x)f(x)g(x)f(b)g(b) B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(b)f(b)g(x) D.f(x)g(x)f(a)g(a),f(x)g(b)f(b)g(x).,解析,答案,命题角度2 求解不等式 例3 定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x),满足f(x)2ex的解集为 A.(,0) B.(,2) C.(0,) D.(2,),f(x)0,即函数g(x)在定义域内是增加的. f(0)2,g(0)f(0)2,则不等式等价于g(x

5、)g(0). 函数g(x)在定义域内是增加的, x0,即不等式的解集为(0,),故选C.,解析,答案,反思与感悟 应用构造法解决不等式时,先根据所求结论与已知条件,构造函数,通过导函数判断函数的单调性,再利用单调性得到x的取值范围.,解析 令g(x)f(x)2x4,f(x)2, 则g(x)f(x)20. 又由g(1)f(1)2(1)40, 得g(x)0,即g(x)g(1)的解为x1, f(x)2x4的解集为(1,).,跟踪训练3 函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集为 A.(1,1) B.(1,) C.(,1) D.(,),解析,答案,类型三 利

6、用导数研究函数的极值与最值,例4 已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3xy0平行. (1)求函数f(x)的解析式;,解答,解 因为f(x)3x22ax, 曲线在点P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a, 即32a3,a3. 又函数过(1,0)点,即2b0,b2. 所以a3,b2,f(x)x33x22.,(2)求函数f(x)在区间0,t(0t3)上的最大值和最小值;,解答,解 由f(x)x33x22,得f(x)3x26x. 由f(x)0,得x0或x2. 当0t2时,在区间(0,t)上,f(x)0,f(x)在0,t上是减少的, 所以f(x)maxf(0)

7、2,f(x)minf(t)t33t22. 当2t3时,当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:,f(x)minf(2)2, f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. 因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0, 所以f(x)maxf(0)2.,(3)在(1)的结论下,关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围.,解答,解 令g(x)f(x)cx33x22c, 则g(x)3x26x3x(x2). 当x1,2)时,g(x)0. 要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根,,即实数c的取值范围为(2,0.,反思与感悟 1.求极值时一般需要确定f(x)

8、0的点和单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点. 2.求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得.,跟踪训练4 已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图像关于原点成中心对称. (1)求a,b的值;,解答,解 函数f(x)的图像关于原点成中心对称,则f(x)是奇函数, f(x)f(x), 即ax3(a1)x248(a2)xb ax3(a1)x248(a2)xb, 于是2(a1)x22b0恒成立,,(2)求f(x)的单调区间及极值;,解答,解 由(1

9、)得f(x)x348x, f(x)3x2483(x4)(x4), 令f(x)0,得x14,x24. 令f(x)0, 得x4. f(x)的递减区间为(4,4),递增区间为(,4)和(4,). f(x)极大值f(4)128,f(x)极小值f(4)128.,(3)当x1,5时,求函数的最值.,解答,解 由(2)知,函数在1,4上是减少的,在4,5上是增加的, f(4)128,f(1)47,f(5)115, 函数的最大值为47,最小值为128.,类型四 导数的综合应用,例5 已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在R上是增加的,求a的取值范围;,解答,解 f(x)3x2a, 因为f(x)在R上

10、是增加的,所以f(x)0在R上恒成立, 即3x2a0在R上恒成立. 即a3x2,而3x20,所以a0. 当a0时,f(x)x31在R上是增加的,符合题意. 所以a的取值范围是(,0.,(2)是否存在实数a,使f(x)在(1,1)上是减少的,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.,解答,解 假设存在实数a,使f(x)在(1,1)上是减少的, 则f(x)0在(1,1)上恒成立, 即3x2a0在(1,1)上恒成立,即a3x2, 又因为在(1,1)上,03x23,所以a3. 当a3时,f(x)3x23,在(1,1)上,f(x)0, 所以f(x)在(1,1)上是减少的,即a3符合题意, 所以存

11、在实数a,使f(x)在(1,1)上是减少的,且a的取值范围是3,).,反思与感悟 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f(x)0(或f(x)0)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去;若f(x)不能恒等于0,则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围来确定.,解答,解 f(x)12x2a,,a3.,解答,a(12x2)min0. 当a0时,f(x)12x20恒成立(只有x0时f(x)0). a0符合题意.,a(12x2)max3.,综上,a的取值范围为(,0

12、3,).,达标检测,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 由题意可知f(0)0,f(1)0,f(2)0, 可得1bc0,84b2c0,解得b3,c2, 所以函数的解析式为f(x)x33x22x. f(x)3x26x2,,1,2,3,4,5,2.已知f(x)是定义在(0,)上的非负可导函数,且满足xf(x)f(x)0,对任意的正数a,b,若ab,则必有 A.bf(b)af(a) B.bf(a)af(b) C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a),答案,解析,1,2,3,4,5,解析 设g(x)xf(x),x(0,), 则g(x)xf(x)f(x)0, g(x)在区间(0,)上是减少的或g(x)为常函数. a0,a0.,1,2,3,4,5,答案,解析,由函数f(x)在(2,)内是减少的, 知f(x)0在(2,)内恒成立,,1,2,3,4,5,规律与方法,导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作用,例如函数的单调性、极值与最值等问题,都可以通过导数得以解决.不但如此,利用导数研究得到函数的性质后,还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题,所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.,