1、第1课时 函数的最值与导数,第四章 2.2 最大值、最小值问题,学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 函数的最大(小)值与导数,如图为yf(x)，xa，b的图像.,思考1 观察a，b上函数yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值.,答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,思考2 结合图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).,思考3 函数yf
2、(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？,答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.,梳理 最值的概念及求法 (1)函数f(x)在闭区间a，b上的最值、最值点 函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0)，把f(x0)叫作yf(x)在a，b上的最大值. 函数f(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0)，把f(x0)叫作yf(x)在a，b上的最小值. 函数的最大值和最小值统称为 .,不超过,不低于,最值,(2)求连续函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数yf(x)在 内的极值. 将函数
3、yf(x)的 与端点处的 比较，其中_ 的一个是最大值， 的一个是最小值.,区间(a，b),各极值,函数值f(a)，f(b),最大,最小,思考辨析 判断正误 1.函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值.( ) 2.函数的最大值一定大于最小值，函数的极大值一定大于极小值.( ) 3.单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值.( ) 4.若函数存在最大(小)值，则最大(小)值唯一.( ),题型探究,类型一 求函数的最值,命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 求下列函数的最值： (1)f(x)2x312x，x2,3；,当x3时，f(x)取得最大值18.,解答,解答,所以当x0时，f(x)有最小值
4、0； 当x2时，f(x)有最大值.,反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.,跟踪训练1 求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值.,解答,解 f(x)3exexx2， f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1). 在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0， 函数f(x)在区间2,5上是减少的， 当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2； 当x5时，函数f(x)取得最小值f(5
5、)22e5.,命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知函数f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的单调区间；,解答,解 由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex， 令f(x)0，得xk1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,所以，f(x)的递减区间是(，k1)；递增区间是(k1，).,(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.,解 当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上是增加的. 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k， 当0k11，即1k2时， 由(1)知f(x)在0，k1)上是减少的，在(k1,1上是增加的， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k
6、1)ek1. 当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上是减少的. 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e. 综上可知，当k1时，f(x)mink； 当1k0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.,反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等
7、式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,解答,解 令f(x)3x23ax0，得x10，x2a. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,而f(0)f(a)，f(1)f(1)，故需比较f(0)与f(1)及f(1)与f(a)的大小.,所以f(x)的最大值为f(0)b1.,达标检测,1.函数f(x)x24x7在x3,5上的最大值和最小值分别是 A.f(2)，f(3) B.f(3)，f(5) C.f(2)，f(5) D.f(5)，f(3),答案,解析,1,2,3,4,5,解析 f(x)2x4， 当x3,5时，f(x)0， 故f(x)在3,5上是减少的， 故f(x)的最大值和最小值分别是f
8、(3)，f(5).,2.函数f(x)x33x(|x|1) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 f(x)3x233(x1)(x1)， 当x(1,1)时，f(x)0， 又x(0,1)，0a1，故选B.,4.设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f(x)_.,1,2,3,4,5,答案,解析,0,解析 因为f(x)在a，b上的最大值与最小值相等， 所以f(x)在a，b上为常函数，f(x)0.,5.函数f(x)x3 x22x5，若对于任意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_.,1,2,3,4,5,答案,解析,(7，),解析 f(x)3x2x2，,可求得f(x)maxf(2)7， 所以对于任意x1,2，f(x)7.,1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.,规律与方法,