1、2.1 实际问题中导数的意义,第四章 2 导数在实际问题中的应用,学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解. 2.能利用导数求解有关实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 实际问题中导数的意义,思考 某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为WW(t)t34t210t. (1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？,(2)上述问题的实际意义是什么？,答案 它表示从t1 s到t4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.,(3)W(1)的实际意义是什么？,答案 W(t)3t28t10， W(1)5
2、表示在t1 s时每秒做功5 J.,梳理 (1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内 为功率，它的单位是 .功率是功关于 的导数. (2)降雨强度：在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的_称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标.降雨强度是降雨量关于时间的 . (3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数yf(x)的导函数称为 .边际成本f(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f(x0)个单位的成本.,做的功,瓦特,时间,降雨,量,导数,边际成本,(4)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速
3、度，它是_的导数；速度对时间的导数是 . (5)线密度：单位长度的物体质量称为线密度，它是 的导数.,位移s对时,间t,加速度,质量关于长度,思考辨析 判断正误 1.导数解决的问题通常是变化率的问题.( ) 2.位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加速度.( ) 3.导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同.( ),题型探究,类型一 导数在物理学中的意义,解答,例1 某质点的运动方程为ss(t)2t23t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s). (1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的
4、实际意义；,解 当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为,它表示从t1 s到t3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.,(2)求s(1)，s(2)，并解释它们的实际意义.,解答,解 由导数公式表和导数的运算法则可得s(t)4t3， 则s(1)437(m/s)，s(2)42311(m/s). s(1)表示的是该质点在t1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s. s(2)表示的是该质点在t2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.,反思与感悟 根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系、
5、功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等.因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解.,跟踪训练1 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，且yf(x) . (1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？,解答,解 当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为,(2)求f(27)，并解释它的实际意义.,解答,类型二 导数在经济生活中的应用,例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x) x260x2 050.求当日产量由10件
6、提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义.,解答,解 当x从10件提高到20件时， 总成本C从C(10)2 675元变到C(20)3 350元.,其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量.,引申探究 1.若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义.,解答,它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元.,解答,所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，,反思与感悟 生产成本y关于产量x的函数yf(x)中，f(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f(x0)个
7、单位的成本.,解答,(1)求当Q10时的总成本、平均成本及边际成本；,边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，,Q10时的边际成本是C(10)5.,(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？,解答,所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.,类型三 导数在日常生活中的应用,(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；,解答,(2)求f(1)，f(4)，并解释它的意义.,解答,反思与感悟 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的
8、值，问题不同有不同的意义.,跟踪训练3 某年高考，某考生在参加数学考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系式yf(x) (1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；,解 x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为,解答,(2)求f(64)，f(100)，并解释它的实际意义.,解答,达标检测,1.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，假设f(x)0恒成立，且f(10)10，f(20)1，则这些数据说明第20天与第10天比较 A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加，且增加的幅度变大 C.公司在亏
9、损且亏损幅度变小 D.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的.,2.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，即WW(t)，则W(t0)表示 A.tt0时做的功 B.tt0时的速度 C.tt0时的位移 D.tt0时的功率,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 W(t0)表示tt0时的功率.,3.某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)t39t212t，则Q(2)_，它的实际意义是
10、_.,1,2,3,4,5,答案,解析,36台/小时,10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时,解析 Q(t)3t218t12，则Q(2)36， 由题意知10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时.,4.某物体的运动速度与时间的关系为v(t)2t21，则t2时的加速度为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,8,解析 v(t)4t，v(2)8.,5.建造一幢长度为x m的桥梁需成本y万元，函数关系为yf(x) (x2x3)(x0). (1)当x从100变到200时，平均每米的成本为_万元；,1,2,3,4,5,答案,解析,30.1,解析 f(100)1 010.3，f(2
11、00)4 020.3，,即平均变化率为30.1万元/m.,(2)f(100)_万元/m， 其实际意义为_ _.,1,2,3,4,5,答案,解析,20.1,当长度为100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1,万元,f(100)20.1(万元/m)，即当长度为100 m时，每增加1 m的长度，成本就增加20.1万元.,1.解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论. 2.解决实际问题的一般步骤 (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系. (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解. (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案.,规律与方法,