1、4 导数的四则运算法则,第三章 变化率与导数,学习目标 1.了解导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导过程. 2.会运用导数公式和导数的加法、减法、乘法、除法法则求一些函数的导数.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 导数的加法与减法法则,思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？,思考2 若yh(x)f(x)g(x)，I(x)f(x)g(x)，那么h(x)，I(x)分别与f(x)，g(x)有什么关系？,即h(x)f(x)g(x).,梳理 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的 ， 即f(x)g(x) ， f(x)g(x) . 特别提醒：(1)两个导数的和差运算只
2、可推广到有限个函数的和差的导数运算. (2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程.,f(x)g(x),和(差),f(x)g(x),知识点二 导数的乘法与除法法则,1.若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)， 则(1)f(x)g(x) .,2.kf(x) .,f(x)g(x)f(x)g(x),kf(x),思考辨析 判断正误 1.若f(x)a22axx2，则f(a)2a2x.( ) 2.运用法则求导时，不用考虑f(x)，g(x)是否存在.( ) 3.f(x)g(x)f(x)g(x).( ),题型探究,类型一 利用导数四则运算法则
3、求导,解答,例1 求下列函数的导数.,解 ,解答,(3)y(x1)(x3)(x5)；,解答,解 方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5) (x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3) (2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23. 方法二 y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5) x39x223x15， y(x39x223x15)3x218x23.,解答,反思与感悟 1.解答利用导数四则运算法则求导问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分. 2.对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化
4、简(恒等变换)，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程. 3.利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导.,跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)f(x)xln x；,解答,解答,(3)y2x3log3x；,解答,类型二 求导法则的逆向应用,例2 已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1对一切xR恒成立，求f(x)的解析式.,解答,解 由f(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数， 设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb， 把f(x)，f(x)代入关于x的方程得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，
5、即(ab)x2(b2c)xc10， 又该方程对一切xR恒成立，,所以f(x)2x22x1.,反思与感悟 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.,跟踪训练2 设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x1.求yf(x)的函数表达式.,解 f(x)2x1， f(x)x2xc(c为常数)， 又方程f(x)0有两个相等的实根， 即x2xc0有两个相等的实根，124c0，,解答,类型三 导数运算法则的综合应用,命题角度1 利用导数求函数解析式,解答,(2)设f
6、(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcos x.,解答,解 由已知f(x)(axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x) asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x (acxd)sin x(axbc)cos x. 又f(x)xcos x，,解得ad1，bc0.,反思与感悟 解决利用导数求函数解析式的题目的前提是熟练应用导数的运算法则.,跟踪训练3 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)
7、2exf(1)3ln x，则f(1)等于,答案,解析,令x1，得f(1)2ef(1)3，,命题角度2 与切线有关的问题,答案,解析,1,(2)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标为_.,答案,解析,(e，e),解析 设P(x0，y0)， 则yxln x在xx0处的导数为ln x012， x0e，则y0e， 则P点坐标为(e，e).,反思与感悟 1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. 2.准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. 3.分清已知
8、点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.,跟踪训练4 设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_.,答案,解析,4,解析 因为曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1， 由导数的几何意义知g(1)2， 又因为f(x)g(x)x2， 所以f(x)g(x)2xf(1)g(1)24， 所以yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为4.,达标检测,1.下列运算中正确的是 A.(ln x3sin x)(ln x)3(sin x) B.(ax2bxc)a(x2)bx,答案,1,
9、2,3,4,5,D.(cos xsin x)(sin x)cos x(cos x)cos x,1,2,3,4,5,答案,解析,故选A.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,3,解析 由题意得f(x)(2x3)ex，得f(0)3.,1,2,3,4,5,答案,解析,3,1,2,3,4,5,则ab3.,求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.,规律与方法,