1、第2课时 抛物线简单性质的应用,第二章 2.2 抛物线的简单性质,学习目标 1.进一步认识抛物线的几何特性. 2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直线与抛物线的位置关系,思考 若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？,答案 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点.,梳理 (1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数.,(2)直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当0时，直线与
2、抛物线有 个公共点；当0)的通径长为2a.( ),题型探究,类型一 直线与抛物线的位置关系,解答,例1 已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？,(2k24)24k416(1k2). (1)若直线与抛物线有两个交点， 则k20且0， 即k20且16(1k2)0， 解得k(1,0)(0,1). 所以当k(1,0)(0,1)时， 直线l和抛物线C有两个交点.,(2)若直线与抛物线有一个交点， 则k20或当k20时，0， 解得k0或k1. 所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点. (3)若直线与抛物线无交点， 则k20且1或
3、k1或k1时， 直线l和抛物线C无交点.,反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.,跟踪训练1 设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是,解析,答案,解析 准线方程为x2，Q(2,0). 设l：yk(x2)，,当k0时，x0，即交点为(0,0)； 当k0时，由0，得1k0或00. 设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,P1P2的中点为(4,1)，,所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110， y1y22，y1y222，,
4、方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).,所求直线的斜率k3， 故所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110.,y1y22，y1y222，,反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法,解答,解 设所求抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由(a16)22560，得a0或a0. 所求抛物线方程为y24x或y236x.,类型三 抛物线中的定点(定值)问题,例3 已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB. (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；,解答,解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,因为OAOB，所以kOAkOB1，
5、 所以x1x2y1y20.,因为y10，y20， 所以y1y24p2， 所以x1x24p2.,(2)求证：直线AB过定点.,证明,反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化.,跟踪训练3 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.,证明,证明 设kABk(k0). 直线AB，AC的倾斜角互补， kACk(k0)， 即直线AB的方程是yk(x4)2.,消去y后，整理得k2x2(8k24k)x16k216k4
6、0. A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，,直线BC的斜率为定值.,达标检测,解析 当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点. 当斜率存在时，设直线为ykx1.,1.过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有 A.4条 B.3条 C.2条 D.1条,当k0时，符合题意；,与抛物线只有一个交点的直线共有3条.,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 线段AB所在的直线的方程为x1，,3.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK| |AF|，则AFK的面积为 A.4 B.8 C.
7、16 D.32,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 抛物线C：y28x的焦点为F(2,0)，准线为x2， K(2,0). 设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B， 则B(2，y0)，,又|AF|AB|x02，,即8x0(x02)2，解得A(2，4).,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,(1，2),所以A(1，2).,5.已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_.,1,2,3,4,5,答案,解析,直线与抛物线相切， a0且14a0.,求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.,规律与方法,