1、2.1 抛物线及其标准方程,第二章 2 抛物线,学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的定义,思考1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？,答案 连接两定点所得线段的垂直平分线.,思考2 平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？,答案 曲线.,梳理 (1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不过F)的 的点的集合叫作抛物线. (2)焦点： 叫作抛物线的
2、焦点. (3)准线： 叫作抛物线的准线.,距离相等,定点F,定直线l,知识点二 抛物线的标准方程,思考 抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？,答案 p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向.,梳理 抛物线的标准方程有四种类型,y22px(p0),y22px(p0),x22py(p0),x22py(p0),特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项. (2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀： 焦点轴一次项，符号确定开口向； 若y是一次项，负时向下正向上； 若x是一次项，负时向左正
3、向右.,思考辨析 判断正误 1.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( ) 2.抛物线的方程都是y关于x的二次函数.( ) 3.方程x22ay(a0)表示开口向上的抛物线.( ),题型探究,类型一 求抛物线的标准方程,解答,例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3，4)；,解 方法一 点(3，4)在第四象限， 设抛物线的标准方程为y22p1x(p10)或x22p2y (p20). 把点(3，4)分别代入y22p1x和x22p2y， 得(4)22p13,322p2(4)，,方法二 点(3，4)在第四象限， 抛物线的方程可设为y2ax (a0)或x2by (b
4、0).,(2) 焦点在直线x3y150上.,解答,解 令x0得y5；令y0得x15. 抛物线的焦点为(0，5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.,反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法 (1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数. (2)方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程； 直接根据定义求p，最后写标准方程； 利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数.,跟踪训练1 求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3,2)；,解答,解 设所求的抛物线方程为y22p1x(p10)或x22p2
5、y(p20)， 过点(3,2)， 42p1(3)或92p22，,(2)焦点在直线x2y40上；,解答,解 令x0得y2，令y0得x4， 抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，2).,p8，此时抛物线方程为y216x；,p4，此时抛物线方程为x28y. 故所求抛物线的标准方程为y216x或x28y.,(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.,解答,解 由题意知，抛物线标准方程为x22py(p0)或x22py(p0)且p3. 抛物线的标准方程为x26y或x26y.,类型二 求抛物线的焦点坐标和准线方程,例2 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向.,解答,p2， 焦点坐标
6、是(0,1)，准线方程是y1，抛物线开口向上.,(2)xay2(a0).,解答,当a0时，开口向右； 当a0). 由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，,当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，,所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.,反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.,跟踪训练3 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长.,解答,解 如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x22py(p0). 由题意知，点P(
7、10，4)在抛物线上， 所以1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y. 因为每4米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为6，2,2,6. 由图知，AB是最长的支柱之一.设点B的坐标为(2，yB)，,即最长支柱的长为3.84米.,达标检测,1.抛物线y x2的准线方程是 A.y1 B.y2 C.x1 D.x2,答案,解析,1,2,3,4,5,则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，,2.抛物线y28x的焦点坐标和准线方程分别为 A.(1,0)，x1 B.(2,0)，x2 C.(3,0)，x3 D.(4,0)，x4,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 抛物线y28x的焦点坐标
8、为(2,0)， 准线方程为x2.,3.已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为 A.y2x B.y22x C.x23y D.x26y,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由题意知p3，故选D.,4.抛物线x28y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,8,5.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,y28x或x2y,解析 设抛物线方程为y22px (p0)， 或x22py (p0). 将P(2，4)代入， 分别得方程为y28x或x2y.,规律与方法,2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0 .,