1、2.3 充要条件,第一章 2 充分条件与必要条件,学习目标 1.了解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 充要条件的概念,思考 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？,答案 因为pq且qp，所以p是q的充分条件也是必要条件； 同理，q是p的充分条件，也是必要条件.,梳理 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作 .此时，我们说，p是q的 ，简称 .,pq,充分必要条件,充要条件,知识点二 充要条件的判断,1.由原命题与
2、逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件 若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：,pq，但qp,qp，但pq,pq，qp，即pq,pq，qp,由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件.,2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件,其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.,思考辨析 判断正误 1.“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要不充分条件.( ) 2.若命题“若p，则q”及其否命题都是真命题，则pq.( ) 3.若命题“若p，则q”及其逆命题都是假命题，则pq，qp.( ) 4.若p是q的
3、充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( ),题型探究,类型一 充要条件的判断,解答,例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件) (1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；,解 四边形的对角线互相平分四边形是矩形， 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， p是q的必要不充分条件.,(2)p：a2b20，q：ab0；,解答,解 a2b20ab0ab0， ab0a2b20， p是q的充分不必要条件.,解答,p是q的充要条件.,(4)p：sin sin ，q：.,解答,解 由sin sin 不能推出， 反过来由也不能推出sin sin
4、， p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 则p是q的既不充分又不必要条件.,反思与感悟 充要条件的常用判断方法 (1)命题判断法 设“若p，则q”为原命题，那么： 原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件； 原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件； 原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件； 原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件. (2)集合法 若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当AB时，p是q的充要条件.,跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？,解答,故p是q的既不充分又不必要条件.,(2)p：yx4，q：x1，y3；,解答,解 yx4不能得
5、出x1，y3，即pq， 而x1，y3可得xy4，即qp， 故p是q的必要不充分条件.,(3)p：ab，q：2a2b；,解答,解 当ab时，有2a2b，即pq， 当2a2b时，可得ab，即qp， 故p是q的充要条件.,(4)p：ABC是直角三角形，q：ABC为等腰三角形.,解答,解 方法一 若ABC是直角三角形不能得出ABC为等腰三角形， 即pq； 若ABC为等腰三角形也不能得出ABC为直角三角形，即qp， 故p是q的既不充分又不必要条件. 方法二 如图所示，p，q对应集合间无包含条件， 故p是q的既不充分又不必要条件.,类型二 充要条件的探求与证明,命题角度1 探求充要条件 例2 求关于x的不
6、等式ax2ax1a0对一切实数x都成立的充要条件.,解答,判别式a24a(1a)5a24aa(5a4)0对一切实数x都成立. 而当a0时，不等式ax2ax1a0化为10. 显然当a0时，不等式ax2ax1a0对一切实数x都成立. 必要性：因为ax2ax1a0对一切实数x都成立，,反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.,跟踪训练2 “函数yx22xa没有零点”的充要条件是 .,解析,答案,a1,解析 函数没有零点，即方程x22xa0无实根， 所以有44a0
7、，解得a1. 反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根， 即函数没有零点. 故“函数yx22xa没有零点”的充要条件是a1.,命题角度2 充要条件的证明 例3 求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,证明,证明 充分性：ac0， 方程一定有两个不等实根，,方程的两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根. 必要性：方程ax2bxc0有一正根和一负根， 设两实根为x1，x2，,综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0得，x3. q：Bx|x3.,m3，即m的取值范围是3，).,反思与感悟 首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的
8、集合之间的包含关系，然后构建满足条件的不等式(组)求解.同时要注意命题的等价性的应用.,跟踪训练4 已知p：xk，q： 2， k的取值范围是(2，).,达标检测,1.“21或x1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 21或x1或x1或xb”是“a|b|”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由a|b|ab，而aba|b|.,3.已知向量a(m2,4)，b(1,1)，则“m2”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
9、 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 当m2时，a(4,4)，b(1,1)，ab， 当ab时，m24，即m2，故选A.,4.直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切的充要条件是_.,1,2,3,4,5,答案,解析,m4,或m0,解得m4或m0.,5.设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n .,1,2,3,4,5,答案,解析,3或4,解析 由164n0，得n4， 又nN，则n1,2,3,4. 当n1,2时，方程没有整数根； 当n3时，方程有整数根1,3， 当n4时，方程有整数根2. 综上可知，n3或4.,1.充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法. 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明要分充分性和必要性两方面来证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别： p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性； p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.,规律与方法,