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2019年人教B版数学选修2-1学案:3.2.3 直线与平面的夹角

1、3.2.3 直线与平面的夹角学习目标:1.理解斜线和平面所成的角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1直线和平面所成的角思考:直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗?提示 不是直线和平面的夹角为 .|2 s,n|2最小角定理基础自测1思考辨析(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角( )(2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角( )(3)直线与平面的夹角的范围是0,90( )提示 (1) 角的度数还可以是零度(2) (3)2已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量,若cos

2、m ,n ,则直线 l 与平面 所成的角为( )12A30 B60 C120 D150A 由 cos m,n ,得m,n12012直线 l 与平面 所成的角为|90120|30.3如图 3219 所示,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 为 CC1的中点,则直线 A1B 与平面 BDE 所成的角为( )【导学号:33242296】图 3219A B C D6 3 2 56B 以 D 为原点, , , 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空DA DC DD1 间直角坐标系( 图略) ,则 D(0,0,0),A 1(1,0,1),B(1,1,0),E ,(0,1,12)

3、所以 (1,1,0), ,DB DE (0,1,12)易得平面 BDE 的法向量 n(1,1,2),而 (0,1,1),BA1 cos n, ,BA1 1 223 32n, .BA1 6直线 A1B 与平面 BDE 所成角为 .|2 6| 3合 作 探 究攻 重 难用向量求直线与平面所成的角已知三棱锥 PABC 中,PA 平面ABC, ABAC ,PA AC AB,N 为 AB 上一点, AB4AN ,M,S 分别是12PB,BC 的中点图 3220(1)证明:CM SN ;(2)求 SN 与平面 CMN 所成的角的大小思路探究 建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标,向量的坐标,计算 , 的数

4、量积,证明(1);求出平面 CMN 的法向量,求线面角的余弦,求CM SN 得线面角解 如图,设 PA1,以 A 为原点,直线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系则 P(0,0,1),C(0,1,0) ,B(2,0,0),M ,N ,S .(1,0,12) (12,0,0) (1,12,0)(1)证明: ,CM (1, 1,12) ,SN ( 12, 12,0)因为 00,CM SN 12 12所以 CMSN.(2) ,NC ( 12,1,0)设 a(x,y, z)为平面 CMN 的一个法向量由 a 0,a 0,得CM NC Error!令 x2 ,得 a(2,1 ,2)

5、 ,|cos a, | ,SN | 1 12322| 22SN 与平面 CMN 所成角为 45.规律方法 用向量法求线面角的步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量 ;AB (3)求平面的法向量 n;(4)计算:设线面角为 ,则 sin .|nAB |n|AB |跟踪训练1如图 3221 所示,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 是侧棱CC1 上的一点, CPm,试确定 m,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 .2图 3221解 建立如图所示的空间直角坐标系则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(

6、0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),所以 ( 1,1,0),BD (0,0,1),BB1 (1,1,m), ( 1,1,0),AP AC 又由 0, 0,AC BD AC BB1 知 为平面 BB1D1D 的一个法向量,AC 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 .则 sin .|AP AC |AP |AC | 22 m2 2 22 m2cos ,1 sin2m2 m2依题意 3 ,解得 m ,2m 2 13故当 m 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 .13 2用定义法解决直线与平面的夹角问题探究问题1用定义法求直线与平面夹角的关键是什么?

7、提示 寻找直线与平面的夹角,即准确确定直线在平面内的投影2定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么?提示 若直线与平面平行或直线在平面内,则直线与平面的夹角为 0;若直线与平面垂直,则直线与平面的夹角为 ;2若直线与平面相交但不垂直,设直线与平面的交点为 O,在直线上任取异于 O 点的另一点 P,过 P 作平面的垂线 PA,A 为垂足,则 OA 即为直线在平面内的投影,AOP 即为直线与平面的夹角,然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小如图 3222 所示,在三棱锥 PABC 中,PA平面ABC, PAAB,ABC 60,BCA 90.图 3222(1)求证:BC 平面 PAC;(2)若 D

8、为 PB 的中点,试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值【导学号:33242297】思路探究 (1)证明 BC 和平面 PAC 内的两条相交直线垂直(2)作出 AD 在平面 PAC 内的射影后,构造三角形求解解 (1)因为 PA平面 ABC,BC平面 ABC,所以 PABC.又BCA90,所以 ACBC,又 AC平面 PAC,PA平面 PAC,PA AC A,所以 BC平面 PAC.(2)取 PC 的中点 E,连接 DE.因 D 为 PB 的中点,所以 DEBC,所以 DE平面 PAC.连接 AE,AD,则 AE 是 AD 在平面 PAC 内的投影,所以DAE 是直线 AD与平面 PAC 的

9、夹角设 PAAB a,在直角三角形 ABC 中因为ABC60,BCA90,所以 BC ,DE ,a2 a4在直角三角形 ABP 中,AD a,22所以 sinDAE .DEADa422a 24母题探究:1.(改变问法) 若典例条件不变,问题(2)改为:D 为 PB 上的一点,且 BD PB,试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值13解 由已知 BCAC ,BCPA,ACPA A,所以 BC平面 PAC,BCPC,过 PB 的三等分点 D 作 DEBC ,则DE平面 PAC,连接 AE,AD ,则DAE 为 AD 与平面 PAC 的夹角,不妨设 PAAB1,因为ABC60,所以 BC ,DE

10、,PB ,BD .12 23 12 13 2 23在ABD 中 AD2AB 2BD 22ABBDcos 45 ,AD ,所以59 53sinDAE .DEAD1353 55即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 .552(改变问法) 若典例的题(2) 条件不变,求 AD 与平面 PBC 的夹角的正弦值,结果如何?解 由(1)知 BC平面 PAC,所以平面 PAC平面 PBC.过 A 作 AE PC.所以 AE平面 PBC.连接 ED,则ADE 为 AD 与平面 PBC 的夹角设 PA2a,AB2a,所以 PB2 a.故 AD a.2 2在APC 中 AP2a,ACABsin 602a a,3

11、2 3所以 PC a,设ACP,3a2 4a2 7则 AEACsin ACAPPC a a a,32a7a 237 2217所以 sinADE .AEAD 221a72a 427即 AD 与平面 PBC 夹角的正弦值为 .427规律方法 作直线与平面夹角的一般方法:在直线上找一点,通过这个点作平面的垂线,从而确定射影,找到要求的角.其中关键是作平面的垂线,此方法简称为“ 一作,二证,三计算 ”.运用公式 cos cos 1cos 2 求直线与平面所成的角BOC 在平面 内, OA 是平面 的一条斜线,若AOBAOC 60,OAOBOCa,BC a,求 OA 与平面 所成的角. 2【导学号:33

12、242298】思路探究 根据定义或 cos cos 1cos 2 求解解 法一: OAOB OCa,AOB AOC 60 ,ABACa.又BC a,2AB 2AC 2BC 2.ABC 为等腰直角三角形同理BOC 也为等腰直角三角形取 BC 中点为 H,连接 AH,OH,AH a,OH a,AOa,22 22AH2OH 2AO 2.AHO 为等腰直角三角形AHOH.又AH BC,OHBCH,AH平面 .OH 为 AO 在 平面内的射影,AOH 为 OA 与平面 所成的角在 Rt AOH 中,sinAOH .AHAO 22AOH 45.OA 与平面 所成的角为 45.法二:AOB AOC 60,O

13、A 在 内的射影为BOC 的平分线,作BOC 的平分线 OH 交 BC 于 H.又 OB OCa,BC a,2BOC90.故BOH 45,由公式 cos cos 1cos 2,得 cos AOH ,cos AOBcos BOH 22OA 与平面 所成的角为 45.规律方法 求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置,只有确定了射影,才能将空间角转化为平面角在本例中,也可以直接作 AHBC 于 H,进而证明 AH平面 ,从而证明 H 是点 A 在平面 内的射影解法二则灵活应用公式 cos cos 1cos 2 求线面角,也是常用的方法跟踪训练2如图 3223 所示,四棱锥 PABCD 中,ABCD

14、 是正方形,PD平面ABCD.若PBC60,求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 .图 3223解 由题意得 CBD45,PBD 即为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 .cos PBCcos cosCBD,PBC60.即 cos 60cos cos 45, cos ,45.22当 堂 达 标固 双 基1若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120,则直线 l 与平面 所成的角等于 ( )【导学号:33242299】A120 B60C30 D以上均错C 设直线 l 与平面 所成的角为 ,则 sin |cos 120| ,又120 90, 30.2若直线 l 与平面 所成角为

15、 ,直线 a 在平面 内,且与直线 l 异面,3则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是( )A B C D0,23 2,23 3,23 3,2D 由最小角定理知直线 l 与直线 a 所成的最小角为 ,又 l、a 为异面直3线,则所成角的最大值为 . 23正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 为侧面 BCC1B1 的中心,则 AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )A B C D33 12 66 36C 取 BC 中点 M,连接 AM,OM,易知OAM 即为 AO 与平面 ABCD 所成的角,可求得 sinOAM .664若平面 的一个法向量 n(2,1,1) ,直线 l 的一个方向

16、向量为 a(1,2,3) ,则 l 与 所成角的正弦值为_. 【导学号:33242300】cos a,n ,216 an|a|n| 12 21 311 4 9 4 1 1 2 2 3146 216所以 l 与平面 所成角的正弦值为 .2165如图 3224 所示,正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为a,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值2图 3224解 取 BC 中点 O,B 1C1 中点 O1,连接 AO,OO 1,则 AOOC ,OO 1平面 ABC,以 O 为坐标原点,OC,OA,OO 1 所在的直线分别为 x,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则 A ,C 1 ,(0,32a,0) (a2,0,2a) .AC1 (a2, 32a,2a)取 AB 中点 M,连接 CM,则 CMAB .平面 ABB1A1平面 ABC,CM平面 ABB1A1, 为平面 ABB1A1 的一个法向量CM B ,M .( a2,0,0) ( a4,34a,0)又C , .(a2,0,0) CM ( 34a,34a,0)cos , .AC1 CM AC1 CM |AC1 |CM | 34a23a 32a 12AC 1 与平面 ABB1A1 所成角的正弦值为 .12