1、3.2.3 直线与平面的夹角学习目标：1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1直线和平面所成的角思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？提示 不是直线和平面的夹角为 .|2 s，n|2最小角定理基础自测1思考辨析(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角( )(2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角( )(3)直线与平面的夹角的范围是0，90( )提示 (1) 角的度数还可以是零度(2) (3)2已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量，若cos
2、m ，n ，则直线 l 与平面 所成的角为( )12A30 B60 C120 D150A 由 cos m，n ，得m，n12012直线 l 与平面 所成的角为|90120|30.3如图 3219 所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 CC1的中点，则直线 A1B 与平面 BDE 所成的角为( )【导学号：33242296】图 3219A B C D6 3 2 56B 以 D 为原点， ， ， 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空DA DC DD1 间直角坐标系( 图略) ，则 D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，B(1,1,0)，E ，(0，1，12)
3、所以 (1,1,0)， ，DB DE (0，1，12)易得平面 BDE 的法向量 n(1，1,2)，而 (0，1,1)，BA1 cos n， ，BA1 1 223 32n， .BA1 6直线 A1B 与平面 BDE 所成角为 .|2 6| 3合 作 探 究攻 重 难用向量求直线与平面所成的角已知三棱锥 PABC 中，PA 平面ABC， ABAC ，PA AC AB，N 为 AB 上一点， AB4AN ，M，S 分别是12PB，BC 的中点图 3220(1)证明：CM SN ；(2)求 SN 与平面 CMN 所成的角的大小思路探究 建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算 ， 的数
4、量积，证明(1)；求出平面 CMN 的法向量，求线面角的余弦，求CM SN 得线面角解 如图，设 PA1，以 A 为原点，直线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系则 P(0,0,1)，C(0,1,0) ，B(2,0,0)，M ，N ，S .(1，0，12) (12，0，0) (1，12，0)(1)证明： ，CM (1， 1，12) ，SN ( 12， 12，0)因为 00，CM SN 12 12所以 CMSN.(2) ，NC ( 12，1，0)设 a(x，y， z)为平面 CMN 的一个法向量由 a 0，a 0，得CM NC Error!令 x2 ，得 a(2,1 ，2)
5、 ，|cos a， | ，SN | 1 12322| 22SN 与平面 CMN 所成角为 45.规律方法 用向量法求线面角的步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量 ；AB (3)求平面的法向量 n；(4)计算：设线面角为 ，则 sin .|nAB |n|AB |跟踪训练1如图 3221 所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧棱CC1 上的一点， CPm，试确定 m，使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 .2图 3221解 建立如图所示的空间直角坐标系则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(
6、0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，所以 ( 1，1,0)，BD (0,0,1)，BB1 (1,1，m)， ( 1,1,0)，AP AC 又由 0， 0，AC BD AC BB1 知 为平面 BB1D1D 的一个法向量，AC 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 .则 sin .|AP AC |AP |AC | 22 m2 2 22 m2cos ，1 sin2m2 m2依题意 3 ，解得 m ，2m 2 13故当 m 时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 .13 2用定义法解决直线与平面的夹角问题探究问题1用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？
7、提示 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影2定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？提示 若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为 0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为 ；2若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为 O，在直线上任取异于 O 点的另一点 P，过 P 作平面的垂线 PA，A 为垂足，则 OA 即为直线在平面内的投影，AOP 即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小如图 3222 所示，在三棱锥 PABC 中，PA平面ABC， PAAB，ABC 60，BCA 90.图 3222(1)求证：BC 平面 PAC；(2)若 D
8、为 PB 的中点，试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值【导学号：33242297】思路探究 (1)证明 BC 和平面 PAC 内的两条相交直线垂直(2)作出 AD 在平面 PAC 内的射影后，构造三角形求解解 (1)因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 PABC.又BCA90，所以 ACBC，又 AC平面 PAC，PA平面 PAC，PA AC A，所以 BC平面 PAC.(2)取 PC 的中点 E，连接 DE.因 D 为 PB 的中点，所以 DEBC，所以 DE平面 PAC.连接 AE，AD，则 AE 是 AD 在平面 PAC 内的投影，所以DAE 是直线 AD与平面 PAC 的
9、夹角设 PAAB a，在直角三角形 ABC 中因为ABC60，BCA90，所以 BC ，DE ，a2 a4在直角三角形 ABP 中，AD a，22所以 sinDAE .DEADa422a 24母题探究：1.(改变问法) 若典例条件不变，问题(2)改为：D 为 PB 上的一点，且 BD PB，试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值13解 由已知 BCAC ，BCPA，ACPA A，所以 BC平面 PAC，BCPC，过 PB 的三等分点 D 作 DEBC ，则DE平面 PAC，连接 AE，AD ，则DAE 为 AD 与平面 PAC 的夹角，不妨设 PAAB1，因为ABC60，所以 BC ，DE
10、，PB ，BD .12 23 12 13 2 23在ABD 中 AD2AB 2BD 22ABBDcos 45 ，AD ，所以59 53sinDAE .DEAD1353 55即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 .552(改变问法) 若典例的题(2) 条件不变，求 AD 与平面 PBC 的夹角的正弦值，结果如何？解 由(1)知 BC平面 PAC，所以平面 PAC平面 PBC.过 A 作 AE PC.所以 AE平面 PBC.连接 ED，则ADE 为 AD 与平面 PBC 的夹角设 PA2a，AB2a，所以 PB2 a.故 AD a.2 2在APC 中 AP2a，ACABsin 602a a，3
11、2 3所以 PC a，设ACP，3a2 4a2 7则 AEACsin ACAPPC a a a，32a7a 237 2217所以 sinADE .AEAD 221a72a 427即 AD 与平面 PBC 夹角的正弦值为 .427规律方法 作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角.其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“ 一作，二证，三计算 ”.运用公式 cos cos 1cos 2 求直线与平面所成的角BOC 在平面 内， OA 是平面 的一条斜线，若AOBAOC 60，OAOBOCa，BC a，求 OA 与平面 所成的角. 2【导学号：33
12、242298】思路探究 根据定义或 cos cos 1cos 2 求解解 法一： OAOB OCa，AOB AOC 60 ，ABACa.又BC a，2AB 2AC 2BC 2.ABC 为等腰直角三角形同理BOC 也为等腰直角三角形取 BC 中点为 H，连接 AH，OH，AH a，OH a，AOa，22 22AH2OH 2AO 2.AHO 为等腰直角三角形AHOH.又AH BC，OHBCH，AH平面 .OH 为 AO 在 平面内的射影，AOH 为 OA 与平面 所成的角在 Rt AOH 中，sinAOH .AHAO 22AOH 45.OA 与平面 所成的角为 45.法二：AOB AOC 60，O
13、A 在 内的射影为BOC 的平分线，作BOC 的平分线 OH 交 BC 于 H.又 OB OCa，BC a，2BOC90.故BOH 45，由公式 cos cos 1cos 2，得 cos AOH ，cos AOBcos BOH 22OA 与平面 所成的角为 45.规律方法 求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角在本例中，也可以直接作 AHBC 于 H，进而证明 AH平面 ，从而证明 H 是点 A 在平面 内的射影解法二则灵活应用公式 cos cos 1cos 2 求线面角，也是常用的方法跟踪训练2如图 3223 所示，四棱锥 PABCD 中，ABCD
14、 是正方形，PD平面ABCD.若PBC60，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 .图 3223解 由题意得 CBD45，PBD 即为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 .cos PBCcos cosCBD，PBC60.即 cos 60cos cos 45， cos ，45.22当 堂 达 标固 双 基1若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于 ( )【导学号：33242299】A120 B60C30 D以上均错C 设直线 l 与平面 所成的角为 ，则 sin |cos 120| ，又120 90， 30.2若直线 l 与平面 所成角为
15、 ，直线 a 在平面 内，且与直线 l 异面，3则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是( )A B C D0，23 2，23 3，23 3，2D 由最小角定理知直线 l 与直线 a 所成的最小角为 ，又 l、a 为异面直3线，则所成角的最大值为 . 23正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为侧面 BCC1B1 的中心，则 AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )A B C D33 12 66 36C 取 BC 中点 M，连接 AM，OM，易知OAM 即为 AO 与平面 ABCD 所成的角，可求得 sinOAM .664若平面 的一个法向量 n(2,1,1) ，直线 l 的一个方向
16、向量为 a(1,2,3) ，则 l 与 所成角的正弦值为_. 【导学号：33242300】cos a，n ，216 an|a|n| 12 21 311 4 9 4 1 1 2 2 3146 216所以 l 与平面 所成角的正弦值为 .2165如图 3224 所示，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值2图 3224解 取 BC 中点 O，B 1C1 中点 O1，连接 AO，OO 1，则 AOOC ，OO 1平面 ABC，以 O 为坐标原点，OC，OA，OO 1 所在的直线分别为 x，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 A ，C 1 ，(0，32a，0) (a2，0，2a) .AC1 (a2， 32a，2a)取 AB 中点 M，连接 CM，则 CMAB .平面 ABB1A1平面 ABC，CM平面 ABB1A1， 为平面 ABB1A1 的一个法向量CM B ，M .( a2，0，0) ( a4，34a，0)又C ， .(a2，0，0) CM ( 34a，34a，0)cos ， .AC1 CM AC1 CM |AC1 |CM | 34a23a 32a 12AC 1 与平面 ABB1A1 所成角的正弦值为 .12