1、3.2.4 二面角及其度量学习目标：1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱为 l，两个面分别为， 的二面角，记作 l，若 A ，B ，则二面角也可以记作 AlB，也可记作 2l，二面角的范围为0， (3)二面角的平面角：在二面角 l 的棱上任取一点 O，在两半平面内分别作射线 OA
2、l，OB l ，则AOB 叫做二面角 l 的平面角思考：如何找二面角的平面角？提示 (1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理( 或逆定理) 的应用步骤一致2用向量的夹角度量二面角设二面角的大小为 ，n 1，n 2 为两个非零向量(1)当 n1，n 2，n 1 l，n 2l，且 n1，n 2 的方向分别与半平面 ， 的延伸方向相同，则 n1，n 2(2)当 n1，n 2，则 n 1，n
3、 2或 n 1，n 2基础自测1思考辨析(1)二面角的范围是 .( )0，2(2)若二面角 l 的两个半平面的法向量分别为 n1，n 2，则二面角的平面角与两法向量夹角n 1，n 2一定相等 ( )(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量( )提示 (1) 不是是 0，(2) 不一定可能相等，也可能互补(3)2三棱锥 ABCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1，n 2，若n 1，n 2 ，则二面角 ABDC 的大小为( )3A B C 或 D 或3 23 3 23 6 3C 当二面角 ABDC 为锐角时，它就等于 n 1， n2 ；3当二面角 ABDC 为钝角时，它应等于
4、 n 1，n 2 .3 233已知点 A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二面角的余弦值为_【导学号：33242306】由题得 (1,2,0)， (1,0,3)设平面 ABC 的法向量为27 AB AC n( x， y，z )由Error!知Error!令 x2，得 y1，z ，则平面 ABC 的一个法向量为 n23.平面 xOy 的一个法向量为 (0,0,3)由此易求出所求锐二面角的余(2，1，23) OC 弦值为|cos | .|OC n|OC |n|2373 27合 作 探 究攻 重 难用定义法求二面角如图 3232 所示，ABCD
5、 是正方形，V 是平面 ABCD 外一点，且VAVBVCAB ，求二面角 AVBC 的余弦值图 3232思路探究 先判断VAB，VBC 为等边三角形，取 VB 的中点 E，连接AE，CE，再证明AEC 是二面角的平面角解 取 VB 的中点为 E，连接 AE，CE.VAVBVCAB ，AEVB，CEVB .AEC 是二面角 AVBC 的平面角设 ABa，连接 AC，在AEC 中，AE EC a，AC a，由余弦定理32 2可知：cosAEC ，13所求二面角 AVBC 的余弦值为 .13规律方法 用定义求二面角的步骤：(1)作(找) 出二面角的平面角 (作二面角时多用三垂线定理 )；(2)证明所
6、作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角.跟踪训练1如图 3233 所示，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD.图 3233(1)证明 AB平面 VAD；(2)求面 VAD 与面 VDB 夹角的正切解 (1)证明：平面 VAD平面 ABCD，交线为 AD.AB平面 ABCD，AB AD.AB平面 VAD.(2)如图，取 VD 的中点 E，连接 AE，BE.VAD 是正三角形，AEVD，AE AD.32AB平面 VAD，AB AE.又由三垂线定理知 BEVD.因此，AEB 是所求二面角的平面角于是 tanAEB ，ABA
7、E 233即平面 VAD 与平面 VDB 夹角的正切为 .233用向量法求二面角探究问题1构成二面角的平面角有几个要素？提示 (1)角的顶点在二面角的棱上； (2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3) 角的两边分别和二面角的棱垂直2二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？提示 条件平面 ， 的法向量分别为 u，v， ， 所构成的二面角的大小为 ， u，v图形关系 计算 cos cos cos cos 如图 3234 所示，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都相等，ACBD O ， A1C1B 1D1O 1，四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形图
8、3234(1)证明：O 1O底面 ABCD.(2)若CBA60，求二面角 C1OB1D 的余弦值【导学号：33242307】思路探究 (1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值解 (1)因为四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形，所以CC1AC，DD 1BD ，又 CC1DD 1OO 1，所以 OO1AC，OO 1BD，因为 ACBDO，所以 O1O底面 ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形，ACBD，又 O1O底面 ABCD，所以 OB，OC，OO 1 两两垂直如
9、图，以 O 为原点，OB，OC，OO 1 所在直线分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系设棱长为 2，因为CBA60，所以 OB ，OC1，3所以 O(0,0,0)，B 1( ，0,2)，C 1(0,1,2)，3平面 BDD1B1 的一个法向量为 n(0,1,0)，设平面 OC1B1 的法向量为 m(x，y ，z)，则由 m ，m ，所以 x2z0，y2z 0，OB1 OC1 3取 z ，则 x2，y 2 ，3 3所以 m(2,2 ， )，3 3所以 cosm，n .mn|m|n| 2319 25719由图形可知二面角 C1OB1D 的大小为锐角，所以二面角 C1OB1D 的余弦值为 .
10、25719母题探究：1.(改变问法) 本例条件不变，求二面角 BA1CD 的余弦值解 如图建立空间直角坐标系设棱长为 2，则 A1(0， 1,2)，B ( ，0,0)，C(0,1,0) ，D ( ，0,0)3 3所以 ( ，1,0)， (0,2，2)， ( ，1,0)BC 3 A1C CD 3设平面 A1BC 的法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，则Error!即Error!取 x1 ，则 y1z 13，3故 n1( ，3,3)3设平面 A1CD 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)，则Error!即Error!取 x2 ，则 y2z 23，故 n2( ，3，3)3 3所以 cos
11、n 1，n 2 .n1n2|n1|n2| 1521 57由图形可知二面角 BA1CD 的大小为钝角，所以二面角 BA1CD 的余弦值为 .572(变换条件、改变问法)本例四棱柱中，CBA60 改为CBA90，设 E， F 分别是棱 BC，CD 的中点，求平面 AB1E 与平面 AD1F 所成锐二面角的余弦值解 以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为 1，则 A(0,0,0)，B 1(1,0,1)，E ，D 1(0,1,1)，F ， ，(1，12，0) (12，1，0) AE (1，12，0)(1,0,1)， ， (0,1,1) AB1 AF (12，1，0) AD1
12、设平面 AB1E 的法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，则Error!即Error!令 y12，则 x11，z 11，所以 n1(1,2,1)设平面 AD1F 的法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)，则Error!即Error!令 x22，则 y21， z21.所以 n2(2，1,1)所以平面 AB1E 与平面 AD1F 所成锐二面角的余弦值为 |n1n2|n1|n2| .| 1，2，12， 1，1| 12 22 12 22 12 12 | 12 2 1 11|66 12规律方法 利用坐标法求二面角的步骤设 n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其
13、补角)就是两个平面夹角的大小，如图用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量 n1，n 2.(3)计算：求 n1 与 n2 所成锐角 ，cos .|n1n2|n1|n2|(4)定值：若二面角为锐角，则为 ；若二面角为钝角，则为 .提醒：确定平面的法向量是关键.空间中的翻折与探索性问题如图 3235 所示，在梯形 ABCD 中，ABAD ，ADBC，AD 6，BC2AB4，E，F 分别在线段 BC，AD 上(异于端点)， EFAB .将四边形 ABEF 沿 EF 折起，连接 AD，AC ，BC .图 3235(1)若
14、BE3，在线段 AD 上取一点 P，使 AP PD，求证：CP 平面12ABEF；(2)若平面 ABEF平面 EFDC，且线段 FA，FC，FD 的长成等比数列，求平面 EAC 和平面 ACF 夹角的大小. 【导学号：33242308】解 (1)在梯形 ABCD 中，ADBC，EFAB，BE3，AF3.又 AD 6，BC4，EC1，FD3，在线段 AF 上取点 Q，使 AQ QF，连接 PQ，QE，12AP PD，PQ DF，CE DF，CE PQ，12 13 13 四边形 ECPQ 为平行四边形，CPEQ，CP平面 ABEF，EQ 平面 ABEF，CP平面 ABEF.(2)在梯形 ABCD
15、中，AB AD，ABEF，EF AF，EFFD ，平面ABEF平面 EFDC，平面 ABEF平面 EFDCEF ，AF平面 ABEF，AF平面 EFDC.设 FAx(0 x4)，EFAB 2，FD 6x，EC4x ，FC ，4 4 x2线段 FA，FC，FD 的长成等比数列，FC 2FA FD，即 4(4x) 2x(6x )，化简得 x27 x100， x2 或 x5(舍去)以点 F 为坐标原点，FE ， FD，FA 所在直线分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 F(0,0,0)，E(2,0,0)，C (2,2,0)，A(0,0,2)， (0,2,0) ， (2,0,2)
16、，EC EA 设 n1(x 1，y 1，z 1)是平面 EAC 的法向量，则Error!，即Error!，取 z11，则 x11，y 10，平面 EAC 的一个法向量为 n1(1,0,1)又 (2,2,0) ， (0,0,2)，FC FA 设 n2(x 2，y 2，z 2)是平面 ACF 的法向量，则Error!，即Error!，取 x21，则 y21，z 20，平面 ACF 的一个法向量为 n2(1，1,0)cos n1，n 2 .n1n2|n1|n2| 122 12平面 EAC 和平面 ACF 的夹角为锐角，平面 EAC 和平面 ACF 的夹角为 60.规律方法 1与空间角有关的翻折问题与
17、最值问题的解法(1)翻折问题：要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题(2)三视图问题：关于三视图问题，关键是通过三视图观察直观图中的对应线段的长度2关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理跟踪训练2如图 3236 所示，四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD.图 3236(1)求证：ABPD.(2)若BPC90，PB ，PC2，问 AB 为何值时，四棱锥 PAB
18、CD 的2体积最大？并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值解 (1)ABCD 为矩形，故 ABAD；又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD ，所以 AB平面 PAD，故 ABPD.(2)过点 P 作 POAD 于点 O，则 PO 平面 ABCD，过点 O 作 OMBC 于点 M，连接 PM.则 PMBC，因为BPC90，PB ，PC2，2所以 BC ，PM ，6233设 ABt，则在 RtPOM 中，PO ，43 t2所以 VPABCD t 13 6 43 t2 ，13所以当 t2 ，即 t 时，23 63VPABCD最大为 .如图，269此时 POAB
19、，且 PO，OA ，OM 两两垂直，63以 OA， OM， OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，则 P ，D ，C ，B .(0，0，63) ( 263，0，0) ( 263，63，0) ( 63，63，0)所以 ， ， .PD ( 263，0， 63) PC ( 263，63， 63) PB ( 63，63， 63)设平面 PCD 的一个法向量 m(x 1，y 1，z 1)，则Error!即Error!令 x11，则 m(1,0 ，2) ，| m| ；5同理设平面 PBC 的一个法向量 n(x 2，y 2，z 2)，Error!即Error!令 y21，则 n(0,
20、1,1) ，|n| ，2设平面 PBC 与平面 DPC 夹角为 ，显然 为锐角，且 cos .|mn|m|n| 252 105当 堂 达 标固 双 基1如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A相等 B互补C相等或互补 D不能确定C 由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补2在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，二面角 A1BCA 的余弦值为( ) 【导学号：33242309】A. B C. D12 23 22 33C 易知 A 1BA 为二面角 A1 BCA 的平面角，cosA 1BA .ABA1B 223若直线 l 的方向向量 a
21、(2,3,1)，平面 的一个法向量 n(4,0,1) ，则直线 l 与平面 所成角的正弦值等于_ 设直线 l 与平面 所成角为 ，则23834sin |cosa，n | .|an|n|a| | 8 1|14 17 238344在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，二面角 A1BDC1 的余弦值是_如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，13则 D(0,0,0)， B(1,1,0)，A 1(1,0,1)， (1,0,1) ， (1,1,0)DA1 DB 设 n(x，y，z)是平面 A1BD 的一个法向量，则Error!即Error!令 x1，则 y1，z 1，n(1，1，1)同理，求得
22、平面 BC1D 的一个法向量 m(1，1,1)，则 cos m，n ，mn|m|n| 13所以二面角 A1BDC1 的余弦值为 .135如图 3237 所示，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中点，求二面角 AA1DB 的余弦值【导学号：33242310】图 3237解 如图，取 B1C1 的中点 O1，BC 的中点 O，以 O 为原点， ， ，OB OO1 的方向为 x，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D (1,1,0)，OA A1(0,2， )， A(0,0， )， B1(1,2,0)， (1,2， )， (2,1,0)，3 3
23、 AB1 3 BD ( 1,2， )BA1 3设平面 A1BD 的法向量为 n1(x，y ，z)，则 n 1 0 且 n1 0，由此得Error!BD BA1 令 x1，得， y2，z ，3故平面 A1BD 的一个法向量为 n1(1,2， )3设平面 A1AD 的法向量为 n2(a，b，c) ， (1,1 ， )， (0,2,0)，AD 3 AA1 由 n2 0 且 n2 0 得AD AA1 Error!令 c ，得 a3，3故 n2(3,0， )为平面 A1AD 的一个法向量3因此 cosn 1，n 2 .由于点 B 在半平面 A1AD 内的射n1n2|n1|n2| 3 38 12 64影在线段 AC 上，故二面角 A A1DB 的平面角是锐角，故所求的二面角的余弦值是 .64