1、3.2.5 距离(选学)学习目标：1.掌握向量长度计算公式(重点)2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离2点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短(2)一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离3直线与它的平行平面的距离(1)如果一条直线平行于平面 ，则直线上的各点到平面 所作的垂线段相等，即各点到 的距离相等 (2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离4两个平行
2、平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段(2)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？提示 基础自测1思考辨析(1)可以用| |2 ，求空间两点 A、B 的距离( )AB AB AB (2)设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条斜线，则点 B 到 的距离为 d .( )|AB n|n|(3)若直线 l 与平面 平行，直线 l 上任意一点与平面 内任意一点的距离就是直线 l 与平面 的距离( )提示 (1) (2)(3) 直线上任意一点到平面 的垂线段的长度2设
3、A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM|等于( )A. B C. D534 532 532 132C M 点坐标为 ，| MC| .(2，32，3) 5323已知平面 的一个法向量 n( 2，2,1)，点 A(1,3,0)在 内，则P(2,1,4) 到 的距离为( )【导学号：33242317】A10 B3 C. D83103D ( 1，2,4)，d .AP |AP n|n| 103合 作 探 究攻 重 难空间两点间的距离如图 3244 所示，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面ABCD， ABEF 互相垂直，点 M
4、在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若CMBNa(0a )2图 3244(1)求 MN 的长(2)a 为何值时， MN 的长最小？思路探究 建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，F(1,1,0)，C (0,0,1)因为 CMBNa(0a )，且四边形 ABCD，ABEF 为正方形，所以 M2，N ，(22a，0，1 22a) ( 22a，22a，0)所以 ，MN (0，22a，22a 1)所以| | .MN a2 2a 1(2)由(1)知 MN ，所以，当 a 时，MN .22 22即当 a 时，MN 的长最小，最
5、小值为 .22 22规律方法 计算两点间的距离的两种方法(1)利用|a| 2 aa，通过向量运算求 |a|，如求 A，B 两点间的距离，一般用|AB| 求解|AB |2 AB AB (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离) ，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时跟踪训练1如图 3245 所示，在 120的二面角 AB 中，AC ，BD 且ACAB，BDAB ，垂足分别为 A、B，已知 AC ABBD6，试求线段 CD的长图 3245解 AC AB，BDAB， 0， 0，CA AB BD AB 又二面角 AB 的平面角为 120， ， 60，CA BD |CD| 2| |2( )2CD
6、 CA AB BD 2 2 22( )CA AB BD CA AB CA BD BD AB 36 226 2cos 60144，CD12.点到直线的距离探究问题1如何理解与认识点到直线的距离？提示 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题(1)点在直线上时，点到直线的距离为 0.(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离即点到直线的距离可转化为两点间的距离2如何用向量法求点到直线的距离？提示 设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定
7、点，向量在向量 s 上的射影的大小为| s0|，则点 A 到直线 l 的距离 dPA PA .|PA |2 |PA s0|2(其 中 s0 s|s|)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA11，AB4，BC3， ABC 90 ，求点 B 到直线 A1C1 的距离【导学号：33242318】思路探究 建立坐标系，利用向量法求解解 以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(4,0,1)，C 1(0,3,1)，所以直线 A1C1 的方向向量为 (4,3,0)，而A1C1 (0,3,1) ，BC1 所以点 B 到直线 A1C1 的距离d .135母题探究：1.(改变问法) 本例条件不
8、变，所求问题改为：若 M，N 分别是A1B1，AC 的中点，试求点 C1 到 MN 的距离解 如本例解法建系 (图略) 则 M(2,0,1)，N ，C 1(0,3,1)，所以直线 MN 的方向向量为 (2，32，0) MN ， (2,3,0) ，所以 在 上的投影为 ，(0，32， 1) MC1 MC1 MN MC1 MN |MN | 913所以 C1 到 MN 的距离为d .1 14413 2286132(变换条件) 若将本例中的条件改为“正三棱柱 ABCA1B1C1 且所有棱长均为 2”，如何求 B 到 A1C1 的距离解 以 B 为原点，分别以 BA，过 B 垂直于 BA 的直线，BB
9、1 为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,0,0)，A 1(2,0,2)，C 1(1， ，2)，3所以 A1C1 的方向向量 (1， ，0)，而 (1， ，2)，A1C1 3 BC1 3所以点 B 到直线 A1C1 的距离为d .8 1 7规律方法 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点；(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性.点到平面的距离如图 3246 所示，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a，求点A 到平面 A1BD 的距离图 3246
10、思路探究 本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解解 法一：设点 A 到平面 A1BD 的距离为 h，则V a aa a3，BAA1D 13 12 16V h ( a)2 a2h，AA1BD 13 34 2 36V V ，AA1BD BAA1Dh a，点 A 到平面 A1BD 的距离为 a.33 33法二：如图所示，建立空间直角坐标系 B1 xyz，则 A1(a,0,0)，A (a,0，a)，D(a，a ，a) ， B(0,0，a)，则 (a，a, 0)， (0，a，a)， (a,0,0)BD A1D AB 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y ，z)，则Error!即Er
11、ror!Error!令 y1，则 xz1，n(1，1,1) n( a,0,0)(1，1,1)a.AB 点 A 到平面 A1BD 的距离 d a.|AB n|n| | a|3 33规律方法 用向量法求点面距的方法与步骤：(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量 ；AB (3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量 n；(4)得答案：代入公式 d 求得答案.|AB n|n|提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量.跟踪训练2如图 3247 所示，已知ABC 是以B 为直角的直角三
12、角形，SA 平面 ABC，SA BC2，AB4，M ，N ，D 分别是 SC，AB，BC 的中点，求点 A到平面 SND 的距离图 3247解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(1,4,0)， (0 ，2,2)， ( 1,4，2) NS SD 设平面 SND 的法向量为 n(x，y,1)n 0， n 0，NS SD Error!Error!n(2,1,1)， (0,0,2)AS 点 A 到平面 SND 的距离为 .|nAS |n| 26 63当 堂 达 标固 双 基1在四面体 PABC 中， PA，PB，PC 两两垂直， M 是平面 ABC 内一点，且点
13、 M 到其他三个平面的距离分别是 2,3,6，则点 M 到顶点 P 的距离是( ) 【导学号：33242319】A7 B8 C9 D10A 以 P 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方PA PB PC 向建立空间直角坐标系，由题意，得|MP| 7.22 32 622已知平面 的一个法向量 n( 2，2,1)，点 A(x,3,0)在平面 内，则点 P(2,1,4)到平面 的距离为 ，则 x( )103A1 B11C 1 或11 D21C ( x2,2，4)，而 d ，即 ，解PA |PA n|n| | 103 | 2x 2 4 4|4 4 1 103得 x1 或 11
14、.3若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 1，AB 1 与底面 ABCD 成 60角，则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为( )A. B1 C. D33 2 3D 如图，A1C1平面 ABCD，所以 A1C1 到平面 ABCD 的距离等于点 A1 到平面 ABCD的距离，由 AB1 与平面 ABCD 所成的角是 60，AB1.BB 1 .即点 A1 到平3面 ABCD 的距离为 .34在 RtABC 中，C30，B90. D 是 BC 边的中点，AC2，DE平面 ABC，DE1，则点 E 到斜边 AC 的距离是_作 DHAC 于点 H，连接 EH(图略) 因为 DE平面 AB
15、C，所以194DEAC ，因为 DEDH D，所以 AC平面 DEH，所以 EHAC ，所以 EH即为所求距离由B90，C30 ，AC2，得 BC .因为 D 是 BC 边3上的中点，所以 DH CD BC .又 DE1，所以 EH .12 14 34 DE2 DH2 1945如图 3248 所示，BO 平面 ，AO平面 ，BC OB，BC 与平面 的夹角为 30，AO BOBC1，试求 AC 的长. 【导学号：33242320】图 3248解 如图，作 CD平面 于 D，则DBC30，BCD60. ， 120 ，即 ， 120.BC CD AO BC | |2( )2AC AO OB BC | |2| |2| |22 2 2 AO OB BC AO OB OB BC AO BC 32cos 1202.AC .2