1、3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标：1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程(重点).2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行(难点、易混点).3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角(难点)自 主 预 习探 新 知1用向量表示直线或点在直线上的位置用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线 l 上给定一个定点 A 和它的一个方向向量 a，对于直线 l 上的任意一点 P，则有 ta 或 ta 或 (1t ) t ( a)，上面三AP OP OA OP OA OB AB 个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程向量 a 称为该直线的方向向量(2)线段 AB 的中点 M
2、的向量表达式 ( )OM 12OA OB 2用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则由向量共线的条件，得l1l 2 或 l1 与 l2 重合 v1 v2.(2)已知两个不共线向量 v1，v 2 与平面 共面，一条直线 l 的一个方向向量为 v，则由共面向量定理，可得 l 或 l 在 内存在两个实数 x，y ，使vxv 1yv 2.(3)已知两个不共线向量 v1，v 2 与平面 共面，则由两平面平行的判定与性质，得 或 与 重合v 1 且 v2.3用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角
3、为 ，v 1 和 v2 分别是 l1 和 l2 的方向向量，则l1l 2v1v 2，cos |cosv 1，v 2| .基础自测1思考辨析(1)直线 l 的方向向量是唯一的( )(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反( )(3)若向量 a 是直线 l 的一个方向向量，则向量 ka 也是直线 l 的一个方向向量( )提示 (1) 与直线 l 平行或共线的任何向量都可作为 l 的方向向量(2)(3) k0.2若 A(1,0， 1)，B(2,1,2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是( ) 【导学号：33242274】A(2,2,6) B(1,1,3) C(3，l,1) D
4、( 3,0,1)B (2,1,2)(1,0， 1)(1,1,3)，故选 B.AB 3直线 l1 与 l2 不重合，直线 l1 的方向向量为 v1(1,1,2)，直线 l2 的方向向量 v2(2,0,1)，则直线 l1 与 l2 的位置关系是_ 垂直 因为 v1v2( 1,1,2)(2,0,1)220，所以 v1v 2.合 作 探 究攻 重 难空间中点的位置确定已知 O 是坐标原点，A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,4,0)、B(2,5,5)、C(0,3,5)(1)若 ( )，求 P 点的坐标；OP 12AB AC (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，求 P 点的坐标.
5、【导学号：33242275】思路探究 (1)由条件先求出 ， 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的AB AC 坐标(2)先把条件 APPB12 转化为向量关系，再运算解 (1) (1,1,5)， (3，1,5)AB AC ( ) (2,2,0)(1,1,0)OP 12AB AC 12P 点的坐标为(1,1,0) (2)由 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，知 .AP 12PB 设点 P 的坐标为( x，y，z)，则 (x3 ，y4，z)， (2x, 5y,5z)，AP PB 故(x3，y 4，z) (2x,5y,5z)，12即Error!得Error!因此 P 点的坐标为 .(83
6、，133，53)规律方法 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可.跟踪训练1已知点 A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图 321，以 的方向为正向，在直线 ABAB 上建立一条数轴，P，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：图 321(1)APPB12；(2)AQQB21.求点 P 和点 Q 的坐标解 (1)由已知，得 2 ，PB AP 即 2( )，OB OP OP OA .OP 23OA 13OB 设点 P 坐标为( x，y，z )，则上式换用坐标表示，得(x， y， z) (2,4,0) (1,3,3)，23 13
7、即 x ，y ，43 13 53 83 33 113z011.因此，P 点的坐标是 .(53，113，1)(2)因为 AQQB21，所以 2 ， 2( )， 2 ，AQ QB OQ OA OB OQ OQ OA OB 设点 Q 的坐标为(x ，y ，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2,4,0)2(1,3,3)(0,2,6) ，即 x0，y2，z6.因此，Q 点的坐标是(0,2,6).利用向量法求异面直线的夹角(1)直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA90，M，N 分别是A1B1，A 1C1 的中点，BCCACC 1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )【导学号：33242
8、276】A. B C. D110 25 3010 22(2)图 322如图 322 所示，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E，F 分别为 AB， BC 的中点，设异面直线 EM与 AF 所成的角为 ，则 cos 的最大值为_ 思路探究 (1)建立空间直角坐标系，表示出 ， 的坐标，利用向量法BM AN 求解；(2)以 A 为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量 ，AF 的坐标，建立函数关系式讨论最值EM 解析 (1)以 C1 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 BCCACC 12，则 A(2,0,2)，
9、N(1,0,0)，M(1,1,0)，B (0,2,2)， ( 1,0，2) ， (1，1，2)，AN BM cos ， .AN BM AN BM |AN |BM | 1 456 330 3010(2)以 AB，AD，AQ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设正方形边长为 2，M(0，y,2)(0y2)，则 A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)， (1，y,2) ，| | ， (2,1,0)，EM EM y2 5 AF | | ，AF 5cos .|EM AF |EM |AF | |y 2|5 y2 5 2 y5 y2 5令 t2y，要
10、使 cos 最大，显然 0t2.cos .15 t9 4t t2 15 15 15 25 25当且仅当 t2，即点 M 与点 Q 重合时，cos 取得最大值 .25答案 (1)C (2)25规律方法 利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角.提醒：两异面直线夹角范围为 ，时刻注意两异面直线夹角的范围是解(0，2题的关键.跟踪训练2如图 323 所示，已知正四棱锥 PABCD 底面边长为 a，高 PO 的长也为 a，E
11、，F 分别是 PD， PA 的中点，求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值图 323解 如图，以 O 为原点，过 O 点平行于 AB、BC 的直线为 x 轴、y 轴，PO 为 z 轴建立空间直角坐标系由已知得A ，B ，( a2， a2，0) (a2， a2，0)E ， F ，( a4，a4，a2) ( a4， a4，a2)所以 ， ，AE (a4，3a4，a2) BF ( 3a4，a4，a2)所以 cos ， AE BF AE BF |AE |BF | . 3a216 3a216 a24a216 9a216 a24 9a216 a216 a24 27所以异面直线 AE 与 BF 所成角的
12、余弦值为 .27利用空间向量处理平行问题探究问题1直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？提示 (1)非零性：直线的方向向量是非零向量(2)不唯一性：直线 l 的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量. (3)给定空间中的任一点 A 和非零向量 a，就可以确定唯一一条过点 A 且平行于向量 a 的直线2两条平行直线的方向向量有什么关系？提示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，则 lmabab.(1)已知直线 l平面 ABC，且 l 的一个方向向量为 a(2，m, 1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C (0,1,0)，则实数 m 的值是_图 324(2)
13、如图 324 所示，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是BB1，DD 1 的中点，求证：FC 1平面 ADE.【导学号：33242277】解析 (1) (1,0，1)， (0,1，1)AB AC 因为 l平面 ABC，所以存在实数 ，使 a AB AC 即(2， m,1) (1,0，1)(0,1，1)Error!解得 m3.答案 3(2)证明 如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)所以 (0,2,1) ， (2,0,0)， (0,2,1)，FC1
14、DA AE 因为 DA平面 ADE，AE平面 ADE，且(0,2,1)0 (2,0,0)1 (0,2,1)，即 0 1 ，FC1 DA AE 所以有 FC1平面 ADE 或 FC1平面 ADE，又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.母题探究：1.(改变问法) 本例 3 中若 G，H 分别为 AD，B 1C1 的中点试求证 EG FH.证明 如图所示，建立空间直角坐标系则 E(2,2,1)，G(1,0,0) ，F (0,0,1)，H(1,2,2)所以 ( 1，2，1) ， (1,2,1)EG FH 所以 ，所以 .FH EG FH EG 显然 EG 与 FH 不重合，故 EGFH
15、 .2(改变问法) 本例 3 条件不变，改为求平面 ADE平面 B1C1F.证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，D (0,0,0)，B 1(2,2,2)，C1(0,2,2)，E (2,2,1)，F(0,0,1)，得 (2,2,1)， (2,2,1)，DE FB1 (2,0,0)， (2,0,0)，DA B1C1 所以 ， ，DE FB1 DA B1C1 又相互不共面，所以 DEFB 1，DAB 1C1，又 DA DE D，FB 1B 1C1B 1，所以平面 ADE平面 B1C1F.规律方法 (1)证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行.(2)用向量法证明线面平行：
16、一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内.(3)利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行.提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.当 堂 达 标固 双 基1直线 l1，l 2 的方向向量分别为 v1(3,0,1)，v 2(1,0，m )，若 l1l 2，则 m 等于( )A1 B3 C. D13 13D 因为 l1l 2.所以存在实数 ，使 v1 v2即(3,0,1)(1,0，m)，Error!解得 m .132若 A(1,0
17、,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为 ( ) 【导学号：33242278】A(1,2,3) B(1,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)A (1,4,7) ( 1,0,1)(2,4,6)2(1,2,3) ，故选 A.AB 3若异面直线 l1，l 2 的方向向量分别是 a(0，2，1)，b(2,0,4)，则异面直线 l1 与 l2 的夹角的余弦值等于( )A B25 25C D255 255B |a| ，|b|2 ，ab(0，2，1)(2,0,4)45 5cos a，b . 4525 25异面直线夹角的范围是 ，故选 B.(0，24若 a b (a，b 为实数)，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系为AB CD CE _AB平面 CDE 或 AB平面 CDE5已知点 A(4,1,3)，B(2， 5,1)，C 为线段 AB 上一点，且 AC AB，求13C 点的坐标 . 【导学号：33242279】解 设 C(x，y，z )，则 (x4，y1，z3) AC 又 (2，6，2)由题意 ，AB AC 13AB (x4，y 1，z3) (2，6，2)，13则 x ，y1，z .103 73所以 C 点坐标为 .(103， 1，73)