1、2.4.2 抛物线的几何性质(二)学习目标：1.掌握直线与抛物线位置关系的判断.2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识.3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题自 主 预 习探 新 知1直线与抛物线的位置关系及判定位置关系 公共点 判定方法相交 有两个或一个公共点 k 0 或Error!相切 有且只有一个公共点 0相离 无公共点 0联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为基础自测1思考辨析(1)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点( )(2)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点( )(3)过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公
2、共点的直线有三条( )提示 (1) 过抛物线上一点与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点(2) (3)2已知点 A(2,3)在抛物线 C：y 22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( )A B143C D34 12C 由点 A(2,3)在 y22px 的准线 x 上得 p4，F(2,0)，p2k AF ，故选 C.343过抛物线 y24x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3，则|AB| _. 【导学号：33242193】8 | AB|2 2(31)8.(x0 p2)合 作 探 究攻 重 难直线与抛物线的位置关系已知抛
3、物线的方程为 y24x ，直线 l 过定点 P(2,1)，斜率为 k，k为何值时，直线 l 与抛物线 y24x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线 l 的方程为 y1k(x2)由方程组Error!(*)可得 ky24y4(2k1) 0. (1)当 k0 时，由方程得 y1.把 y1 代入 y24x，得 x .14这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点 .(14，1)(2)当 k0 时，方程的判别式为16(2k 2 k1) 由 0，即 2k2k 10，解得 k1，或 k .12于是，当 k 1，或 k 时，方程只有一个解，从而方程组 (*)只有一个12解这时，直线 l
4、 与抛物线只有一个公共点由 0，得 2k2k10，解得 k .12于是，当 k 时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有12解这时，直线 l 与抛物线没有公共点综上，我们可得当 k1，或 k ，或 k0 时，直线 l 与抛物线只有一个公共点；12当1 时，直线 l 与抛物线没有公共点12规律方法 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为 0 的情况.跟踪训练1如图 242，过抛物线 y2x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC 交抛物线于 B，C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值图 242证明 设
5、 kABk (k0)，直线 AB，AC 的倾斜角互补，k ACk(k0)，AB 的方程是 yk(x4)2.由方程组Error!消去 y 后，整理得k2x2(8k 24k1) x16 k216k40.A(4,2)，B(x B，y B)是上述方程组的解4x B ，即 xB .16k2 16k 4k2 4k2 4k 1k2以k 代换 xB中的 k，得 xC ，4k2 4k 1k2k BCyB yCxB xCkxB 4 2 kxC 4 2xB xC kxB xC 8xB xCk(8k2 2k2 8) 8kk2 .14直线 BC 的斜率为定值与抛物线有关的中点弦问题探究问题对比椭圆的“中点弦”问题，思考
6、与抛物线有关的“中点弦”问题的解题策略有哪些？提示 (1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由 k求斜率，再由点斜式求解y1 y2x1 x2(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去 x(或 y)得关于 y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的 2倍，从而求斜率已知 A，B 为抛物线 E 上不同的两点，若抛物线 E 的焦点为(1,0)，线段 AB 恰被 M(2,1)所平分(1)求抛物线 E 的标准方程；(2)求直线 AB 的方程. 【导学号：33242194】思路探究 用“点差法”解 (1)由 E 的焦点为(1,0)，可设抛物线方程为
7、 y22px，且 1，p2，抛物线方程为 y24x .p2(2)设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，由 M(2,1)为线段 AB 的中点可知直线 AB 斜率存在且不为零，设直线 AB 斜率为 k.由 A，B 为抛物线上不同两点得Error!得 k 2，4y1 y2直线 AB 方程为 y12(x2)，即 2xy 30.母题探究：1.(变换条件) 若本例中条件“线段 AB 恰被 M(2,1)所平分”改为“线段 AB 恰被 M(1,1)所平分 ”，问这样的直线 AB 是否存在？若存在，求出直线 AB 的方程，若不存在，说明理由解 由抛物线的焦点为 (1,0)，所以 1，p2，p2故抛物线方
8、程为 y24x .假设 AB 斜率存在，即 AB 不垂直于 x 轴，故可设 AB 所在直线的方程为y1k(x1)( k0)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!消去 x 整理得ky24y44k0，164k(44k )0 恒成立，又由根与系数的关系得 y1y 2 ，4k根据 M 为 AB 的中点，所以 2，k 2，4k所以所求直线方程为 y 12(x 1)，即 2xy10.当 AB 的斜率不存在时，显然不符合题意. 2(变换条件、改变问法)若动点 P 在抛物线 E 上移动，求线段 PM 中点的轨迹方程解 设 P(x0，y 0)，PM 中点的坐标为 (x，y)，由中点坐标公式
9、得Error!即Error!p 在抛物线 y24x 上，PM 中点的轨迹方程为(2y 1) 28(x1)规律方法 解决中点弦问题的基本方法是点差法、根与系数关系的方法，直线方程与抛物线方程联立时，消 y 有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解.一般地，已知抛物线 y22px(p0) 上两点 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)及 AB 的中点 P(x0，y 0)，则 kAB ，直线 AB 的方程为 yy 0 py0 py0(x x0).线段 AB 的垂直平分线的方程为 yy 0 (xx 0).y0p提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法” 求解 .抛物线的综合运用如图 2
10、43 所示，已知直线 l：y 2x4 交抛物线 y24x 于 A，B两点，试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P，使PAB 的面积最大，并求出这个最大面积 【导学号：33242195】图 243思路探究 解决本题的关键是弦 AB 为定值，将点 P 到直线 AB 的距离的最值问题转化为二次函数问题求解在应用配方法求最值时，一定要注意自变量的取值范围解 由Error! 解得Error!或Error!由题图可知 A(4,4)，B(1， 2)，则| AB|3 .5设 P(x0，y 0)为抛物线 AOB 这段曲线上一点，d 为点 P 到直线 AB 的距离，则：d |(y01) 29|.|2x0 y0
11、4|5 15|y202 y0 4| 1252y 04 ，(y 01) 290.d 9(y 01) 2125从而当 y01 时，d max ，925Smax 3 .12 925 5 274因此，当点 P 的坐标为 时，PAB 的面积取得最大值，最大值为 .(14，1) 274规律方法 应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4
12、)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值跟踪训练2如图 244 所示，已知抛物线 C：x 24y ，过点 M(0,2)任作一直线与 C相交于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点)图 244(1)求证动点 D 在定直线上；(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)，与直线 y2 相交于点 N1，与(1)中的定直线相交于点 N2，求证| MN2|2| MN1|2 为定值，并求此定值证明 (1)依题意可设直线 AB 的方程为 ykx 2，代入 x2
13、4y，得x24(kx 2)，即 x24kx80.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有 x1x28.直线 AO 的方程为 y x，直线 BD 的方程为 x x2.y1x1可得交点 D 的坐标为 ，(x2，y1x2x1)注意到 x1x28 及 x 4y 1，21则有 y 2.y1x1x2x21 8y14y1因此 D 点在定直线 y2(x 0)上(2)依题意得切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 yax b(a0)，代入 x24y 得 x24(axb)，即 x24ax4b0.由 0 得(4a) 216b0，化简整理得 ba 2.故切线 l 的方程可写为 yax a 2
14、.分别令 y2， y2 得 N1，N 2 的坐标为：N1 ，N 2 ，(2a a，2) ( 2a a， 2)则|MN 2|2|MN 1|2 4 2 8，即| MN2|2|MN 1|2 为定值 8.(2a a)2 (2a a)2 当 堂 达 标固 双 基1抛物线 y212x 截直线 y2x1 所得弦长等于 ( )A. B2 C. D1515 15152A 令直线与抛物线交于点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)由Error!得 4x28x 10 ，x 1x 22，x 1x2 ，14|AB| 1 22x1 x22 .5x1 x22 4x1x2 152已知直线 l1：4x3y 60 和直线 l
15、2：x 1，抛物线 y24x 上一动点P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) 【导学号：33242196】A2 B3 C. D115 3716A 直线 l2：x 1 恰为抛物线 y24x 准线，P 到 l2 的距离 d2|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，所以 P 到 l1、l 2 距离之和最小值为 F 到 l1 距离2，故选 A.|41 30 6|32 423已知点 A(4,0)，M 是抛物线 y26x 上的动点，当点 M 到 A 距离最小时，M 点坐标为 _(1， ) 设 M ，6 (y216，y1)则|MA| 2 y(y216 4)2 21 y y 16 (y 6)
16、 21515，13641 1321 136 21当且仅当 y 6，即 y1 ，x 1 1 时，| MA|取最小值 ，此时21 6y216 15M(1， ) 64直线 yxb 交抛物线 y x2 于 A、B 两点，O 为抛物线的顶点，且12OAOB，则 b 的值为_2 由 Error!，得 x22x 2b0，(2) 28b0，设直线与抛物线的两交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)由根与系数的关系，得 x1x 22，x 1x22b，于是 y1y2 (x1x2)2b 2，14由 OA OB 知 x1x2y 1y2 0，故 b22b0，解得 b2 或 b0(不合题意，舍去)b2 适合 0.
17、5已知抛物线 y2x 与直线 l：yk(x1) 相交于 A，B 两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB 的面积等于 时，求 k 的值10【导学号：33242197】解 (1)证明：联立Error! ，消去 x，得 ky2yk 0.设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 y1y 2 ，y 1y21.1k因为 y x 1，y x 2，所以(y 1y2)2x 1x2，21 2所以 x1x21 ，所以 x1x2y 1y20，即 0，所以 OAOB.OA OB (2)设直线 l 与 x 轴的交点为 N，则 N 的坐标为(1,0)，所以 SAOB |ON|y1y 2|12 |ON|12 y1 y22 4y1y2 1 ，12 1k2 4 10解得 k2 ，所以 k .136 16