1、3.1.1 空间向量的线性运算学习目标：1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念(重点)2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律(重点、易混点)自 主 预 习探 新 知1空间向量的概念(1)在空间中，把具有大小和方向的量叫做向量，向量 a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量 a 的起点是 A，终点是 B，则向量 a 也可记作 ，其模记为| a|或| |.AB AB (2)几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 起点与终点重合的向量叫做零向量，记为 0单位向量 模为
2、 1 的向量称为单位向量相反向量与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律加法 ab OA OB 空间向量的运算 减法 ab OA OB 数乘当 0 时，a QP ，当 0 时，OA a 0，当 0 时， aMN OA 0 0加法与数乘运算律(1)加法交换律：abba；(2)加法结合律：(ab) ca(bc)(3)分配律：(
3、)aaa，(ab) ab思考：空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？提示 完全一致基础自测1思考辨析(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同( )(2)零向量没有方向. ( )(3)空间向量的数乘中 只决定向量的大小，不决定向量的方向( )提示 (1)(2) 零向量方向任意，但不是没有方向(3) 既决定向量的大小，又决定向量的方向2已知空间四边形 ABCD 中， a， b， c，则 等于( )AB CB AD CD Aabc BabcC abc DabcC bac abc，故选 C.CD CB BA AD 3在单位正方体 ABCDA1B1C1D1 中，向
4、量 与 是_向量，向AA1 CC1 量 与 是_向量AC C1A1 答案 相等 相反合 作 探 究攻 重 难空间向量的概念及简单应用(1)下列说法中正确的是 ( )A若|a|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则| a| b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形 ABCD 中，一定有 AB AD AC B |a|b|，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确定，对于 a 的相反向量ba，故|a|b|，从而 B 正确只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有 ，只有平行四边形才能成立故 A、C、D 均AB AD AC 不正确(2)如图
5、311 所示，以长方体 ABCDA1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中图 311试写出与 相等的所有向量AB 试写出 的相反向量AA1 若 ABAD2，AA 1 1，求向量 的模AC1 解 与向量 相等的所有向量 (除它自身之外) 有 ， 及 共 3AB A1B1 DC D1C1 个向量 的相反向量为 ， ， ， .AA1 A1A B1B C1C D1D | |AC1 |AB |2 |AD |2 |AA1 |2 3.22 22 12 9规律方法 (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量) 的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.(2)熟练掌握
6、空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.跟踪训练1(1)给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ；AC A1C1 若向量 a 与向量 b 的模相等，则 ab.其中正确命题的序号是_(2)下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若 a、b 满足|a|b|且 a、b 同向，则 ab；不相等的两个空间向量的模必不相等；对于任何向量 a、b，必有|ab| |a| |b|.其中正确命题的序号为 ( )A BC D(1) (2)B (1)正确；正确，因为 与 的大小和方向均相同；AC A1C1 |a|b|，不能确定其方向
7、，所以 a 与 b 不一定相等综上可知，正确命题为.(2)对于：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错；对于：向量是不能比较大小的，故不正确；对于：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错；只有正确空间向量的加、减法运算探究问题向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角形法则有什么特点？提示 (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法(2)若两个空间向量的始点相同，则这两个向量即为平面向量求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点，因此
8、为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量如图 312，已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量图 312(1) ；AA CB (2) . 【导学号：33242234】AA AB BC 思路探究 借助向量运算的三角形法则和平行四边形法则进行运算解 (1) .AA CB AA DA AA AD AD (2) ( ) .AA AB BC AA AB BC AB BC AC 向量 、 如图所示AD AC 母题探究：1.(变结论) 利用本例图，化简 .AA AB BC CA 解 结合加法运算 ， ， 0.
9、AA AB AB AB BC AC AC CA 故 0.AA AB BC CA 2(变结论 )利用本例图，求证 2 .AC AB AD AC 证明 长方体的六个面均为平行四边形 ， ， ，AC AB AD AB AB AA AD AD AA AC AB AD ( ) ( ) ( )2( )AB AD AB AA AD AA AB AD AA 又 ， ，AA CC AD BC .AB AD AA AB BC CC AC CC AC 2 .AC AB AD AC 规律方法 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即 A n1 An .A1A2 A2A3 A3
10、A4 A1An (2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0.如图， 0.OB BC CD DE EF FG GH HO (3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即aba( b)(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(ab) c( ) OA AB BC OB ，a (bc ) ( ) ，BC OC OA AB BC OA AC OC 所以(a b) ca(bc).数乘向量运算如图 313 所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1
11、 中，设 a，AA1 b， c ，M ，N ， P 分别是 AA1，BC，C 1D1 的中点，试用 a，b，c 表示AB AD 以下各向量：图 313(1) ；(2) ；(3) . 【导学号 ：33242235】AP A1N MP NC1 思路探究 将所求向量置于适当的三角形或多边形中，利用三角形法则、平行四边形法则或首尾相接的方法，将所求向量表示出来，然后化简整理解 (1)P 是 C1D1的中点， a ac ac b.AP AA1 A1D1 D1P AD 12D1C1 12AB 12(2)N 是 BC 的中点， ab ab ab c.A1N A1A AB BN 12BC 12AD 12(3)
12、M 是 AA1的中点， MP MA AP 12A1A AP a a bc.12 (a c 12b) 12 12又 NC1 NC CC1 12BC AA1 ca，12AD AA1 12 a b c.MP NC1 (12a 12b c) (a 12c) 32 12 32规律方法 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来.跟踪训练2如图 314 已知 ABCD 为正方形，P
13、是 ABCD 所在平面外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x、y 的值：图 314(1) x y ；OQ PQ PC PA (2) x y .PA PO PQ PD 解 (1) OQ PQ PO ( ) ，PQ 12PA PC PQ 12PA 12PC xy .12(2) 2 ， 2 .PA PC PO PA PO PC 又 2 ， 2 .PC PD PQ PC PQ PD 从而有 2 (2 )2 2 .PA PO PQ PD PO PQ PD x2，y2.当 堂 达 标固 双 基1下列命题中，假命题是 ( )A同平面向
14、量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相反向量的和为零向量C只有零向量的模等于 0D空间中任意两个单位向量必相等D 大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等2在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，与向量 相等的向量共有 ( )AD A1 个 B2 个 C3 个 D4 个C 向量 、 、 与 相等A1D1 BC B1C1 AD 3向量 a，b 互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是 ( ) 【导学号：33242236】Aab Bab 为实数 0Ca 与 b 方向相同 D|a| 3D ab 且|b|3，|a| |b| 3.4化简 2 2 3 3 _.AB BC CD DA AC 0 2 2 3 3 AB BC CD DA AC 2( ) AB BC CD DA CD DA AC 0 000.CA AC 5如图 315 所示的是平行六面体 ABCDA1B1C1D1，化简下列各式图 315(1) ；AB AD AA1 (2) .DD1 AB BC 解 (1) .AB AD AA1 AB BC CC1 AC1 (2) ( ) .DD1 AB BC DD1 AB AD DD1 DB BD1