1、2.4.2 抛物线的几何性质( 一)学习目标：1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质( 重点 )2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围 x 0，yR x 0，yR xR，y0xR，y0对称轴x 轴 y 轴顶点 (0,0)性质离心率e1思考：参数 p 对抛物线开口大小有何影响？提示 参数 p(p0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点 F 且垂直于对称轴的弦的长度是 2p，所以 p 越大，开口越大2焦点弦设过抛物线焦点的弦
2、的端点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则：y22px (p0) |AB|x 1x 2py22px (p0) |AB|p(x 1x 2)x22py (p0) |AB|y 1y 2px22py (p0) |AB|p(y 1y 2)基础自测1思考辨析(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )(2)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F 的弦，若 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，(p2，0)则 x1x2 ，y 1y2p 2，弦长|AB| x 1x 2p.( )p24(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线 x22
3、ay (a0)的通径长为 2a.( )提示 (1) 抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形(2) (3)2顶点在原点，对称轴为 y 轴，顶点到准线的距离为 4 的抛物线方程是 ( )Ax 216y Bx 28yCx 28y Dx 216yD 顶点在原点，对称轴为 y 轴的抛物线方程有两个：x22py，x 22py(p0) 由顶点到准线的距离为 4 知 p8，故所求抛物线方程为 x216y，x 216y.3已知抛物线 y22px (p0)的焦点 F，点 P1(x1， y1)、P 2(x2，y 2)、P 3(x3，y 3)在抛物线上，且 2x2x 1x 3，则有( ) 【导学号：33242183】
4、A|FP 1|FP 2|FP 3|B|FP 1|2|FP 2|2|FP 3|2C|FP 1|FP 3|2|FP 2|D|FP 1|FP3| FP2|2C 由抛物线定义知|FP1|x 1 ，|FP 2|x 2 ，| FP3|x 3 ，| FP1| FP3|2|FP 2|，故选 C.p2 p2 p2合 作 探 究攻 重 难由抛物线的几何性质求标准方程抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24y 236 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程思路探究 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可解 椭圆的方程可化为 1，x24
5、y29其短轴在 x 轴上，抛物线的对称轴为 x 轴，设抛物线的方程为 y2 2px 或 y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 3，p6，p2抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x，其准线方程分别为 x 3 和 x3.规律方法 用待定系数法求抛物线方程的步骤：跟踪训练1已知双曲线方程是 1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的x28 y29标准方程及抛物线的准线方程解 因为双曲线 1 的右顶点坐标为(2 ，0) ，所以 2 ，且抛x28 y29 2 p2 2物线的焦点在 x 轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为 y28 x，其准线方程2为 x2 .2抛物线几何性质的应用已知抛
6、物线 y28 x，(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量 x 的范围(2)以坐标原点 O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形 OAB，| OA|OB|，若焦点 F 是OAB 的重心，求OAB 的周长. 【导学号：33242184】思路探究 (1)利用抛物线对应性质的公式求解；(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解解 (1)抛物线 y28x 的顶点、焦点、准线、对称轴、变量 x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x 2，x 轴，x0.(2)如图所示由|OA|OB|可知 ABx 轴，垂足为点 M，又焦点 F 是OAB 的重心，则|OF| |OM|.23因为 F(2,0)，所以|OM|
7、 |OF|3，32所以 M(3,0)，故设 A(3，m)代入 y28x 得 m224，所以 m2 或 m2 ，6 6所以 A(3,2 )，B(3，2 )，6 6所以|OA |OB| ，33所以OAB 的周长为 2 4 .33 6规律方法 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明 A，B 两点关于 x 轴对称.另外，抛物线方程中变量 x，y 的范围也是常用的几何性质 .跟踪训练2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px( p0)上，求这个正三角形的边长. 解 如图所
8、示，设正三角形 OAB 的顶点 A，B 在抛物线上，且坐标分别为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 y 2px 1，y 2px 2.21 2又 OA OB，所以 x y x y ，21 21 2 2即 x x 2px 12px 20，21 2整理得(x 1x 2)(x1x 22p )0.x 10，x 20,2p0，x 1x 2，由此可得|y 1| y2|，即线段 AB 关于 x 轴对称由此得AOx30，所以 y1 x1，与 y 2px 1 联立，33 21解得 y12 p.|AB|2y 14 p.3 3焦点弦问题探究问题以抛物线 y2 2px(p0) 为例，回答下列问题：问题 1：
9、过焦点 F 的弦长|AB| 如何表示？还能得到哪些结论？提示 (1)|AB|2 (焦点弦长与中点关系)(x0 p2)(2)|AB|x 1 x2p ( 为 AB 的倾斜角)2psin2(3)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2 ，y 1y2p 2.p24(4)SAOB .p22sin (5) (定值)1|AF| 1|BF| 2p(6)A 1FB1 90.问题 2：以 AB 为直径的圆与直线 l 具有怎样的位置关系？提示 如图， AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的一条弦，设 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，AB 的中点 M(x0，y 0)，相应的准线为 l
10、.所以以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切已知抛物线方程为 y22px (p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，且| AB| p，求 AB 所在直线的方程. 52【导学号：33242185】思路探究 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程解 过焦点的弦长 |AB| p52弦所在的直线的斜率存在且不为零设直线 AB 的斜率为 k，且 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)y 22px 的焦点为 F .(p2，0)直线方程为 yk .(x p2)由Error!整理得k2x2(k 2p2p)x k2p2 0(k0)，14x 1x 2 ，k2p 2pk2|AB|x 1x 2p
11、p，k2p 2pk2又|AB| p，52 p p，k 2.k2p 2pk2 52所求直线方程为 y2 或 y2 .(x p2) (x p2)母题探究：1.(改变问法) 本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离解 设 AB 中点为 M(x0，y 0)，由例题解答可知 2x0x 1 x2 p，32所以 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 p.342(变换条件) 本例中，若 A、B 在其准线上的射影分别为 A1，B 1，求A 1FB1.解 由例题解析可知 AB 的方程为 yk ，(x p2)即 x y ，代入 y22px 消 x 可得 y2 yp 2，即1k p2 2pky2 yp
12、20，y 1y2p 2，2pk由 A1 点的坐标为 ，B 1 点的坐标为 ，得( p2，y1) ( p2，y2)k ， k .A1F y1p B1F y2pk k 1，A1F B1F y1y2p2A 1FB1 90.规律方法 解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.当 堂 达 标固 双 基1设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 6，则点 P 到该抛物线焦点F 的距离是( )A8 B6 C4 D2A 抛物线的方程为 y28x ，其准线 l
13、 的方程为 x2，设点 P(x0，y 0)到其准线的距离为 d，则 d| PF|，即|PF|dx 0(2) x 02，点 P 到 y 轴的距离是 6，x 06，|PF|62 8.2在抛物线 y216x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) 【导学号：33242186】A(4 ，2) B(4 ，2)2 2C(2,4 ) D(2 ，4 )2 2D 抛物线 y216x 的顶点 O(0,0)，焦点 F(4,0)，设 P(x，y)符合题意，则有Error!Error!Error!所以符合题意的点为(2，4 )23设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 是抛物线上一点，若 4，则点
14、A 的坐标是( )OA AF A(2， 2 ) B(1，2)2C(1,2) D(2,2 )2B 由题意知 F(1,0)，设 A ，则 ， ，(y204，y0) OA (y204，y0) AF (1 y204， y0)由 4 得 y02，点 A 的坐标为(1，2) ，故选 B.OA AF 4已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，P 是 C 上一点，若 P 在第一象限，|PF|8，则点 P 的坐标为 _(6,4 ) 抛物线的焦点为 F(2,0)，设点 P 的坐标为( x0，y 0)，则3|PF|x 028，所以 x06，所以 y0 4 ，即 P(6,4 )86 3 35已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，求线段 AB 的中点到 y 轴的距离. 【导学号：33242187】解 如图， l：x 为抛物线 y2x 的准线，作 ACl 于 C，BD l 于14D，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 3，(x1 14) (x2 14)即 x1x 2 ，所以 ，即线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 .52 x1 x22 54 54