1、3.1.4 空间向量的直角坐标运算学习目标：1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示( 重点 ).3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1空间向量的坐标表示空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴，y 轴， z 轴的正方向引单位向量 i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i ，j，k ，这个基底叫做单位正交基底单位向量 i，j，k 都叫做坐标向量(2)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量 a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组( a1， a2，a 3)，使 a
2、a 1ia 2ja 3k，a 1i， a2j，a 3k 分别为向量 a 在i，j ，k 方向上的分向量，有序实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标上式可简记作 a(a 1，a 2，a 3)思考 1：若 ax 1e1ye 2ze 3，则 a 的坐标一定是(x ，y，z)吗？提示 不一定，当 e1，e 2，e 3 是单位正交基底时，坐标是(x，y ，z )，否则不是2空间向量的坐标运算空间向量 a，b，其坐标形式为 a(a 1，a 2，a 3)，b(b 1，b 2，b 3)向量运算 向量表示 坐标表示加法 ab (a1b 1，a 2b 2，a 3b 3)减法 ab (
3、a1b 1，a 2b 2，a 3b 3)数乘 a (a1，a 2，a 3)数量积 ab a1b1a 2b2a 3b33.空间向量的平行、垂直及模、夹角(1)设 A(x1，y 1，z 1)，B( x2，y 2，z 2)则 (x 2x 1，y 2y 1，z 2z 1)AB | | .AB x2 x12 y2 y12 z2 z12(2)设 a(a 1，a 2，a 3)，b (b1，b 2，b 3)，满足条件名称向量表示形式 坐标表示形式ab a b(R)a1b 1，a 2b 2，a 3b3(R)ab ab0 a1b1a 2b2a 3b30模 |a| aa |a| a21 a2 a23夹角 cosa，
4、bab|a|b| cosa，ba1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23b21 b2 b23思考 2：若向量 ( x，y，z)，则点 B 的坐标是(x ，y，z)吗？AB 提示 不一定 A 点与原点重合是，不与原点重合则不是基础自测1思考辨析(1)已知 i，j，k 是空间直角坐标系 Oxyz 的坐标向量，并且 i jk，AB 则 B 点的坐标为( 1,1， 1)( )(2)向量 a(2，3,1)与向量 b(4,6，2)平行( )(3)若向量 a (1，1,2)与向量 b(x,2，1)垂直，则 x4.( )提示 (1) 向量 的坐标与 B 点的坐标不同AB (2) (3)2已知向量 a(3
5、，2,1)，b(2,4,0) ，则 4a2b 等于( )A(16,0,4) B(8，16,4)C(8,16,4) D(8,0,4)D 4a 2b4(3 ，2,1) 2( 2,4,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4)3已知 A(2， 5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量 与 的夹角为AB AC _【导学号：33242263】60 (0,3,3) ， ( 1,1,0)，AB AC | |3 ，| | ，AB 2 AC 2 3，AB AC cos ， ，AB AC AB AC |AB |AC | 3322 12 ， 60.AB AC 合 作 探 究攻 重 难空间向量的坐标
6、表示与运算(1)如图 3135，在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD中，E、F、G分别为棱 DD、DC、BC 的中点，以 ， ， 为基底，求下列向量的坐AB AD AA 标图 3135 ， ， ；AE AG AF ， ， .EF EG DG (2)已知空间四点 A、B、C、D 的坐标分别是( 1,2,1)、(1,3,4)、(0，1,4)、(2， 1，2)；若 p ，q .求p2q； 3pq；(pq)(pq)；AB CD 解 (1) ， AE AD DE AD 12DD AD 12AA (0，1，12) AG AB ， .BG AB 12AD (1，12，0) AF AA AD DF AA
7、AD 12AB (12，1，1) ( )( ) ，EF AF AE AA AD 12AB AD 12AA 12AA 12AB (12，0，12) EG AG AE (AB 12AD ) (AD 12AA ) ，AB 12AD 12AA (1， 12， 12) .DG AG AD AB 12AD AD AB 12AD (1， 12，0)(2)由于 A(1,2,1)，B (1,3,4)，C(0，1,4)，D(2，1，2)，所以p (2,1,3)，q (2,0，6)AB CD p2q(2,1,3) 2(2,0，6) (2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)；3pq3(2,1,3) (2,0，6)
8、 (6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)；(p q)(pq)p 2q 2 |p|2| q|2(2 21 23 2) (220 26 2)26.规律方法 (1)用坐标表示空间向量的步骤(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用跟踪训练1如图 3136 所示，PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是AB，PC 的中点，并且 PAAB 1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标MN 图 3136解 因为 PAABAD1，P
9、A平面 ABCD，ABAD，所以 ， ， 是两两垂直的单位向量AB AD AP 设 e 1， e 2， e 3，以e 1，e 2，e 3为基底建立空间直角坐标系AB AD AP Axyz.因为 MN MA AP PN 12AB AP 12PC ( )12AB AP 12PA AC ( ) e2 e3，所以 12AB AP 12PA AB AD 12AD 12AP 12 12 MN .(0，12，12)空间向量的平行与垂直探究问题1空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？提示 (1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的
10、(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直2空间中三点共线的充要条件是什么？提示 三个点 A(x1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，C(x 3，y 3，z 3)共线的充要条件是 .x2 x1x3 x1 y2 y1y3 y1 z2 z1z3 z1简证：三个点 A(x1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，C (x3，y 3，z 3)共线的充要条件为 ，即向量 与向量 共线，其坐标对应成比例，从而有 AB AC AB AC x2 x1x3 x1 .y2 y1y3 y1 z2 z1z3 z1已知空间三点 A( 2,0,2)，B (1,1
11、,2)，C( 3,0,4)，设 a ，bAB .AC (1)若| c|3，c .求 c；BC (2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k.【导学号：33242264】思路探究 先求 a，b，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解解 (1)因为 (2，1,2)，且 c ，BC BC 所以设 c ( 2 ， ，2)，BC 得|c| 3| |3， 22 2 22解得 1. 即 c(2， 1,2)或 c(2,1，2)(2)因为 a (1,1,0)，b (1,0,2)，AB AC 所以 kab (k1，k,2)，ka2b(k 2，k，4)又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0
12、.即(k1，k,2)(k 2，k ，4)2k 2k100.解得 k2 或 k .52故所求 k 的值为 2 或 .52母题探究：1.(变条件) 若将本例(1) 中“c ”改为 “ca 且 cb”，求BC c.解 a (1,1,0)，b (1,0,2)AB AC 设 c(x，y，z)由题意得Error!解得 x2，y2，z1 或 x2，y2，z 1，即 c(2，2,1)或 c(2,2，1)2(变条件 )若将本例 (2)中改为 “若 kab 与 ka2b 互相垂直”求 k 的值解 a (1,1,0)，b (1,0,2)AB AC 所以 kab (k1，k，2)，ka2b(k 2，k,4)(kab)
13、 (ka2b)，(kab)( ka2b)0，即(k1，k， 2)(k2，k, 4)(k1)(k 2)k 280，解得 k2 或 k .52故所求 k 的值为 2 或 .52规律方法 解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a( x， y，z).(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知 ab，则引入参数 ，有 ab，再转化为方程组求解.(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的.利用坐标运算解决夹角、距离问题如图 3137 所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F分别是 D1D，BD 的中点，G 在
14、棱 CD 上，且 CG CD，H 为 C1G 的中点14图 3137(1)求证 EFB 1C；(2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值；(3)求 FH 的长. 【导学号：33242265】思路探究 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可解 (1)证明：如图所示，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，易知 E ，F ，C(0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，(0，0，12) (12，12，0)G ，H .(0，34，0) (0，78，12) ，EF (12，12，0) (0，0，12) (12，12，
15、 12)(0,1,0) (1,1,1) (1,0，1)，B1C (1) 0 (1)0，EF B1C 12 12 ( 12) ，即 EFB 1C.EF B1C (2)由(1)易知 (0,1,1) ，C1G (0，34，0) (0， 14， 1) ，EF (12，12， 12)| | ，| | ，C1G 174 EF 32 0 (1) ，EF C1G 12 12 ( 14) ( 12) 38cos ， ，EF C1G EF C1G |EF |C1G | 5117即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 .5117(3)由(1)知 F ，H ，(12，12，0) (0，78，12) ，FH (
16、 12，38，12)| | .FH 418规律方法 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便.跟踪训练2如图 3138 所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA 1B1C1 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，N 为 A1A 的中点图 3138(1)求 BN 的长；(2)求 与 夹角的余弦值BA1 B1C 解 如图，以 ， ， 为正交基底建立空间直角坐标系 Cxyz.CA
17、 CB CC1 (1)依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)，| | ，BN 1 02 0 12 1 02 3线段 BN 的长为 .3(2)依题意得 A1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， (1，1,2)， (0,1,2)，BA1 CB1 10(1)1223.BA1 CB1 又| | ，| | ，BA1 6 CB1 5cos ， ，BA1 CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 3010即 与 夹角的余弦值为 .BA1 B1C 3010当 堂 达 标固 双 基1已知向量 a(3,2,5)，b(1，x ，1)，且 ab2，则 x 的值为( )A3 B4 C5
18、 D6C ab312x 5( 1)2，x5.2已知向量 a(1,1,0) ，b(1,0,2) ，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k的值是( )A1 B C. D15 35 75D 由于 kabk (1,1,0)(1,0,2)(k 1，k,2)， 2ab2(1,1,0)(1,0,2) (3,2，2)，因为两向量互相垂直，则有(k1)3k22(2)0，解得 k .753ABC 的顶点分别为 A(1，1,2) ，B(5，6,2) ，C(1,3，1) ，则 AC边上的高 BD 等于( )【导学号：33242266】A5 B C4 D241 5A 设 ，又 (0,4，3)，AD AC AC 则 (
19、0,4，3)AD 又 (4，5,0)，AB (4,45，3) BD AD AB 由 0 ，得 0(4)4(45)(3) (3)0，解得 ，AC BD 45 ，| |5.BD ( 4，95，125) BD 4已知空间三点 A(1,1,1)，B (1,0,4)，C(2，2,3) ，则 与 的夹角 AB CA 的大小是_120 由于 ( 2， 1,3)， ( 1,3，2) ，AB CA 所以 (2)( 1)(1)33(2) 7，AB CA | | ，| | ，AB 14 CA 14所以 cos cos ， ，AB CA 71414 12则 120.5已知 a(2，1,3) ，b(0，1,2) 求：(1)ab；(2)( ab)(ab). 【导学号：33242267】解 (1)ab(2，1,3)(0，1,2)20(1)(1)327.(2)因为 ab (2，2,5)，ab(2,0,1)，所以(ab)(ab)(2， 2,5)(2,0,1)4 059.