1、3.1.3 两个向量的数量积学习目标：1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律(重点)3.掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1空间向量的夹角如果a，b90 ，那么向量 a，b 互相垂直，记作 ab.思考：等边ABC 中， 与 的夹角是多少？AB BC 提示 1202两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a| b|cosa，b叫做 a，b 的数量积(或内积 )，记作 ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 (a)b (ab)交换律
2、abba分配律 (ab)cacbc3两个向量的数量积的性质若 a，b 是非零向量，则 abab0两个向量 若 a 与 b 同向，则 ab|a|b| ；若反向，则 ab|a|b|.特别地，aa|a| 2 或|a| aa若 为 a， b 的夹角，则 cos ab|a|b|数量积的性质|ab|a|b|基础自测1思考辨析(1)对于非零向量 a，b，a，b与a，b相等( )(2)对于任意向量 a，b，c，都有(ab)ca(bc )( )(3)(3a2b)(3a2b)9|a| 24| b|2.( )提示 (1) 互补(2) (ab) c 与 c 共线，a(bc )与 a 共线，但 c 与 a 不一定共线(
3、3)2已知 a，b，c 是两两垂直的单位向量，则 |a2b3c|等于( )A14 B C4 D214B |a2b3c| 2(a2b3c )(a2b3c)|a| 24|b| 29|c| 214，|a2b3c| .143已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_.120 cosa，b .ab|a|b| 332 12a，b120.合 作 探 究攻 重 难数量积运算如图 3122 所示，已知正四面体 OABC 的棱长为 1，点 E、F 分别是 OA、 OC 的中点求下列向量的数量积：图 3122(1) ；OA OB (2) ；EF CB (3)( )( )OA OB CA CB 思路探究 根据数量积的
4、定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征解 (1)正四面体的棱长为 1，则| | |1. OAB 为等边三角形，OA OB AOB60，于是： | | |cos ， OA OB OA OB OA OB | | |cosAOB 11cos 60 ；OA OB 12(2)由于 E、F 分别是 OA、 OC 的中点，所以 EF AC， 12于是 | | |cos ， EF BC EF CB EF CB | | |cos ， 12CA CB AC CB 11cos ， 12 AC CB 11cos 120 ；12 14(3)( )( )OA OB CA CB
5、( )( )OA OB OA OC OB OC ( )( 2 )OA OB OA OB OC 2 2 22 OA OA OB OA OC OB OA OB OB OC 1 2 12 1.12 12 12 12规律方法 (1)要牢记公式 ab|a|b|cosa，b.(2)在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如 ， EF CB ， 120 易错写成 60.为避免出错，应结合图形进行计算.AC CB 跟踪训练1已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB AA 12，AD 4，E 为侧面 AB1的中心，F 为 A1D1 的中点试计算： 【导学号：33242254】(1) ；(2) ；(3) .B
6、C ED1 BF AB1 EF FC1 解 如图，设 a， b，AB AD c，则|a|c |2，|b |4，AA1 abbcca0.(1) bBC ED1 12c a b|b| 24 216.(2) (ac)BF AB1 (c a 12b)|c| 2 |a|22 22 20.(3) EF FC1 12c a 12b(12b a) ( abc )12 (12b a) |a|2 |b|22.12 14利用数量积求夹角和模探究问题1空间两个向量夹角定义的要点是什么？提示 (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一
7、起(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且a，bb，a2空间向量数量积的性质有什么作用？提示 (1)向量模的应用：式子 |a| 可以解决有关空间长度问题aa(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得(3)数量积的应用：两非零向量 a，b，若 ab0，则两向量对应的直线相互垂直(1)如图 3123，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ABC 90，ABBC1， AA1 ，求异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值2图 3123(2)如图 3124 所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于 1，且彼此
8、的夹角都是 60，求对角线 AC1 和 BD1 的长图 3124思路探究 (1)先求 ，再由夹角公式求 cos ， ，并由此BA1 AC BA1 AC 确定 与 所成角的余弦值BA1 AC (2)用向量 和 用已知向量 、 、 表示出来，再用数量积的定AC1 BD1 AB AD AA1 义运算解 (1) ， ，BA1 BA AA1 BA BB1 AC BC BA 且 0，BA BC BB1 BA BB1 BC 21.BA1 AC BA 又| | ，| | .AC 2 BA1 1 2 3cos ， .BA1 AC BA1 AC |BA1 |AC | 16 66异面直线所成角的范围是 ，(0，2异
9、面直线 BA1与 AC 所成角的余弦值为 .66(2) ，AC1 AB AD AA1 | |2 ( )( )AC1 AC1 AC1 AB AD AA1 AB AD AA1 | |2| |2| |22( )1112(cos 60AB AD AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 cos 60 cos 60)6.| | ，即对角线 AC1的长为 .AC1 6 6同理，| |2 ( )( )BD1 BD1 BD1 AD AA1 AB AD AA1 AB | |2| |2| |22( )1112(cos 60AD AA1 AB AD AA1 AB AA1 AD AB cos 60 cos 60
10、)2.| | ，即对角线 BD1的长为 .BD1 2 2母题探究：1.(改变结论) 若把本例(1) 中的结论“求异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值”改为“求向量 与 夹角的余弦值 ”结果如何？BA1 AC 解 由本例 (1)解析可知 与 夹角的余弦值是 .BA1 AC 662 .(改变条件、改变结论) 本例(2) 中，若 E 为 CC1 的中点，求 AE 的长解 ，AE AB AD 12AA1 | |2 ( )( )AE AE AE AB AD 12AA1 AB AD 12AA1 | |2| |2 | |22 AB AD 14AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 11 2co
11、s 60cos 60cos 60144 ，14| | .AE 172规律方法 (1)利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法：(2)求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用| a|2aa，通过向量运算去求|a| ，即得所求距离.利用数量积解决垂直问题如图 3125，在空间四边形 OABC 中，OBOC，ABAC，求证：OABC .【导学号：33242255】图 3125思路探究 证明： 0.OA BC 证明 因为 OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB ，所以AOCAOB .又 ( )OA BC OA OC OB
12、OA OC OA OB | | |cosAOC| | |cosAOBOA OC OA OB 0，所以 ，即 OABC.OA BC 规律方法 (1)证明线线垂直的方法,证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为 0 来判断两直线是否垂直.,(2)证明与空间向量 a，b，c 有关的向量 m，n 垂直的方法先用向量 a，b，c 表示向量 m，n，再判断向量 m，n 的数量积是否为 0.跟踪训练2已知空间四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明 ABCD，ACBD ， 0 ， 0.AB CD AC BD ( )( )AD BC AB BD AC AB | |
13、2 AB AC BD AC AB AB BD | |2 AB AC AB AB BD ( ) 0.AB AC AB BD AB DC ，从而 ADBC.AD BC 当 堂 达 标固 双 基1下列命题中正确的是( )A(ab )2a 2b2B|ab|a|b |C(ab)ca(bc)D若 a(bc )，则 ab ac0B 对于 A 项，左边|a| 2|b|2cos2a，b，右边 |a|2|b|2，左边右边，故 A 错误对于 C 项，数量积不满足结合律，C 错误在 D 中，a(bc )0， abac0，abac，但 ab 与 ac 不一定等于零，故 D 错误对于 B 项，ab|a|b |cosa，b
14、，1cos a，b1，|ab|a|b|，故 B 正确2如图 3126，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a，点E，F，G 分别是 AB，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2 的是( ) 【导学号：33242256】图 3126A2 B2 BA AC AD DB C2 D2 FG AC EF CB C 2 a 2，故 A 错；2 a 2，故 B 错；2 a2，BA AC AD DB EF CB 12故 D 错，2 2 a2，故 C 正确FG AC AC 3若向量 a，b 满足|a|1，|b| 2，且 a，b 的夹角为 ，则 ab_.31 ab |a|b|cosa，b12 1.1
15、24如图 3127 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，则图 3127(1) ， _；AB A1C1 (2) ， _；AB C1A1 (3) ， _.AB A1D1 (1)45 (2)135 (3)90(1)因为 ，所以 ， ， A1C1 AC AB A1C1 AB AC 又CAB45，所以 ， 45.AB A1C1 (2) ， 180 ， 135.AB C1A1 AB A1C1 (3) ， 90.AB A1D1 5如图 3128 所示，在ABCD 中，AD 4，CD 3，ADC60 ，PA平面 ABCD，PA 6，求线段 PC 的长【导学号：33242257】图 3128解 ，PC PA AD DC | |2( )2PC PA AD DC | |2| |2| |22 2 2 6 24 23 22| |PA AD DC PA AD AD DC DC PA AD |cos 120DC 611249.| |7，即 PC7.PC