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2019年人教B版数学选修2-1学案:3.1.3 两个向量的数量积

1、3.1.3 两个向量的数量积学习目标:1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律(重点)3.掌握两个向量数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1空间向量的夹角如果a,b90 ,那么向量 a,b 互相垂直,记作 ab.思考:等边ABC 中, 与 的夹角是多少?AB BC 提示 1202两个向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量 a,b,则|a| b|cosa,b叫做 a,b 的数量积(或内积 ),记作 ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 (a)b (ab)交换律

2、abba分配律 (ab)cacbc3两个向量的数量积的性质若 a,b 是非零向量,则 abab0两个向量 若 a 与 b 同向,则 ab|a|b| ;若反向,则 ab|a|b|.特别地,aa|a| 2 或|a| aa若 为 a, b 的夹角,则 cos ab|a|b|数量积的性质|ab|a|b|基础自测1思考辨析(1)对于非零向量 a,b,a,b与a,b相等( )(2)对于任意向量 a,b,c,都有(ab)ca(bc )( )(3)(3a2b)(3a2b)9|a| 24| b|2.( )提示 (1) 互补(2) (ab) c 与 c 共线,a(bc )与 a 共线,但 c 与 a 不一定共线(

3、3)2已知 a,b,c 是两两垂直的单位向量,则 |a2b3c|等于( )A14 B C4 D214B |a2b3c| 2(a2b3c )(a2b3c)|a| 24|b| 29|c| 214,|a2b3c| .143已知|a|3,|b|2,ab3,则a,b_.120 cosa,b .ab|a|b| 332 12a,b120.合 作 探 究攻 重 难数量积运算如图 3122 所示,已知正四面体 OABC 的棱长为 1,点 E、F 分别是 OA、 OC 的中点求下列向量的数量积:图 3122(1) ;OA OB (2) ;EF CB (3)( )( )OA OB CA CB 思路探究 根据数量积的

4、定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征解 (1)正四面体的棱长为 1,则| | |1. OAB 为等边三角形,OA OB AOB60,于是: | | |cos , OA OB OA OB OA OB | | |cosAOB 11cos 60 ;OA OB 12(2)由于 E、F 分别是 OA、 OC 的中点,所以 EF AC, 12于是 | | |cos , EF BC EF CB EF CB | | |cos , 12CA CB AC CB 11cos , 12 AC CB 11cos 120 ;12 14(3)( )( )OA OB CA CB

5、( )( )OA OB OA OC OB OC ( )( 2 )OA OB OA OB OC 2 2 22 OA OA OB OA OC OB OA OB OB OC 1 2 12 1.12 12 12 12规律方法 (1)要牢记公式 ab|a|b|cosa,b.(2)在求两个向量夹角时,要注意向量的方向,如 , EF CB , 120 易错写成 60.为避免出错,应结合图形进行计算.AC CB 跟踪训练1已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB AA 12,AD 4,E 为侧面 AB1的中心,F 为 A1D1 的中点试计算: 【导学号:33242254】(1) ;(2) ;(3) .B

6、C ED1 BF AB1 EF FC1 解 如图,设 a, b,AB AD c,则|a|c |2,|b |4,AA1 abbcca0.(1) bBC ED1 12c a b|b| 24 216.(2) (ac)BF AB1 (c a 12b)|c| 2 |a|22 22 20.(3) EF FC1 12c a 12b(12b a) ( abc )12 (12b a) |a|2 |b|22.12 14利用数量积求夹角和模探究问题1空间两个向量夹角定义的要点是什么?提示 (1)任意两个空间向量都是共面的,故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一

7、起(3)两个空间向量的夹角是唯一的,且a,bb,a2空间向量数量积的性质有什么作用?提示 (1)向量模的应用:式子 |a| 可以解决有关空间长度问题aa(2)向量夹角的应用:空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角,可以通过求出这两个向量的夹角而求得(3)数量积的应用:两非零向量 a,b,若 ab0,则两向量对应的直线相互垂直(1)如图 3123,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, ABC 90,ABBC1, AA1 ,求异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值2图 3123(2)如图 3124 所示,平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,从同一顶点出发的三条棱的长都等于 1,且彼此

8、的夹角都是 60,求对角线 AC1 和 BD1 的长图 3124思路探究 (1)先求 ,再由夹角公式求 cos , ,并由此BA1 AC BA1 AC 确定 与 所成角的余弦值BA1 AC (2)用向量 和 用已知向量 、 、 表示出来,再用数量积的定AC1 BD1 AB AD AA1 义运算解 (1) , ,BA1 BA AA1 BA BB1 AC BC BA 且 0,BA BC BB1 BA BB1 BC 21.BA1 AC BA 又| | ,| | .AC 2 BA1 1 2 3cos , .BA1 AC BA1 AC |BA1 |AC | 16 66异面直线所成角的范围是 ,(0,2异

9、面直线 BA1与 AC 所成角的余弦值为 .66(2) ,AC1 AB AD AA1 | |2 ( )( )AC1 AC1 AC1 AB AD AA1 AB AD AA1 | |2| |2| |22( )1112(cos 60AB AD AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 cos 60 cos 60)6.| | ,即对角线 AC1的长为 .AC1 6 6同理,| |2 ( )( )BD1 BD1 BD1 AD AA1 AB AD AA1 AB | |2| |2| |22( )1112(cos 60AD AA1 AB AD AA1 AB AA1 AD AB cos 60 cos 60

10、)2.| | ,即对角线 BD1的长为 .BD1 2 2母题探究:1.(改变结论) 若把本例(1) 中的结论“求异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值”改为“求向量 与 夹角的余弦值 ”结果如何?BA1 AC 解 由本例 (1)解析可知 与 夹角的余弦值是 .BA1 AC 662 .(改变条件、改变结论) 本例(2) 中,若 E 为 CC1 的中点,求 AE 的长解 ,AE AB AD 12AA1 | |2 ( )( )AE AE AE AB AD 12AA1 AB AD 12AA1 | |2| |2 | |22 AB AD 14AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 11 2co

11、s 60cos 60cos 60144 ,14| | .AE 172规律方法 (1)利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法:(2)求两点间的距离或某条线段的长度的方法:先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用| a|2aa,通过向量运算去求|a| ,即得所求距离.利用数量积解决垂直问题如图 3125,在空间四边形 OABC 中,OBOC,ABAC,求证:OABC .【导学号:33242255】图 3125思路探究 证明: 0.OA BC 证明 因为 OBOC,ABAC,OAOA,所以OACOAB ,所以AOCAOB .又 ( )OA BC OA OC OB

12、OA OC OA OB | | |cosAOC| | |cosAOBOA OC OA OB 0,所以 ,即 OABC.OA BC 规律方法 (1)证明线线垂直的方法,证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为 0 来判断两直线是否垂直.,(2)证明与空间向量 a,b,c 有关的向量 m,n 垂直的方法先用向量 a,b,c 表示向量 m,n,再判断向量 m,n 的数量积是否为 0.跟踪训练2已知空间四边形 ABCD 中,ABCD,ACBD,求证:ADBC.证明 ABCD,ACBD , 0 , 0.AB CD AC BD ( )( )AD BC AB BD AC AB | |

13、2 AB AC BD AC AB AB BD | |2 AB AC AB AB BD ( ) 0.AB AC AB BD AB DC ,从而 ADBC.AD BC 当 堂 达 标固 双 基1下列命题中正确的是( )A(ab )2a 2b2B|ab|a|b |C(ab)ca(bc)D若 a(bc ),则 ab ac0B 对于 A 项,左边|a| 2|b|2cos2a,b,右边 |a|2|b|2,左边右边,故 A 错误对于 C 项,数量积不满足结合律,C 错误在 D 中,a(bc )0, abac0,abac,但 ab 与 ac 不一定等于零,故 D 错误对于 B 项,ab|a|b |cosa,b

14、,1cos a,b1,|ab|a|b|,故 B 正确2如图 3126,已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a,点E,F,G 分别是 AB,AD ,DC 的中点,则下列向量的数量积等于 a2 的是( ) 【导学号:33242256】图 3126A2 B2 BA AC AD DB C2 D2 FG AC EF CB C 2 a 2,故 A 错;2 a 2,故 B 错;2 a2,BA AC AD DB EF CB 12故 D 错,2 2 a2,故 C 正确FG AC AC 3若向量 a,b 满足|a|1,|b| 2,且 a,b 的夹角为 ,则 ab_.31 ab |a|b|cosa,b12 1.1

15、24如图 3127 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,则图 3127(1) , _;AB A1C1 (2) , _;AB C1A1 (3) , _.AB A1D1 (1)45 (2)135 (3)90(1)因为 ,所以 , , A1C1 AC AB A1C1 AB AC 又CAB45,所以 , 45.AB A1C1 (2) , 180 , 135.AB C1A1 AB A1C1 (3) , 90.AB A1D1 5如图 3128 所示,在ABCD 中,AD 4,CD 3,ADC60 ,PA平面 ABCD,PA 6,求线段 PC 的长【导学号:33242257】图 3128解 ,PC PA AD DC | |2( )2PC PA AD DC | |2| |2| |22 2 2 6 24 23 22| |PA AD DC PA AD AD DC DC PA AD |cos 120DC 611249.| |7,即 PC7.PC