1、2.5 直线与圆锥曲线学习目标：1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系(重点)2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程 ax2bx c0.方程特征 交点个数 位置关系a0，0 2 相交a0，0 1 相切直线与椭圆a0，0 0 相离a0 1直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a0，0 2 相交a0，0 1 相切直线与双曲线a0，0 0 相离a0 1直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a0，0 2 相交a0，0 1 相切直线与抛物线a0，0
2、 0 相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？提示 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交2弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线 l 的斜率为 k，与圆锥曲线 C 交于A(x1，y 1)，B( x2，y 2)两点，则 |AB| |x1x 2|1 k2 1 k2x1 x22 4x1x2 |y1y 2| .1 1k2 (1 1k2)y1 y22 4y1y2基础自测1思考辨析(1)平面上到定点 A(1,0)和到定直线
3、 l：x2y30 的距离相等的点的轨迹为抛物线( )(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为 2 条( )(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件( )提示 (1) (2)(3) 必要不充分条件2若直线 y kx1 与椭圆 1 总有公共点，则 m 的取值范围是 x25 y2m( )Am1 Bm1 或 0 m1C0 m5 且 m1 Dm1 且 m 5D 直线 ykx1 恒过定点(0,1)，当(0,1) 在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点 1，解得 m1.当 m5 时 1 表示圆故选 D.mx25 y2m3若直线 x a 与双曲线 y 21 有两个交点，则 a 的值可以是
4、( )x24A4 B2 C1 D2A 因为在双曲线 y 21 中，x2 或 x2，x24所以若 xa 与双曲线有两个交点，则 a2 或 a2，故只有 A 符合题意合 作 探 究攻 重 难直线与圆锥曲线的位置关系探究问题直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？提示 可以当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法直线 ymx 1 与椭圆 x24y 21 有且只有一个交点，求 m2 的值思路探究 联立方程组，消元后利用判别式求解解 由Error! 消去 y 整理得(4m2 1)x28mx30，由 64m 212(
5、4m 21) 0，得 m2 .34母题探究：1.(改变问法) 典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？解 设直线与椭圆交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点坐标为 M(x，y)，由Error!消去 y 整理得(4m2 1)x28mx30，x 1x 22x ，即 x ， 8m4m2 1 4m4m2 1y 1y 22y 2，y 1 ， 8m24m2 1 4m24m2 1 14m2 1由得 4m， xy又点(x，y) 在直线 ymx1 上，所以 m ， y 1x由得 x2 4y24y0，所以弦中点的轨迹方程为 x24y 24y0.2(改变问法) 典例中若直线与椭圆相
6、交于 A，B 两点，求弦 |AB|的长解 设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，由Error!消去 y 整理得(4m2 1)x28mx30，16m 2120，解得 m 或 m ，32 32由根与系数的关系得 x1 x2 ，x 1x2 ，8m4m2 1 34m2 1|AB| x1 x22 y1 y22 1 m2x1 x22 4x1x2m2 116m2 124m2 1 (m 32或 m 32)规律方法 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.弦长问题及中点弦问题椭圆 ax2by 21 与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是 AB的中点，若|AB |2
7、，OC 的斜率为 ，求椭圆的方程. 222【导学号：33242204】思路探究 本题有两种解法一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含 a，b 的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解解 法一： 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得 a(x1x 2)(x1 x2)b(y 1y 2)(y1y 2)0.而 1， k OC ，y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2 22代入上式可得 b a.2|AB| |x2x 1|2 ，即 (x2x 1)24，其中 x1，x 2 是方程(ab)2 2x2
8、2bxb10 的两根，又(x 1x 2)24x 1x2(x 2x 1)24， 4 4.(2ba b)2 b 1a b将 b a 代入，解得 a ，b ，213 23所求椭圆的方程是 y21.x23 23法二：由Error!得(a b)x22bxb10.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB| k2 1x1 x22 .24b2 4a bb 1a b|AB|2 ， 1. 2a b aba b设 C(x，y)，则 x ，x1 x22 ba by1x .aa bOC 的斜率为 ，22 ，ab 22代入，解得 a ，b ，13 23所求椭圆的方程是 y21.x23 23规律方法 直线和圆
9、锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.跟踪训练1已知点 A(1,0)，B(1,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且kMAkMB 2.(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过定点(0,1)作直线 PQ 与曲线 C 交于 P，Q 两点，且 |PQ| ，求直线322PQ 的方程解 (1)设 M(x，y )，则 kMA ，k MB (x1)，yx 1 yx 1 2，yx 1 yx 1x 2 1(x1)y22(2)当直线 PQ 的斜率不存在，即 PQ 是椭圆的长轴时，
10、其长为 2 ，显然2不合题意，即直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程是 ykx1，P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 y1y 2k(x 1x 2)，联立Error!消去 y 得(k 2 2)x22kx 10.4k 24(k 22) 8(k 21)0，k R，x1x 2 ，x 1x2 ，2kk2 2 1k2 2|PQ| x1 x22 y1 y22 1 k2x1 x22 4x1x22 ，2k2 1k2 2|PQ| 2 ，322 2k2 1k2 2k22，k ，2直线 PQ 的方程是 y x1.2圆锥曲线中的最值及范围问题已知双曲线 C： 1(a0，b0)的焦距为 3 ，其中一条渐
11、x2a2 y2b2 2近线的方程为 x y0. 以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为2E，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A，B 两点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点， 2 ，求| |2| |2 的取值范围. PG GO GA GB 【导学号：33242205】解 (1)由双曲线 1 的焦距为 3 ，得 c ，x2a2 y2b2 2 322a 2b 2 . 92由题意知 ， ba 22由解得 a23，b 2 ，32椭圆 E 的方程为 y21.x23 23(2)由(1)知 P( ，0) 3设 G(x0，y 0)，由 2 ，得(x 0 ，y 0)2(
12、x 0，y 0)PG GO 3即Error!解得Error!G .( 33，0)设 A(x1，y 1)，则 B(x 1，y 1)，| |2| |2 2y 2y 2x 2y 2x 3x GA GB (x1 33) 21 (x1 33) 21 21 21 23 21 21x .23 21 113又x 1 ， ，x 0,3，3 3 21 x ，113 21 113 203| |2| |2 的取值范围是 .GA GB 113，203规律方法 (1)求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围(2)求最值问题的方法几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决代数法题目
13、中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等跟踪训练2已知椭圆 C：x 22y 24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值解 (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y22所以 a24，b 22，从而 c2a 2b 22.因此 a2，c .2故椭圆 C 的离心率 e .ca 22(2)设点 A，B 的坐标分别为 (t,2)，(x 0，y 0)，其中 x00.因为 OAOB，所以 0，即 tx02y 00，解得
14、 t .又OA OB 2y0x0x 2y 4，所以|AB |2(x 0t) 2(y 02) 2 2(y 02)20 20 (x0 2y0x0)2x y 4x 4 4(0x 4)20 204y20x20 20 4 x202 24 xoal(2,0)x20 x202 8x20 20因为 4(0x 4)，当且仅当 x 4 时等号成立，所以 |AB|28.x202 8x20 20 20故线段 AB 长度的最小值为 2 .2当 堂 达 标固 双 基1直线 ykx1 与椭圆 4x2y 21 的位置关系是( )A相交 B相切C相离 D相交或相切D 直线 ykx1 过定点 A(0,1)，而 A 在椭圆 4x2
15、y 21 上，故直线ykx1 与椭圆相切或相交2直线 ykx2 交抛物线 y28x 于 A，B 两点，若 AB 中点的横坐标为2，则 k 等于 ( )A2 或2 B1C2 D3C 由 Error!得 k2x24( k2)x 40，则 4，解得 k2(k1 舍去)4k 2k23已知双曲线 C：x 2 1，过点 P(1,2)的直线 l，使 l 与 C 有且只有一y24个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有( ) 【导学号：33242206】A1 条 B2 条C3 条 D4 条B 因为双曲线的渐近线方程为 y2x，点 P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(1,0)，所以过点 P 且与双曲线相切
16、的切线只有一条过点 P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条4若直线 y kx1 与双曲线 x2y 21 有且只有一个公共点，则 k 的值为_1 或 由Error!得(1k 2)x22kx 20.2当 1k 20 时，即 k1 时，方程变为2x20，x 1，此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点当 1k 20 时，由 4k 28(1 k 2)0，解得 k ，2此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点综上所述 k 1， .25直线 yax1 与双曲线 3x2y 21 相交于 A，B 两点(1)求线段 AB 的长；(2)当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆经过坐标原点？【导学号：33242207】解 由Error!得(3 a2)x22ax20.由题意可得 3a 20，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .2a3 a2 23 a2(1)|AB| x1 x22 y1 y22 1 a2x1 x22 4x1x2 .21 a26 a2|3 a2|(2)由题意知，OAOB，则 0.OA OB 即 x1x2y 1y20，x 1x2(ax 11)( ax21)0，即(1 a2)x1x2a(x 1x 2)10，(1 a2) a 10， 23 a2 2a3 a2解得 a1.