1、3.1.2 空间向量的基本定理学习目标：1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题(重点、难点).3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念自 主 预 习探 新 知1共线向量定理与共面向量定理(1)共线向量定理 两个空间向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在唯一的实数 x，使 ax b.(2)向量共面的条件向量 a 平行于平面 的定义已知向量 a，作 a，如果 a 的基线 OA 平行于平面 或在 内，则就说OA 向量 a 平行于平面 ，记作 a .共面向量的定义平行于同一平面的向量，
2、叫做共面向量共面向量定理如果两个向量 a，b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y ，使 cxayb.2空间向量分解定理(1)空间向量分解定理 如果三个向量 a，b，c 不共面 ，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y ，z，使 px aybzc.(2)基底 如果三个向量 a，b，c 是三个 不共面的向量，则 a，b，c 的线性组合xaybz c 能生成所有的空间向量，这时 a，b，c 叫做空间的一个基底，记作a，b， c，其中 a，b，c 都叫做基向量表达式 xay bz c 叫做向量 a，b，c的线性表示式或线性组合基础自测1思
3、考辨析(1)向量 a，b ，c 共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面( )(2)若向量 e1，e 2 不共线，则空间任意向量 a，都有a e1 e2(， R)( )提示 (1) 表示这三个向量的有向线段平行于同一平面(2) 与 e1，e 2 共面的任意向量 a，都有 ae 1e 2(， R)2给出的下列几个命题：向量 a，b，c 共面，则存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 cx ayb；零向量的方向是任意的；若 ab，则存在唯一的实数 ，使 a b. 其中真命题的个数为( )A0 B1 C2 D3B 只有为真命题3若 a，b， c是空间的一个基底，且存在实数 x，y，z 使得xay
4、bz c 0，则 x，y，z 满足的条件是_【导学号：33242244】xyz0 若 x0，则 a b c，即 a 与 b，c 共面yx zx由a， b，c是空间向量的一个基底，知 a，b，c 不共面，故 x0，同理 yz 0.合 作 探 究攻 重 难向量共线问题如图 3111 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且2 ，F 在对角线 A1C 上，且 .求证：E ，F，B 三点共线A1E ED1 A1F 23FC 图 3111证明 设 a， b， c.AB AD AA1 2 ， ，A1E ED1 A1F 23FC ， .A1E 23A1D1 A1F 25A1C
5、b， ( )A1E 23AD 23 A1F 25AC AA1 ( )25AB AD AA1 a b c.25 25 25 a b cEF A1F A1E 25 415 25 .25(a 23b c)又 bcaa bc，EB EA1 A1A AB 23 23 .EF 25EB E，F，B 三点共线规律方法 判定两向量共线就是寻找 x 使 ax b(b0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出 axb，从而得 ab.跟踪训练1如图 3112 所示，已知空间四边形 ABCD，E 、 H 分别是边 AB、AD 的中点，F 、G 分别是 CB、CD 上的点，且 ， .利用向量法求证CF 2
6、3CB CG 23CD 四边形 EFGH 是梯形图 3112证明 E、H 分别是边 AB、AD 的中点， ， ，AE 12AB AH 12AD ( ) ( )EH AH AE 12AD 12AB 12AD AB 12BD 12CD CB 12 ( ) ，(32CG 32CF ) 34CG CF 34FG 且 | | | | | |，又 F 不在 EH 上，EH FG EH 34FG FG 四边形 EFGH 是梯形.共面向量定理及应用对于任意空间四边形 ABCD，E、F 分别是 AB、CD 的中点试证： 与 、 共面 . EF BC AD 【导学号：33242245】思路探究 分 析 题 意利
7、用 向 量 的 运算 法 则 表 示 EF利 用 中 点 关 系 寻 求EF、BC 、AD 的 关 系应 用 向 量 共 面的 充 要 条 件 得 出 结 论解 空间四边形 ABCD 中，E 、F 分别是 AB、CD 上的点，则 ，EF EA AD DF . EF EB BC CF 又 E、F 分别是 AB、CD 的中点，故有 ，EA EB ， DF CF 将代入中，两式相加得 2 .EF AD BC 所以 ，即 与 、 共面EF 12AD 12BC EF BC AD 规律方法 利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题
8、过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.跟踪训练2如图 3113 所示，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点 E，F，G，H 分别是PAB ，PBC，PCD，PDA的重心，分别延长 PE，PF，PG ，PH，交对边于 M，N，Q ，R ，并顺次连接MN，NQ ，QR，RM .应用向量共面定理证明：E、 F、G、H 四点共面图 3113证明 E、F、G、H 分别是所在三角形的重心，M、 N、Q、R 为所在边的中点，顺次连接 M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有 ， PE 23PM PF ， ， .23PN PG 23PQ PH 23
9、PR MNQR 为平行四边形， ( )EG PG PE 23PQ 23PM 23MQ 23MN MR ( ) ( )23PN PM 23PR PM 23(32PF 32PE ) 23(32PH 32PE ) .EF EH 由共面向量定理得 ， ， 共面，所以 E、F 、G 、H 四点共面.EG EF EH 基底的判断及应用探究问题1构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？提示 不唯一，不共面2怎样理解空间向量基本定理？提示 (1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组a，b， c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均
10、可作为空间向量的基底(3)拓展：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使 x y z ，当且仅当 xyz1 时，OP OA OB OC P、A、B 、C 四点共面(1)若 a，b，c 是空间的一个基底，试判断 ab，bc ，ca能否作为该空间的一个基底图 3114(2)如图 3114，在三棱柱 ABCABC中，已知 a， b， c，点AA AB AC M，N 分别是 BC，BC的中点，试用基底a，b， c表示向量 ， . AM AN 【导学号：33242246】思路探究 (1)判断 ab ，bc，ca 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否
11、则，不能作为一个基底(2)借助图形寻找待求向量与 a，b，c 的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用 a，b，c 表示出来解 (1)假设 ab，bc，ca 共面则存在实数 、 使得 ab( bc)(ca)，abba( )c. a， b，c为基底，a ，b，c 不共面Error!此方程组无解，ab，bc ，c a 不共面a b，b c，ca 可以作为空间的一个基底(2) AM AB BM AB 12BC ( ) ( )AB 12BB BC AB 12BB 12AC AB b a (cb)12 12b a c b12 12 12 a b c.12 12 12 AN AA AB BN AA AB
12、12BC ab ( )12AC AB ab (cb)12a b c.12 12母题探究：1.(变换条件) 若把本例 3(2)中的 a 改为 a，其他条件AA AC 不变，则结果又是什么？解 AM AB BM AB 12BC ( )AB 12AC AB b (ab)12 a b.12 12 AN AC CN AC 12CB AC 12BC ( )AC 12AC AB a (cb)12a b c.12 122.(变换条件、改变问法) 如图 3115 所示，本例 3(2)中增加条件“P 在线段AA上，且 AP2PA ”，试用基底 a，b，c 表示向量 .MP 图 3115解 MP MC CA AP
13、12BC AC 13AA ( ) 12BB BC AC 13AA ( ) 12AA AC AB AC 13AA (a cb)c a12 13 a b c.16 12 12规律方法 用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底) 表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有 a，b，c，不能含有其他形式的向量.提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向
14、量用已知基向量表示出来.)当 堂 达 标固 双 基1给出下列命题：若a ，b， c可以作为空间的一个基底， d 与 c 共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N 是空间四点，若 ， ， 不能构成空间的一BA BM BN 个基底，那么 A，B，M ， N 共面；已知向量组 a，b，c是空间的一个基底，若 mac，则 a，b，m 也是空间的一个基底其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4D 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底显然正确，中由 、 、 共
15、BA BM BN 面且过相同点 B，故 A、B、M 、N 共面下面证明正确 假设 d 与 a、b 共面，则存在实数 ，使 dab，d 与 c 共线， c0，存在实数 k，使 dk c，d0，k 0，从而 c a b，k k c 与 a、b 共面与条件矛盾 d 与 a，b 不共面同理可证也是正确的2对空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C，能得到 P、A、B 、C 四点共面的是( )A. OP OA OB OC B. OP 13OA 13OB 13OC C. OP OA 12OB 12OC D以上皆错B 法一： 1，选 B.13 13 13法二： ，OP 13OA 13OB 13OC 3 ，O
16、P OA OB OC ( )( )，OP OA OB OP OC OP ，AP PB PC ，P、 A、B、C 共面PA PB PC 3已知正方体 ABCDABCD，点 E 是 AC的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且 AF EF，则 等于 ( ) 12 AF 【导学号：33242247】A. AA 12AB 12AD B. 12AA 12AB 12AD C. 12AA 16AB 16AD D. 13AA 16AB 16AD D 由条件 AF EF 知，EF2AF，12AEAFEF 3AF， ( )AF 13AE 13AA AE ( )13AA 12AC ( ) .13AA 16AD AB 13AA 16AD 16AB 4已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O， x OM OA 13OB 13，则 x 的值为 _OC 因为点 M 在平面 ABC 中，即 M、A、B、C 四点共面，所以13x 1，即 x .13 13 135如图 3116 所示，在空间四面体 ABCD 中，E ，F 分别是 AB，CD 的中点，请判断向量 与 是否共线？EF AD BC 【导学号：33242248】图 3116解 取 AC 中点为 G.连接 EG，FG， ， ，GF 12AD EG 12BC EF EG GF 12BC 12AD ( )12AD BC 与 共线EF AD BC