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2019年人教B版数学选修2-1学案:3.1.2 空间向量的基本定理

1、3.1.2 空间向量的基本定理学习目标:1.了解共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论,并能应用其证明空间向量的共线、共面问题(重点、难点).3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念自 主 预 习探 新 知1共线向量定理与共面向量定理(1)共线向量定理 两个空间向量 a,b(b0),ab 的充要条件是存在唯一的实数 x,使 ax b.(2)向量共面的条件向量 a 平行于平面 的定义已知向量 a,作 a,如果 a 的基线 OA 平行于平面 或在 内,则就说OA 向量 a 平行于平面 ,记作 a .共面向量的定义平行于同一平面的向量,

2、叫做共面向量共面向量定理如果两个向量 a,b 不共线,则向量 c 与向量 a,b 共面的充要条件是,存在唯一的一对实数 x,y ,使 cxayb.2空间向量分解定理(1)空间向量分解定理 如果三个向量 a,b,c 不共面 ,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y ,z,使 px aybzc.(2)基底 如果三个向量 a,b,c 是三个 不共面的向量,则 a,b,c 的线性组合xaybz c 能生成所有的空间向量,这时 a,b,c 叫做空间的一个基底,记作a,b, c,其中 a,b,c 都叫做基向量表达式 xay bz c 叫做向量 a,b,c的线性表示式或线性组合基础自测1思

3、考辨析(1)向量 a,b ,c 共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面( )(2)若向量 e1,e 2 不共线,则空间任意向量 a,都有a e1 e2(, R)( )提示 (1) 表示这三个向量的有向线段平行于同一平面(2) 与 e1,e 2 共面的任意向量 a,都有 ae 1e 2(, R)2给出的下列几个命题:向量 a,b,c 共面,则存在唯一的有序实数对 (x,y),使 cx ayb;零向量的方向是任意的;若 ab,则存在唯一的实数 ,使 a b. 其中真命题的个数为( )A0 B1 C2 D3B 只有为真命题3若 a,b, c是空间的一个基底,且存在实数 x,y,z 使得xay

4、bz c 0,则 x,y,z 满足的条件是_【导学号:33242244】xyz0 若 x0,则 a b c,即 a 与 b,c 共面yx zx由a, b,c是空间向量的一个基底,知 a,b,c 不共面,故 x0,同理 yz 0.合 作 探 究攻 重 难向量共线问题如图 3111 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 在 A1D1 上,且2 ,F 在对角线 A1C 上,且 .求证:E ,F,B 三点共线A1E ED1 A1F 23FC 图 3111证明 设 a, b, c.AB AD AA1 2 , ,A1E ED1 A1F 23FC , .A1E 23A1D1 A1F 25A1C

5、b, ( )A1E 23AD 23 A1F 25AC AA1 ( )25AB AD AA1 a b c.25 25 25 a b cEF A1F A1E 25 415 25 .25(a 23b c)又 bcaa bc,EB EA1 A1A AB 23 23 .EF 25EB E,F,B 三点共线规律方法 判定两向量共线就是寻找 x 使 ax b(b0)成立,为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出 axb,从而得 ab.跟踪训练1如图 3112 所示,已知空间四边形 ABCD,E 、 H 分别是边 AB、AD 的中点,F 、G 分别是 CB、CD 上的点,且 , .利用向量法求证CF 2

6、3CB CG 23CD 四边形 EFGH 是梯形图 3112证明 E、H 分别是边 AB、AD 的中点, , ,AE 12AB AH 12AD ( ) ( )EH AH AE 12AD 12AB 12AD AB 12BD 12CD CB 12 ( ) ,(32CG 32CF ) 34CG CF 34FG 且 | | | | | |,又 F 不在 EH 上,EH FG EH 34FG FG 四边形 EFGH 是梯形.共面向量定理及应用对于任意空间四边形 ABCD,E、F 分别是 AB、CD 的中点试证: 与 、 共面 . EF BC AD 【导学号:33242245】思路探究 分 析 题 意利

7、用 向 量 的 运算 法 则 表 示 EF利 用 中 点 关 系 寻 求EF、BC 、AD 的 关 系应 用 向 量 共 面的 充 要 条 件 得 出 结 论解 空间四边形 ABCD 中,E 、F 分别是 AB、CD 上的点,则 ,EF EA AD DF . EF EB BC CF 又 E、F 分别是 AB、CD 的中点,故有 ,EA EB , DF CF 将代入中,两式相加得 2 .EF AD BC 所以 ,即 与 、 共面EF 12AD 12BC EF BC AD 规律方法 利用向量法证明四点共面,实质上是证明的向量共面问题,解题的关键是熟练地进行向量表示,恰当应用向量共面的充要条件,解题

8、过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.跟踪训练2如图 3113 所示,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,点 E,F,G,H 分别是PAB ,PBC,PCD,PDA的重心,分别延长 PE,PF,PG ,PH,交对边于 M,N,Q ,R ,并顺次连接MN,NQ ,QR,RM .应用向量共面定理证明:E、 F、G、H 四点共面图 3113证明 E、F、G、H 分别是所在三角形的重心,M、 N、Q、R 为所在边的中点,顺次连接 M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形,且有 , PE 23PM PF , , .23PN PG 23PQ PH 23

9、PR MNQR 为平行四边形, ( )EG PG PE 23PQ 23PM 23MQ 23MN MR ( ) ( )23PN PM 23PR PM 23(32PF 32PE ) 23(32PH 32PE ) .EF EH 由共面向量定理得 , , 共面,所以 E、F 、G 、H 四点共面.EG EF EH 基底的判断及应用探究问题1构成空间向量的基底唯一吗?是否共面?提示 不唯一,不共面2怎样理解空间向量基本定理?提示 (1)空间向量基本定理表明,用空间三个不共面已知向量组a,b, c可以线性表示出空间任意一个向量,而且表示的结果是唯一的(2)空间中的基底是不唯一的,空间中任意三个不共面向量均

10、可作为空间向量的基底(3)拓展:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组x,y,z,使 x y z ,当且仅当 xyz1 时,OP OA OB OC P、A、B 、C 四点共面(1)若 a,b,c 是空间的一个基底,试判断 ab,bc ,ca能否作为该空间的一个基底图 3114(2)如图 3114,在三棱柱 ABCABC中,已知 a, b, c,点AA AB AC M,N 分别是 BC,BC的中点,试用基底a,b, c表示向量 , . AM AN 【导学号:33242246】思路探究 (1)判断 ab ,bc,ca 是否共面,若不共面,则可作为一个基底,否

11、则,不能作为一个基底(2)借助图形寻找待求向量与 a,b,c 的关系,利用向量运算进行分析,直至向量用 a,b,c 表示出来解 (1)假设 ab,bc,ca 共面则存在实数 、 使得 ab( bc)(ca),abba( )c. a, b,c为基底,a ,b,c 不共面Error!此方程组无解,ab,bc ,c a 不共面a b,b c,ca 可以作为空间的一个基底(2) AM AB BM AB 12BC ( ) ( )AB 12BB BC AB 12BB 12AC AB b a (cb)12 12b a c b12 12 12 a b c.12 12 12 AN AA AB BN AA AB

12、12BC ab ( )12AC AB ab (cb)12a b c.12 12母题探究:1.(变换条件) 若把本例 3(2)中的 a 改为 a,其他条件AA AC 不变,则结果又是什么?解 AM AB BM AB 12BC ( )AB 12AC AB b (ab)12 a b.12 12 AN AC CN AC 12CB AC 12BC ( )AC 12AC AB a (cb)12a b c.12 122.(变换条件、改变问法) 如图 3115 所示,本例 3(2)中增加条件“P 在线段AA上,且 AP2PA ”,试用基底 a,b,c 表示向量 .MP 图 3115解 MP MC CA AP

13、12BC AC 13AA ( ) 12BB BC AC 13AA ( ) 12AA AC AB AC 13AA (a cb)c a12 13 a b c.16 12 12规律方法 用基底表示向量的步骤(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底) 表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间向量的一个基底a,b,c可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有 a,b,c,不能含有其他形式的向量.提醒:利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向

14、量用已知基向量表示出来.)当 堂 达 标固 双 基1给出下列命题:若a ,b, c可以作为空间的一个基底, d 与 c 共线,d0,则a,b,d也可作为空间的基底;已知向量 ab,则 a,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底;A,B,M,N 是空间四点,若 , , 不能构成空间的一BA BM BN 个基底,那么 A,B,M , N 共面;已知向量组 a,b,c是空间的一个基底,若 mac,则 a,b,m 也是空间的一个基底其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4D 根据基底的概念,空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,否则就不能构成空间的一个基底显然正确,中由 、 、 共

15、BA BM BN 面且过相同点 B,故 A、B、M 、N 共面下面证明正确 假设 d 与 a、b 共面,则存在实数 ,使 dab,d 与 c 共线, c0,存在实数 k,使 dk c,d0,k 0,从而 c a b,k k c 与 a、b 共面与条件矛盾 d 与 a,b 不共面同理可证也是正确的2对空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C,能得到 P、A、B 、C 四点共面的是( )A. OP OA OB OC B. OP 13OA 13OB 13OC C. OP OA 12OB 12OC D以上皆错B 法一: 1,选 B.13 13 13法二: ,OP 13OA 13OB 13OC 3 ,O

16、P OA OB OC ( )( ),OP OA OB OP OC OP ,AP PB PC ,P、 A、B、C 共面PA PB PC 3已知正方体 ABCDABCD,点 E 是 AC的中点,点 F 是 AE 的三等分点,且 AF EF,则 等于 ( ) 12 AF 【导学号:33242247】A. AA 12AB 12AD B. 12AA 12AB 12AD C. 12AA 16AB 16AD D. 13AA 16AB 16AD D 由条件 AF EF 知,EF2AF,12AEAFEF 3AF, ( )AF 13AE 13AA AE ( )13AA 12AC ( ) .13AA 16AD AB 13AA 16AD 16AB 4已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任一点 O, x OM OA 13OB 13,则 x 的值为 _OC 因为点 M 在平面 ABC 中,即 M、A、B、C 四点共面,所以13x 1,即 x .13 13 135如图 3116 所示,在空间四面体 ABCD 中,E ,F 分别是 AB,CD 的中点,请判断向量 与 是否共线?EF AD BC 【导学号:33242248】图 3116解 取 AC 中点为 G.连接 EG,FG, , ,GF 12AD EG 12BC EF EG GF 12BC 12AD ( )12AD BC 与 共线EF AD BC