1、2.3.1 双曲线的标准方程学习目标：1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程(重点)3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的定义2双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴 x 轴 y 轴标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 (c,0)，(c ,0) (0，c)，(0，c)a， b，c 的关系式 c2a 2b 2思考 1：双曲线中 a，b，c 的关系如何？与椭圆中 a，b，c 的关系有何不同？提示 双曲线标准方程中的两个
2、参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2c 2a 2，即 c2a 2b 2，其中 ca，cb，a 与 b的大小关系不确定；而在椭圆中 b2a 2c 2，即 a2b 2c 2，其中ab0，ac， c 与 b 的大小关系不确定思考 2：如何确定双曲线标准方程的类型？提示 焦点 F1，F 2 的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若 x2 的系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2 的系数为正，则焦点在 y轴上基础自测1思考辨析(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线( )(2)在双曲线标准方程 1 中，a0 ，b
3、0 且 ab.( )x2a2 y2b2(3)双曲线标准方程中，a，b 的大小关系是 ab.( )提示 (1) 差的绝对值是常数，且 02a| F1F2|才是双曲线(2) a 与 b 大小关系不定，a 和 b 相等时叫等轴双曲线(3)2双曲线 1 的焦距为 ( )x210 y22A3 B4 C3 D42 2 3 3D 解 a210，b 22，c 2a 2b 212，c 2 ，2c 4 ，故选 D.3 33已知双曲线的 a5，c7，则该双曲线的标准方程为_. 【导学号：33242148】 1 或 1 b 2c 2a 2492524 ，x225 y224 y225 x224双曲线方程为 1 或 1.
4、x225 y224 y225 x224合 作 探 究攻 重 难双曲线定义的应用探究问题1如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|F 1F2|”？提示：若将 “小于|F 1F2|”改为“等于| F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以 F1，F 2 为端点的两条射线(包括端点) ；若将“小于|F 1F2|改为“ 大于|F 1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段 F1F2 的中垂线2若|MF 1| |MF2|F 1F2|，则动点 M 的轨迹是什么？提示：(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设 F1，F 2 表示双曲线的左、右焦点，若
5、|MF 1|MF 2|2a，则点 M 在右支上；若|MF 2|MF 1|2a，则点 M 在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|MF 1| |MF2|2a(02a|F 1F2|)，则动点 M 的轨迹为双曲线；若动点 M 在双曲线上，则|MF 1|MF 2|2a.已知 F1，F 2 是双曲线 1 的两个焦点，若 P 是双曲线左支上x29 y216的点，且|PF 1|PF2|32.试求F 1PF2 的面积. 【导学号：33242149】思路探究 根据双曲线的定义及余弦定理求出F 1PF2 即可解 由 1 得 a3，b4，c5.x29 y216由双曲线定义及 P 是双曲线左支上的点得|PF1|PF
6、2|6，|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|36，又|PF 1|PF2|32，|PF 1|2|PF 2|2100，由余弦定理得cosF 1PF2 0，|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2|F 1PF2 90，S |PF1|PF2|16. F1PF2 12母题探究：1.(变换条件) 若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点 P 到焦点 F1 的距离为 10，求点 P 到焦点 F2 的距离解 由 1 得 a3，b4，c5，x29 y216由双曲线定义得|PF 1|PF 2|6，即|PF 1|PF 2|6，|PF 2|106，点 P 到焦点 F2 的距离为 4
7、或 16.2(变换条件) 若把本例条件“|PF 1|PF2|32”换成“|PF 1| PF2|25”，其他条件不变，试求F 1PF2 的面积解 由 1 得 a3，b4，c5，x29 y216由|PF 1|PF 2|25，可设|PF 1|2 k，|PF 2|5k.由|PF 2|PF 1|6 可得 k2，|PF 1|4， |PF2|10，由余弦定理得cosF 1PF2 ，|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 16 100 1002410 15sin F1PF2 ，S |PF1|PF2|sinF 1PF2 410 265 F1PF212 12 2658 .6规律方法 双曲线
8、上的点 P 与其两个焦点 F1，F 2 连接而成的三角形PF1F2 称为焦点三角形.令 |PF1|r 1，| PF2|r 2， F1PF2，因|F 1F2|2c，所以有(1)定义：|r 1 r2|2a.(2)余弦公式：4c 2r r 2r 1r2cos .21 2(3)面积公式：S r1r2sin .PF1F2 12一般地，在PF 1F2 中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点 A ；(1， 4103 )(2)经过点(3,0)，(6， 3)思路探究 先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a，b 的方程组求解解 (1)当焦点
9、在 x 轴上时，设所求标准方程为 1(b0)，x216 y2b2把 A 点的坐标代入，得 b2 0，不符合题意；1609 ( 1615)当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为 1(b0)，y216 x2b2把 A 点的坐标代入，得 b29，所求双曲线的标准方程为 1.y216 x29(2)设双曲线的方程为 mx2ny 21(mn0)，双曲线经过点(3,0) ，(6，3) ，Error!解得Error!所求双曲线的标准方程为 1.x29 y23规律方法 (1)求双曲线标准方程的两个关注点(2)待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能设方
10、程：根据焦点位置，设其方程为 1 或x2a2 y2b2 1( a 0，b0) ，焦点位置不定时，亦可设为 mx2ny 21(mn0)y2a2 x2b2寻关系：根据已知条件列出关于 a，b，c (m，n)的方程组得方程：解方程组，将 a，b(m，n) 代入所设方程即可得 (求)标准方程提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式跟踪训练1根据条件求双曲线的标准方程(1)c ，经过点 A(5,2)，焦点在 x 轴上；6(2)与椭圆 1 共焦点且过点(3 ， )x225 y25 2 2解 (1)设双曲线标准方程为 1(a0，b 0)，x2a2 y2b2c ，b 2c 2a 26a
11、2.6由题意知 1， 1，25a2 4b2 25a2 46 a2解得 a25 或 a230(舍) b 21.双曲线的标准方程为 y 21.x25(2)椭圆 1 的焦点坐标为(2 ，0)，(2 ，0)依题意，则所求双x225 y25 5 5曲线焦点在 x 轴上，可以设双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则x2a2 y2b2a2b 220.又双曲线过点(3 ， )， 1.2 218a2 2b2a 2202 ，b 22 .10 10所求双曲线的标准方程为 1.x220 210 y2210与双曲线有关的轨迹问题如图 228，在ABC 中，已知|AB|4 ，且三内角 A，B，C 满足22sin Asi
12、n C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程. 【导学号：33242150】图 228解 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2 ，0)，B(2 ，0). 2 2由正弦定理，得 sin A ，sin B ，sin C (R 为ABC 的外接圆半a2R b2R c2R径)2sin Asin C 2sin B，2ac2b ，即 ba ，c2从而有|CA|CB| |AB| 2 |AB|.12 2由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的交点)a ，c2 ，b 2c 2a 26，即所求轨迹方程为2 2
13、 1( x )x22 y26 2规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练2如图 229 所示，已知定圆 F1：( x5) 2y 21，定圆 F2：(x 5)2y 24 2，动圆 M 与定圆 F1，F 2 都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程图 229解 圆 F1：(x5) 2y 21，圆心 F1(5,0) ，半径 r11；圆 F2：(x5) 2y 24 2，圆心 F2(5
14、,0)，半径 r24.设动圆 M 的半径为 R，则有|MF 1|R1，|MF 2|R4，|MF 2|MF 1|310 |F1F2|.点 M 的轨迹是以 F1，F 2 为焦点的双曲线的左支，且 a ，c5，于是32b2c 2a 2 .914动圆圆心 M 的轨迹方程为 1 .x294y2914 (x 32)当 堂 达 标固 双 基1若点 M 在双曲线 1 上，双曲线的焦点为 F1，F 2，且x216 y24|MF1| 3|MF2|，则|MF 2|等于( )【导学号：33242151】A2 B4 C8 D12B 双曲线中 a216，a4,2a8，由双曲线定义知|MF 1|MF 2|8，又|MF1|
15、3|MF2|，所以 3|MF2| |MF2|8，解得 |MF2|4.2“ab0 ”是“方程 ax2by 2c 表示双曲线”的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A 当方程表示双曲线时，一定有 ab0，反之，当 ab0 时，若 c0，则方程不表示双曲线3若方程 3 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 m 的取值范围x2m 1 y2m2 4是( ) 【导学号：33242152】A(1,2) B(2，) C(，2) D( 2,2)C 由题意，方程可化为 3，y2m2 4 x21 mError!解得：m2.4已知动圆 M 与圆 C1：(x3) 2y 29 外切且与圆
16、 C2：(x3) 2y 21 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是_ 1( x2) 设动圆 M 的半径为 r.x24 y25因为动圆 M 与圆 C1 外切且与圆 C2 内切， 所以|MC 1|r3，|MC 2|r1.相减得|MC 1|MC 2|4.又因为 C1(3,0)，C 2(3,0)，并且|C 1C2|64，所以点 M 的轨迹是以 C1，C 2 为焦点的双曲线的右支，且有 a2，c 3.所以 b25，所求的轨迹方程为 1(x2)x24 y255根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)过点 P ，Q 且焦点在坐标轴上；(3，154) ( 163，5)(2)与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3 ，2). x216 y24 2【导学号：33242153】解 (1)设双曲线的标准方程为 mx2ny 21(mn0)，双曲线过 P ，Q ，(3，154) ( 163，5)Error!解得Error!所求双曲线方程为 1.y29 x216(2)设双曲线方程为 1.x2a2 y2b2由题意易求得 c2 .5又双曲线过点(3 ，2)，2 1.3r(2)2a2 4b2又a 2b 2(2 )2，a 212，b 28.5故所求双曲线的方程为 1.x212 y28