1、1.3.1 推出与充分条件、必要条件学习目标：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念(重点)2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件(易混点)3.能够利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1充分条件与必要条件(1)当命题“如果 p，则 q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说，由p 可推出 q，记作 pq，并且说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已(2)若 pq，但 q p，称 p 是 q 的充分不必要条件， /若 qp，但 p q，称 p 是 q 的必要不充
2、分条件 /思考 1：若 p 是 q 的充分条件，p 是唯一的吗？提示 不一定唯一，凡是能使 q 成立的条件都是它的充分条件，如 x3是 x0 的充分条件， x 5，x10 等都是 x0 的充分条件2充要条件一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq，此时，我们说，p 是 q的充分且必要条件，简称充要条件p 是 q 的充要条件，又常说成 q 当且仅当p，或 p 与 q 等价思考 2：若 p 是 q 的充要条件，q 是 r 的充要条件，则 p 是 r 的充要条件吗？提示 是因为 pq，qr，所以 pr，所以 p 是 r 的充要条件基础自测1思考辨析(1)当 q 是 p 的必要条件时，p 是
3、q 的充分条件( )(2)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立( )(3)若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 是 q 的必要不充分条件( )提示 (1) (2) (3)2“x0”是“ 0”成立的( )3x2【导学号：33242048】A充分条件 B必要条件C既不充分也不必要条件 D充要条件A 本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x0 显然能推出 0，而 0| x|0x 0，不能推出 x0，故选 A.3x2 3x23已知 a，b，c ，d 为实数，且 cd，则“ab”是“ac bd”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条
4、件 D既不充分也不必要条件B 由 acbd 变形为 abcd，因为 cd，所以 cd0 ，所以 ab0 ，即 ab，acb dab.而 ab 并不能推出 ac bd.所以 ab 是 ac bd 的必要不充分条件故选 B.4命题 p：(x 1)( y2)0；命题 q：(x 1) 2(y2) 20，则命题 p 是命题 q 的( ) 【导学号：33242049】A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件B 命题 p：(x 1)( y2)0x1 或 y2.命题 q：(x1) 2(y2) 20x1 且 y2.由 qp 成立，而由 p q 成立 /合 作 探 究攻 重 难充分条件
5、、必要条件、充要条件的判断(1)设 a，b 为向量，则“|ab| |a|b| 是“ab”的( )A充分不必要条件 B必要充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)设 a，b R，则“ab ”是“a|a| b|b| 的”( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件(3)如果 x，y 是实数，那么“xy”是“cos x cos y”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析 (1)设向量 a，b 的夹角为 ，则 ab| a|b|cos ，若|ab| |a|b| cos 1，则向量 a，b 的夹角 为 0 或 ，即 ab 为真
6、；若 ab，则向量 a，b的夹角 为 0 或 ，|ab| |a|b|，所以“|ab| |a|b |”是“ab”的充要条件特别地，当向量 a 或 b 为零向量时，上述结论也成立故选 C.(2)构造函数 f(x)x|x|，则 f(x)在定义域 R 上为奇函数因为 f(x)Error!所以函数 f(x)在 R 上单调递增，所以 ab f(a)f(b)a|a|b| b|.故选 C.(3)设集合 A( x，y )|x y，B( x，y)|cos xcos y，则 A 的补集C( x，y)| xy ，B 的补集 D(x，y)|cos xcos y，显然 C D，所以 B A.于是“xy”是“cos xco
7、s y”的必要不充分条件故选 C. 答案 (1)C (2)C (3)C规律方法 充分条件和必要条件的两种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行确定条件 p 是什么，结论 q 是什么；尝试由条件 p 推结论 q，由结论 q 推条件 p；确定条件 p 和结论 q 的关系 .(2)集合法：根据 p，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设Ax|p( x)， Bx|q(x )，若 AB，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件；若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件，若 AB，则 p 是 q 的充要条件.提醒：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“
8、p 的一个充分不必要条件是 q”应是“q 推出 p，而 p 不能推出 q”.跟踪训练1指出下列各题中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)(1)在ABC 中，p：AB，q：BCAC.(2)对于实数 x，y，p：xy8，q：x 2 且 y6.(3)在ABC 中，p：sin Asin B，q：tan A tan B.解 (1)在ABC 中，显然有A BBC AC，所以 p 是 q 的充要条件(2)因为：x2 且 y6xy8，但 xy8 x2 且 y6，所以 p 是 q 的必要不充分条件 /(3)取A120，B 30
9、，p q， /又取A30，B120，q p， /所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件.充要条件的探求与证明已知数列a n的前 n 项和 Snp nq(p0 且 p1)，求证数列a n为等比数列的充要条件为 q1. 【导学号：33242050】思路探究 充分性：由 q1 推出a n是等比数列；必要性：由a n是等比数列推出 q1.证明 (1)充分性：当 q 1 时，a 1p1，当 n2 时，a nS nS n1 p n1 (p1)，当 n1 时也成立p0 且 p1， p，an 1an pnp 1pn 1p 1即数列 an为等比数列(2)必要性：当 n1 时，a 1S 1pq.当 n2 时，a
10、 nS nS n1 p n1 (p1)p0 且 p1， p.an 1an pnp 1pn 1p 1a n为等比数列， p.a2a1 p ，q1，pp 1p q即数列 an为等比数列的充要条件为 q1.规律方法 证明“ p 是 q 的充要条件” 时，要分别从 “pq”和“ qp”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面.但是，在表述中要注意两种句式的不同，分清充分性与必要性对应的关系.如证“p 是 q 的充要条件 ”时，充分性是指 “pq”成立，必要性是指“ qp”成立.而证“p 成立的充要条件是 q”时，充分性是指“qp”成立，必要性是指“pq”成立.提醒：在充分性与必要性分别进行证明
11、的试题中，需要分清命题的条件是什么，结论是什么；在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明，即用等价转化法进行推理证明.跟踪训练2已知 A，B 是直线 l 上的任意两点，O 是直线 l 外一点，求证：点 P 在直线 l 上的充要条件是 x y ，其中 x， yR，且 xy1.OP OA OB 证明 充分性：若点 P 满足 x y ，其中 x，y R ，且OP OA OB xy1，消去 y，得 x (1x)OP OA OB x( ) ，OA OB OB x( )，即 x .OP OB OA OB BP BA 点 P 在直线 AB 上，即点 P 在直线 l 上必要性：设点 P 在直线 l 上，则由
12、共线向量基本定理知，存在实数 t，使得 t t( )，AP AB OB OA t tOP OA AP OA OB OA (1 t) t .OA OB 令 1tx，ty ，则 x y ，OP OA OB 其中 x，yR，且 xy1.利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)探究问题1 p 是 q 的必要不充分条件的等价命题是什么？提示 q 是 p 的必要不充分条件2如何从集合的角度判断充分条件、必要条件、充要条件？提示 若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是q 的充分不必要条件若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是q 的必要不充分条件若 AB ，则 p
13、，q 互为充要条件若 A B 且 B A，则 p 既不是 q 的充分条件，也/ /不是 q 的必要条件其中 p：A x|p(x)成立，q：Bx| q(x)成立 已知 P x|x28x200，非空集合 S x|1m x1m 若xP 是 xS 的必要条件，求 m 的取值范围. 【导学号：33242051】思路探究 解出集合 P，把 xP 是 xS 的必要条件转化为集合间的包含关系，列不等式组求 m 的取值范围解 由 x28x200，得2x10，Px|2x10，由 xP 是 x S 的必要条件，知 SP.则Error!0m3.当 0m3 时，x P 是 xS 的必要条件，即所求 m 的取值范围是0,
14、3母题探究：1.(变条件) 本例条件不变，问是否存在实数 m，使 xP 是 xS的充要条件解 若 xP 是 xS 的充要条件，则 PS，Error!Error!即不存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件2(变条件 )本例条件不变，若 x P 是 x S 的必要条件，求实数 m 的取值范围解 由例题知 Px |2x10， P 是 S 的必要条件，PS 且 S P. /2,10 1m,1mError!或Error!m9，即 m 的取值范围是9，)规律方法 在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系.提醒：要注意区间端点值
15、的检验.当 堂 达 标固 双 基1若 R，则“ 0”是“sin cos ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A 当 0 时，sin 0，cos 1，sin cos ；而当 sin cos 时， 2k 2k ，kZ，故“0”是“sin cos ”的充分不必要条34 4件2设 a，b 是实数，则“ab”是“a 2b2”的( )【导学号：33242052】A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件D 可采用特殊值法进行判断，令 a1，b1，满足 ab，但不满足a2b2，即 “ab”不能推出 “a2b2”；再令 a 1，b0，满足 a
16、2b2，但不满足 ab，即 “a2b2”不能推出 “ab”故选 D.3函数 f(x)x 2mx 1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是 ( )Am2 Bm2Cm1 Dm1A 当 m2 时，f( x) x22x1 的图象关于 x1 对称，反之也成立所以函数 f(x)x 2mx 1 的图象关于直线 x 1 对称的充要条件是 m2.4.下列命题中是假命题的是_(填序号)“x2 且 y3”是“x y 5”的充要条件；“AB ”是“A B”的充分条件；“b 24ac ”的充分条件；“MN”是“log 2M log2N”的充要条件 当 x2 且 y3 时，x y5 成立，反之，例如x1，y5，x y5，但 xMN 时，log 2M，log 2N 无意义，故 为假命题故填.5已知 x，y 都是非零实数，且 xy，求证： 的充要条件是 xy0. 1x 1y【导学号：33242053】证明 法一： (充分性)由 xy0 及 xy ，得 ，即 .xxy yxy 1x 1y(必要性) 由 ，得 0，即 0.1x 1y 1x 1y y xxy因为 xy，所以 yx0，所以 xy0.所以 的充要条件是 xy0.1x 1y法二： 0 0.1x 1y 1x 1y y xxy由条件 xyy x0，故由 0xy0.y xxy所以 xy0，1x 1y即 的充要条件是 xy 0.1x 1y