1、2.2.1 椭圆的标准方程学习目标：1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的和等于常数 (大于| F1F2|)的点的轨迹( 或集合 )叫做椭圆(2)相关概念：两个定点 F1，F 2 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 |F1F2|叫做椭圆的焦距思考 1：椭圆定义中，将“大于|F 1F2|”改为“等于|F 1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示 2
2、a 与 |F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件 结论2a|F 1F2| 动点的轨迹是椭圆2a|F 1F2| 动点的轨迹是线段 F1F22a|F 1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置 在 x 轴上 在 y 轴上标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 (c,0) (0， c)a，b，c 的关系 a2b 2c 2思考 2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？提示 a，b 的值及焦点所在的位置基础自测1思考辨析(1)平面内与两个定点 F1， F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )(2)椭圆 1 的焦点坐标是(3,
3、0)( )x216 y225(3) 1(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( )y2a2 x2b2提示 (1) 2a|F 1F2|.(2) (0，3)(3) ab 0 时表示焦点在 y 轴上的椭圆2以下方程表示椭圆的是( )A 1 B2x 23y 22x225 y225C 2x23y 21 D 0x2n2 y2n2 2C A 中方程为圆的方程，B，D 中方程不是椭圆方程3以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是 2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) 【导学号：33242112】A. 1 B. 1x25 y24 x23 y24C. 1 或 1 D. 1 或 1x25 y24 x23 y24 x29
4、 y24 x23 y24C 若椭圆的焦点在 x 轴上，则 c1，b2，得 a25，此时椭圆方程是 1；若焦点在 y 轴，则 a2，c1，则 b23，此时椭圆方程是x25 y24 1.x23 y24合 作 探 究攻 重 难求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：【导学号：33242113】(1)两个焦点的坐标分别为(4,0) 和(4,0)，且椭圆经过点(5,0) ；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点 A( ，2)和点 B(2 ，1)3 3思路探究 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算解 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准
5、方程为 1(ab0)x2a2 y2b22a 10，a5.5 42 5 42又 c4，b 2a 2c 225 169.故所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由于椭圆经过点(0,2) 和(1,0)，Error!Error!故所求椭圆的标准方程为 x 21.y24(3)法一：当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2依题意有Error
6、!解得Error!因为 ab0，所以无解综上，所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25法二：设所求椭圆的方程为 mx2ny 21(m0，n 0，mn)，依题意有Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25规律方法 确定椭圆方程的“定位” 与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2By 21(A0，B 0，A B)跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，2)， (0,2)，经过点(4,3 )；2(2)经过两点(2， )， .2 ( 1，142)解 (1)法一：因为椭圆
7、的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知 2a 12，4 02 3r(2) 22 4 02 3r(2) 22所以 a6.又 c2，所以 b 4 .a2 c2 2所以椭圆的标准方程为 1.y236 x232法二：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设其标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由题意得Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为 1.y236 x232(2)法一 若椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24同理可得：
8、焦点在 y 轴上的椭圆不存在综上，所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24法二：设椭圆的一般方程为 Ax2By 21(A0，B0，A B)将两点(2 ， )， 代入，2 ( 1，142)得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24与椭圆有关的轨迹问题如图 221，圆 C：(x 1) 2y 225 及点 A(1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M，求点 M 的轨迹方程 . 【导学号：33242114】图 221解 由垂直平分线性质可知|MQ| MA|，|CM|MA| |CM|MQ| |CQ|.|CM|MA|5.M 点的轨迹为椭圆，其中 2a5，
9、焦点为 C(1,0)，A (1,0)，a ，c 1，52b 2a 2c 2 1 .254 214所求轨迹方程为： 1.x2254y2214规律方法 在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出 a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2已知两圆 C1：(x 4) 2y 2169，C 2：(x4) 2y 29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，求动圆圆心的轨迹方程解 如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，由题意动圆
10、M 内切于圆 C1，|MC 1|13r.圆 M 外切于圆 C2，|MC 2|3r.|MC 1|MC 2|16|C 1C2|8，动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C 2 为焦点的椭圆，且 2a16,2c 8，b2a 2c 2 641648，故所求轨迹方程为 1.x264 y248椭圆的定义及其应用探究问题1如何用集合语言描述椭圆的定义？提示 PM|MF 1|MF 2|2a,2a| F1F2|2如何判断椭圆的焦点位置？提示 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2 项和 y2 项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”3椭圆标准方程，a，b，c 三个量的关系是什么？提示 椭圆的标准方程中，a
11、表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c(都是正数) 恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以 ab，a c，且 a2b 2c 2.(如图所示)如图 222 所示，已知椭圆的方程为 1，若点 P 为椭圆上的x24 y23点，且PF 1F2120，求PF 1F2 的面积. 【导学号：33242115】图 222思路探究 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF 1|和|PF 2|的方程，解方程组求得|PF 1|，再用面积公式求解解 由已知 a2，b ，3得 c 1，|F 1F2|2c 2，a2 b2 4 3在PF 1F2 中，由余弦定理，得|PF2|2|
12、PF 1|2|F 1F2|22|PF 1|F1F2|cos 120，即|PF 2|2|PF 1|242|PF 1|. 由椭圆定义，得|PF 1|PF 2|4，即|PF 2|4 |PF1|. 代入解得|PF 1| .65所以 S |PF1|F1F2|sin 120 PF1F212 2 ，12 65 32 335即PF 1F2 的面积是 .353母题探究：1.(变换条件) 把本例条件“PF 1F2120”改为“F 1PF2 120”求PF 1F2 的面积解 由已知得 a2，b ，c1，|F 1F2|23在PF 1F2 中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2
13、|cos 120，即 4|PF 1|2 |PF2|2|PF 1|PF2|(| PF1|PF 2|)2|PF 1|PF2|，由椭圆定义得|PF 1|PF 2|4，|PF 1|PF2|12，所以 S |PF1|PF2|sin 120 12 3 ， PF1F212 12 32 3即PF 1F2 的面积是 3 .32(改变问法) 在例题题设条件不变的情况下，求点 P 的坐标解 设 P 点坐标为(x 0，y 0)由本例解答可知 S |F1F2|y0| ， PF1F212 353解得|y 0| ，即 y0 ，353 353将 y0 代入 1 得 x ，353 x24 y23 85所以点 P 的坐标为 .(
14、85，353)规律方法 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F 2 构成的 F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知F 1PF2，可利用 S absin C 把|PF 1|PF2|看成一个整体，利用定义 |PF1|PF 2|2a 及余弦12定理求出|PF 1|PF2|，这样可以减少运算量.当 堂 达 标固 双 基1已知点 M 到两个定点 A(1,0) 和 B(1,0)的距离之和是定值 2，则动点 M的轨迹是( ) 【导学号：33242116】A 一个椭圆B线段 ABC线段 AB 的垂直平
15、分线D直线 ABB 定值 2 等于|AB|，故点 M 只能在线段 AB 上2已知椭圆 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3，则到另一x225 y216个焦点的距离为( )A1 B5 C2 D7D 由 |PF1|PF 2|10 可知到另一焦点的距离为 7.3椭圆 1 的两个焦点为 F1，F 2，过 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，x225 y29则ABF 1 的周长为 ( )A10 B20 C40 D50B 由椭圆的定义得|AF 1|AF 2|2a10，| BF1|BF 2|2a10，所以ABF1 的周长为|AF 1|BF 1| AB|20，故选 B.4设 F1，F 2 分别为椭圆
16、C： 1(a b0)的左、右两个焦点，若椭圆x2a2 y2b2C 上的点 A 到 F1，F 2 两点的距离(1，32)之和为 4，则椭圆 C 的方程是_【导学号：33242117】 1 由|AF 1|AF 2|2a4 得 a2，x24 y23原方程化为 1，将 A 代入方程得 b23，x24 y2b2 (1，32)椭圆方程为 1.x24 y235如图 223，在圆 x2y 24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段PD，D 为垂足当点 P 在圆上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹图 223解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为( x0，y 0)，则 xx 0，y .y02因为点 P(x0，y 0)在圆 x2y 24 上，所以 x y 4. 20 20把 x0x，y 02y 代入方程 ，得 x24y 24，即 y 21.x24所以点 M 的轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆