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2019年人教B版数学选修2-1学案:2.2.1 椭圆的标准方程

1、2.2.1 椭圆的标准方程学习目标:1.掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题(难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点 F1,F 2 的距离的和等于常数 (大于| F1F2|)的点的轨迹( 或集合 )叫做椭圆(2)相关概念:两个定点 F1,F 2 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 |F1F2|叫做椭圆的焦距思考 1:椭圆定义中,将“大于|F 1F2|”改为“等于|F 1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?提示 2

2、a 与 |F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表:条件 结论2a|F 1F2| 动点的轨迹是椭圆2a|F 1F2| 动点的轨迹是线段 F1F22a|F 1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置 在 x 轴上 在 y 轴上标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 (c,0) (0, c)a,b,c 的关系 a2b 2c 2思考 2:确定椭圆标准方程需要知道哪些量?提示 a,b 的值及焦点所在的位置基础自测1思考辨析(1)平面内与两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )(2)椭圆 1 的焦点坐标是(3,

3、0)( )x216 y225(3) 1(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( )y2a2 x2b2提示 (1) 2a|F 1F2|.(2) (0,3)(3) ab 0 时表示焦点在 y 轴上的椭圆2以下方程表示椭圆的是( )A 1 B2x 23y 22x225 y225C 2x23y 21 D 0x2n2 y2n2 2C A 中方程为圆的方程,B,D 中方程不是椭圆方程3以坐标轴为对称轴,两焦点的距离是 2,且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) 【导学号:33242112】A. 1 B. 1x25 y24 x23 y24C. 1 或 1 D. 1 或 1x25 y24 x23 y24 x29

4、 y24 x23 y24C 若椭圆的焦点在 x 轴上,则 c1,b2,得 a25,此时椭圆方程是 1;若焦点在 y 轴,则 a2,c1,则 b23,此时椭圆方程是x25 y24 1.x23 y24合 作 探 究攻 重 难求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程:【导学号:33242113】(1)两个焦点的坐标分别为(4,0) 和(4,0),且椭圆经过点(5,0) ;(2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(3)经过点 A( ,2)和点 B(2 ,1)3 3思路探究 求椭圆标准方程,先确定焦点位置,设出椭圆方程,再定量计算解 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上,设它的标准

5、方程为 1(ab0)x2a2 y2b22a 10,a5.5 42 5 42又 c4,b 2a 2c 225 169.故所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上,设它的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由于椭圆经过点(0,2) 和(1,0),Error!Error!故所求椭圆的标准方程为 x 21.y24(3)法一:当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2依题意有Error

6、!解得Error!因为 ab0,所以无解综上,所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25法二:设所求椭圆的方程为 mx2ny 21(m0,n 0,mn),依题意有Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25规律方法 确定椭圆方程的“定位” 与“定量”提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax2By 21(A0,B 0,A B)跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点分别为(0,2), (0,2),经过点(4,3 );2(2)经过两点(2, ), .2 ( 1,142)解 (1)法一:因为椭圆

7、的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知 2a 12,4 02 3r(2) 22 4 02 3r(2) 22所以 a6.又 c2,所以 b 4 .a2 c2 2所以椭圆的标准方程为 1.y236 x232法二:因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设其标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由题意得Error!解得Error!所以椭圆的标准方程为 1.y236 x232(2)法一 若椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24同理可得:

8、焦点在 y 轴上的椭圆不存在综上,所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24法二:设椭圆的一般方程为 Ax2By 21(A0,B0,A B)将两点(2 , ), 代入,2 ( 1,142)得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24与椭圆有关的轨迹问题如图 221,圆 C:(x 1) 2y 225 及点 A(1,0),Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M,求点 M 的轨迹方程 . 【导学号:33242114】图 221解 由垂直平分线性质可知|MQ| MA|,|CM|MA| |CM|MQ| |CQ|.|CM|MA|5.M 点的轨迹为椭圆,其中 2a5,

9、焦点为 C(1,0),A (1,0),a ,c 1,52b 2a 2c 2 1 .254 214所求轨迹方程为: 1.x2254y2214规律方法 在求动点的轨迹方程时,要对动点仔细分析,当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时,由椭圆的定义知其轨迹是椭圆,这时可根据定值及两定点的坐标分别求出 a,c,即可写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2已知两圆 C1:(x 4) 2y 2169,C 2:(x4) 2y 29,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切,和圆 C2 相外切,求动圆圆心的轨迹方程解 如图所示,设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r,由题意动圆

10、M 内切于圆 C1,|MC 1|13r.圆 M 外切于圆 C2,|MC 2|3r.|MC 1|MC 2|16|C 1C2|8,动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C 2 为焦点的椭圆,且 2a16,2c 8,b2a 2c 2 641648,故所求轨迹方程为 1.x264 y248椭圆的定义及其应用探究问题1如何用集合语言描述椭圆的定义?提示 PM|MF 1|MF 2|2a,2a| F1F2|2如何判断椭圆的焦点位置?提示 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2 项和 y2 项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”3椭圆标准方程,a,b,c 三个量的关系是什么?提示 椭圆的标准方程中,a

11、表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆a,b,c(都是正数) 恰是构成一个直角三角形的三条边,a 是斜边,所以 ab,a c,且 a2b 2c 2.(如图所示)如图 222 所示,已知椭圆的方程为 1,若点 P 为椭圆上的x24 y23点,且PF 1F2120,求PF 1F2 的面积. 【导学号:33242115】图 222思路探究 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF 1|和|PF 2|的方程,解方程组求得|PF 1|,再用面积公式求解解 由已知 a2,b ,3得 c 1,|F 1F2|2c 2,a2 b2 4 3在PF 1F2 中,由余弦定理,得|PF2|2|

12、PF 1|2|F 1F2|22|PF 1|F1F2|cos 120,即|PF 2|2|PF 1|242|PF 1|. 由椭圆定义,得|PF 1|PF 2|4,即|PF 2|4 |PF1|. 代入解得|PF 1| .65所以 S |PF1|F1F2|sin 120 PF1F212 2 ,12 65 32 335即PF 1F2 的面积是 .353母题探究:1.(变换条件) 把本例条件“PF 1F2120”改为“F 1PF2 120”求PF 1F2 的面积解 由已知得 a2,b ,c1,|F 1F2|23在PF 1F2 中,由余弦定理,得|F1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2

13、|cos 120,即 4|PF 1|2 |PF2|2|PF 1|PF2|(| PF1|PF 2|)2|PF 1|PF2|,由椭圆定义得|PF 1|PF 2|4,|PF 1|PF2|12,所以 S |PF1|PF2|sin 120 12 3 , PF1F212 12 32 3即PF 1F2 的面积是 3 .32(改变问法) 在例题题设条件不变的情况下,求点 P 的坐标解 设 P 点坐标为(x 0,y 0)由本例解答可知 S |F1F2|y0| , PF1F212 353解得|y 0| ,即 y0 ,353 353将 y0 代入 1 得 x ,353 x24 y23 85所以点 P 的坐标为 .(

14、85,353)规律方法 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F 2 构成的 F1PF2 称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积,若已知F 1PF2,可利用 S absin C 把|PF 1|PF2|看成一个整体,利用定义 |PF1|PF 2|2a 及余弦12定理求出|PF 1|PF2|,这样可以减少运算量.当 堂 达 标固 双 基1已知点 M 到两个定点 A(1,0) 和 B(1,0)的距离之和是定值 2,则动点 M的轨迹是( ) 【导学号:33242116】A 一个椭圆B线段 ABC线段 AB 的垂直平

15、分线D直线 ABB 定值 2 等于|AB|,故点 M 只能在线段 AB 上2已知椭圆 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3,则到另一x225 y216个焦点的距离为( )A1 B5 C2 D7D 由 |PF1|PF 2|10 可知到另一焦点的距离为 7.3椭圆 1 的两个焦点为 F1,F 2,过 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点,x225 y29则ABF 1 的周长为 ( )A10 B20 C40 D50B 由椭圆的定义得|AF 1|AF 2|2a10,| BF1|BF 2|2a10,所以ABF1 的周长为|AF 1|BF 1| AB|20,故选 B.4设 F1,F 2 分别为椭圆

16、C: 1(a b0)的左、右两个焦点,若椭圆x2a2 y2b2C 上的点 A 到 F1,F 2 两点的距离(1,32)之和为 4,则椭圆 C 的方程是_【导学号:33242117】 1 由|AF 1|AF 2|2a4 得 a2,x24 y23原方程化为 1,将 A 代入方程得 b23,x24 y2b2 (1,32)椭圆方程为 1.x24 y235如图 223,在圆 x2y 24 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段PD,D 为垂足当点 P 在圆上运动时,求线段 PD 的中点 M 的轨迹图 223解 设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为( x0,y 0),则 xx 0,y .y02因为点 P(x0,y 0)在圆 x2y 24 上,所以 x y 4. 20 20把 x0x,y 02y 代入方程 ,得 x24y 24,即 y 21.x24所以点 M 的轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆