1、3.3.2 利用导数研究函数的极值第 1 课时 利用导数研究函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一 函数极值的概念函数 yf(x) 的图象如图所示思考 1 函数 f(x)在点 xa 处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？ f( x)在 xa处的值与其附近的值有什么关系？答案 函数在点 xa 处的函数值 f(a)比它在点 xa 附近的其他点的函数值都小； f( a)0，在点 xa 附近的左侧 f( x)0.思考 2 函数在点 xb 处的情况呢？答案 函数在点 xb 处的
2、函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大， f( b)0，且在点 xb 附近的左侧 f( x)0，右侧 f(x) 或 x 时，f ( x)0；2 2当 x 时，f(x )0.2 2所以 f(x)的单调递增区间为(， )，( ，) ；2 2单调递减区间为( ， )2 2当 x 时， f(x)有极大值 54 ；2 2当 x 时，f(x)有极小值 54 .2 2(2)由(1)的分析知，y f( x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当 54 a54 时，2 2直线 ya 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程 f(x)a 有三个不同的实根反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调
3、性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便跟踪训练 3 已知函数 f(x)x 36x 29x 3，若函数 yf(x)的图象与 y f( x)5xm 的13图象有三个不同的交点，求实数 m 的取值范围考点 函数极值的应用题点 函数的零点与方程的根解 由 f(x)x 36x 29x 3，可得 f(x) 3x 212x 9， f(x) 5xm (3x212 x9) 5x m13 13x 2x3m，则由题意可得 x36x 29x 3x 2x3m 有三个不相等的实根，即 g(x)x 37x
4、 28x m 的图象与 x 轴有三个不同的交点g(x )3x 2 14x8(3x2)(x4) ，令 g(x) 0，得 x 或 x4.23当 x 变化时，g( x)，g( x)的变化情况如下表：x ( ，23) 23 (23，4) 4 (4，)g(x) 0 0 g(x) m6827 16m 则函数 g(x)的极大值为 g m，极小值为 g(4)16m .(23) 6827由 yf(x) 的图象与 y f(x) 5x m 的图象有三个不同交点，13得Error!解得160 ，所以 f(x)在(3，1)上为减函数，在(1,2) 上为增函数，故 不正确；x1 是 f(x)的极小值点，故正确；当 x(2
5、,4)时，f(x )6解析 f(x) 3x 22ax a 6，因为 f(x)既有极大值又有极小值，所以 (2a)243(a6)0 ，解得 a6 或 a0 时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点2函数 f(x)x 33x 29x (20，当 x( 1,2)时，f(x)0，b0，且函数 f(x)4x 3ax 22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于( )A2 B3 C6 D9考点 根据函数的极值求参数值题点 已知极值求参数答案 D解析 f(x) 12x 22ax 2b ，f (x)在 x1 处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又 a0，b0，ab2 ，2 6，ab ab
6、ab9，当且仅当 ab3 时等号成立，ab 的最大值为 9.4函数 f(x)(x3)e x的单调递增区间和极值分别是( )A(，2) ， e2 B(0,3)，0C(1,4) ，e D(2，)，e 2考点 题点 答案 D解析 f(x) (x2)e x，令 f( x)0，得 x2.当 x(2 ，)时，f(x)0，f (x)在(2，)上单调递增；当 x( ，2)时，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递减，f(x) 极小值 f(2)e 2，无极大值5已知 aR，且函数 ye xax( xR)有大于零的极值点，则 a 的取值范围为( )Aa1Ca1e 1e考点 函数极值的应用题点 极值存在性问题答案
7、A解析 因为 ye xax ，所以 ye xa.令 y0，即 exa0，则 exa，即 xln(a)，又因为 x0，所以a1，即 a1.6设三次函数 f(x)的导函数为 f(x)，函数 yxf(x)的图象的一部分如图所示，则( )Af(x)极大值为 f( )，极小值为 f( )3 3Bf(x)极大值为 f( )，极小值为 f( )3 3Cf(x)极大值为 f(3)，极小值为 f(3)Df(x)极大值为 f(3)，极小值为 f(3)考点 函数极值的应用题点 函数的极值在图象上的应用答案 D解析 当 x0，即 f( x)3 时，f(x)0，f(x)在 x1 处取到极小值故选 C.二、填空题8函数
8、yxe x在其极值点处的切线方程为_考点 函数的极值与导数的关系题点 不含参数的函数求极值答案 y1e解析 令 ye xx ex(1x)e x0，得 x1，y ，1e函数 yxe x在极值点处的切线方程为 y .1e9已知函数 f(x)ax 33x 2 6axb 在 x2 处取得极值 9，则 a2b_.考点 根据函数的极值求参数值题点 已知极值求参数答案 24解析 f(x) 3ax 26x 6a，f(x)在 x2 处取得极值 9，Error!即Error!解得Error!a2b24.10已知 f(x)x 3ax 2bx a 2 在 x1 处取得极值 10，则 f(1)_.考点 根据函数的极值求
9、参数值题点 已知极值求参数答案 30解析 f(x)3x 22ax b ，由题意知Error!即Error!解得Error!或Error!经检验知，当Error!时，f(x)3(x1) 20，不合题意f(x)x 34x 211x 16，则 f(1) 30.11若函数 yx 33ax a 在 (1,2)内有极小值，则实数 a 的取值范围是_考点 题点 答案 (1,4)解析 y3x 23a，当 a0 时，y 0.函数 yx 33ax a 为单调函数，不合题意，舍去；当 a0 时，y3x 23a0，得 x ，不难分析，当 1 2，即 1a4 时，函数a ayx 33axa 在(1,2) 内有极小值三、
10、解答题12.函数 f(x)x 3ax 2bx c 的图象如图所示，且与直线 y0 在原点处相切，函数的极小值为4.(1)求 a，b，c 的值；(2)求函数的单调递减区间考点 极值的应用题点 函数的极值在图象上的应用解 (1)函数图象过原点，c0，即 f(x)x 3ax 2bx ，f(x)3x 22axb.又函数 f(x)的图象与直线 y0 在原点处相切，f(0)0，解得 b0，f(x )3x 22ax x (3x2 a)由 f(x )0，得 x0 或 x .2a3由题意可知，当 x 时，函数取得极小值4.2a3 3a 24，解得 a3.( 23a) ( 23a)a3，bc0.(2)由(1)知，
11、f(x)x 33x 2，且 f(x)3x(x2)，由 f(x )0 时，解得 x1，当 f(x )0 时，解得 2x1，所以函数的单调递增区间为(，2) ，(1，) ；单调递减区间为(2，1)(2)令 f(x) (2x a)e x(x 2axa)e xx 2 (2a)x 2ae x(xa )(x2)e x0，得 xa 或 x2，当 a2 时，f(x )(x2) 2ex0 恒成立，无极值，当 a2，即a2 时当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x (，2) 2 (2，a) a (a，)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由表可知，f(x)极大值 f(2)(4 2aa
12、)e 2 3，解得 a43e 22，所以存在实数 a43e 2，使 f(x)的极大值为 3.四、探究与拓展14如果函数 yf( x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数 yf(x) 在区间 内单调递增；( 3， 12)函数 yf(x) 在区间 内单调递减；( 12，3)函数 yf(x) 在区间(4,5)内单调递增；当 x2 时，函数 yf(x)有极小值；当 x 时，函数 yf(x) 有极大值12则上述判断正确的是_(填序号)考点 题点 答案 解析 函数的单调性由导数的符号确定，当 x( ，2)时，f(x) 0，所以 f(x)在(，2)上为减函数，同理 f(x)在(2,4) 上为减函数，在
13、(2,2)上为增函数，在(4 ，) 上为增函数，所以可排除和，可选择；由于函数在 x2 的左侧单调递增，右侧单调递减，所以当 x2 时，函数有极大值；而在 x 的左、右两侧，函数的导数都是正数，12故函数在 x 的左、右两侧均为增函数，12所以 x 不是函数的极值点，排除和.1215已知 f(x)x 3bx 2cx2，若 f(x)在 x1 时有极值1.(1)求 b，c 的值；(2)若函数 yf(x )的图象与函数 yk 的图象恰有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围考点 函数极值的应用题点 函数的零点与方程的根解 (1)因为 f(x)x 3bx 2cx2，所以 f(x) 3x 22bx c .由已知得 f(1)0，f(1) 1，所以Error!解得 b1，c5.经验证，b1，c5 符合题意(2)由(1)知 f(x)x 3x 25x2，f(x)3x 22x 5.由 f(x )0，得 x1 ，x 21.53当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x ( ，53)53 ( 53，1)1 (1，)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 根据表格，当 x 时，函数取得极大值且极大值为 f ，53 ( 53) 22927当 x1 时函数取得极小值且极小值为 f(1)1.根据题意结合上图可知 k 的取值范围为 .( 1，22927)