1、章末复习学习目标 1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解命题、联结词及充要条件的相关概念.3.能应用相关知识和方法解决相关问题1全称命题与存在性命题(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例即可(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明(3)含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题否定时既要改写量词，又要否定结论2简单的逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断可以概括为口诀：“p 与綈 p”一真一假， “pq”一真即真， “pq”一假就假.p q 綈
2、p pq pq真 真 假 真 真真 假 假 真 假假 真 真 真 假假 假 真 假 假3.充分条件、必要条件的判断方法(1)直接利用定义判断：即若 pq 成立，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件( 条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：pq 的等价命题是綈 q綈 p，即若綈 q綈 p 成立，则 p 是q 的充分条件，q 是 p 的必要条件(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 AB，则 p是 q 的充分不必要条件若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 BA，则 p是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为
3、充要条件若 A B 且 B A，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件其中 p：A x|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立 4四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题.类型一 命题的关系及真假的判断例 1 将下列命题改写成“如果 p，则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当 mn0，则 C0.其中正确结论的个数是( )A1 B2 C3 D4考点 四种命题及其关系题点 四种命题及其关系答案 B解析 正确的为.类型二 逻辑联结词与量词的综合应用例 2 已知 p：xR，mx 220.q：
4、xR ，x 22mx 10，若 pq 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A1， ) B(，1C(，2 D1,1考点 逻辑联结词与量词的综合应用题点 由复合命题的真假求参数范围答案 A解析 因为 pq 为假命题，所以 p 和 q 都是假命题由 p： xR ，mx 220 为假，得 xR ，mx 220，所以 m0.由 q：xR，x 22mx10 为假，得xR，x 22mx10，所以 (2m) 240m 21 m1 或 m1.由和得 m1.反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系其次要善于利用等价关系，如：p 真与綈 p 假等价，p 假与綈
5、 p 真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径跟踪训练 2 已知命题 p：关于 x 的方程 x2ax 40 有实根；命题 q：关于 x 的函数y2x 2ax4 在3 ，)上是增函数若“pq”是真命题， “pq”是假命题，求实数a 的取值范围考点 题点 解 p 真： (a) 2440，a4 或 a4.q 真： 3，a12.a4由“pq”是真命题， “pq”是假命题，得 p，q 两命题一真一假当 p 真 q 假时，a12；当 p 假 q 真时，4a4.综上，实数 a 的取值范围为(，12) (4,4) 类型三 充分条件与必要条件命题角度 1 充分条件与必要条件的判断例 3 (1)设 xR，则“x
6、23x0”是“x4”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知 a，b 是实数，则“a0 且 b0”是“ab0 且 ab0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点 四种条件题点 识别四种条件答案 (1)B (2)C解析 (1)x 23x0 x4 ，x4x23x0，故 x23x0 是 x4 的必要不充分条件(2)a0 且 b0ab0 且 ab0，a0 且 b0 是 ab0 且 ab0 的充要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法(1)定义法：直接判断若 p 则 q，若 q 则 p 的真假(2)等价法：利用
7、 AB 与綈 B綈 A，BA 与綈 A綈 B， AB 与綈 B綈 A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若AB，则 A 是 B 的充要条件跟踪训练 3 使 ab0 成立的一个充分不必要条件是( )Aa 2b20 B 012loga12lbCln aln b0 Dx axb且 x0.5考点 四种条件题点 识别四种条件答案 C解析 设条件 p 符合条件，则 p 是 ab0 的充分条件，但不是 ab0 的必然结果，即有“pab0，a b0p”A 选项中，a 2b20ab0，有可能是
8、a 00b0，故 B 不符合条件；12log12lC 选项中，ln aln b0ab1ab0，而 ab0ab1，符合条件；D 选项中，x axb且 01 时 ab，无法得到 a，b 与 0 的大小关系，故 D 不符合条件命题角度 2 充分条件与必要条件的应用例 4 设命题 p：x 25x 60；命题 q：(xm)(xm 2)0，若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围考点 充分条件、必要条件与充要条件的综合应用题点 由四种条件求参数的范围解 方法一 命题 p：x 25x60，解得 2x3；命题 q：(xm )(xm2)0 ，解得 mxm 2，綈 p 是綈 q 的必要不充分条
9、件，p 是 q 的充分不必要条件Error!或Error!(等号不能同时取得 )，解得 1m2.即实数 m 的取值范围是1,2方法二 命题 p：2x3，命题 q：mxm2，綈 p：x3，綈 q：x m2，綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，x|xm2 x|x3，故Error!(等号不能同时取得)，解得 1m2.实数 m 的取值范围是1,2反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈 p 是綈 q 的充分不必要( 必要不充分、充要)条
10、件，则 p 是 q 的必要不充分(充分不必要、充要) 条件跟踪训练 4 已知 p：2x 29xa0，总有( x1)e x1，则綈 p 为( )Ax0，使得(x1)e x1Bx0，使得(x1)e x1Cx0，总有(x1)e x1Dx0，总有( x1)e x1考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 B解析 “x0，总有(x 1)e x1”的否定是“ x0，使得(x 1)e x1” 故选 B.2设 x，yR，则“x2 且 y2”是“x 2y 24”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 四种条件题点 识别四种条件答案 A解析 x 2y 24 表示以原点为圆
11、心，以 2 为半径的圆以及圆外的区域，即|x|2 且| y|2，而 x2 且 y2 时，x 2y 24，故 A 正确3 “若 x，y 全为零，则 xy 0”的否命题为_考点 四种命题题点 四种命题的概念的理解答案 若 x，y 不全为零，则 xy0解析 由于“全为零”的否定为“不全为零” ，所以“若 x，y 全为零，则 xy0”的否命题为“若 x，y 不全为零，则 xy0” 4已知命题 p：若 xy，则x y，则 x2y2.在命题pq；pq；p(綈 q)；( 綈 p)q 中，真命题是_考点 含逻辑联结词命题的真假判断题点 含逻辑联结词命题的真假判断答案 解析 当 xy 时， xy 时，x 2y2
12、 不一定成立，故命题 q 为假命题，从而綈 q 为真命题由真值表知，pq 为假命题；pq 为真命题；p(綈 q)为真命题；(綈 p)q 为假命题1否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法若命题为“如果 p，则 q”，则该命题的否命题是“如果綈 p，则綈 q”；命题的否定为“如果 p，则綈 q”2四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题3判断 p 与 q 之间的关系时，要注意 p 与 q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件方
13、向正好相反，不要混淆4注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是” ， “全是”的否定“不全是” ， “至少有一个”的否定“一个也没有” ， “至多有一个”的否定“至少有两个”.一、选择题1命题“x R，x 2x ”的否定是 ( )AxR，x 2x Bx R，x 2xCxR，x 2x DxR ，x 2x考点 全称命题的否定题点 识别全称命题的否定答案 D解析 全称命题的否定是存在性命题，所以“x R，x 2x”的否定为“xR ，x 2x” 2设 p：15，则 p 是綈 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点
14、四种条件题点 识别四种条件答案 A解析 p：10 有解 ”等价于( )AxR，使得 f(x)0 成立BxR，使得 f(x)0 成立CxR，使得 f(x)0 成立DxR，f(x)0 成立考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 A解析 关于 x 的不等式 f(x)0 有解的等价命题是 xR ，使得 f(x)0 成立4已知命题 p：如果(x1)(x2) 0，则 x1 且 x2；命题 q：存在实数 x，使 2x1，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”B命题“若 ，则 tan tan ”的逆否命题为真命题C命题“x R，使得 x2x10”D “x1”是“x 2x20”的充分不必要条件考点 含
15、有一个量词的命题的否定的应用题点 含有量词的命题的否定的综合应用答案 D解析 A 选项，命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1” ，A 不正确；B 选项，若 ，则“tan tan ”是假命题，故其逆否命题也是假命题，B 不正确；C 选项，命题“x R 使得 x2x11x2x20，而 x2x20 x1，D 正确6下列命题是真命题的是( )A “若 x0，则 xy0”的逆命题B “若 x0，则 xy0”的否命题C “若 x1，则 x2”的逆否命题D “若 x2，则(x 2)( x1)0”的逆否命题考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 D解析 “若 x0
16、，则 xy0”的逆命题是“若 xy0，则 x0” ，A 是假命题 “若 x0，则xy0”的否命题“若 x0，则 xy0” ，因为当 x0，y 0 时，xy 0.所以 B 是假命题因为互为逆否命题的两个命题真假性相同，而“若 x1，则 x2”是假命题，所以 C 是假命题，故选 D.7下列命题中为假命题的是( )Ax0 且 x1，x 21xBa R，直线 axya 恒过定点(1,0)CmR，f(x )(m1)xm 24m3 是幂函数D R，函数 f(x)sin(2x)不是偶函数考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 D解析 当 x0 时，x 2，等号在 x1 时成立，故 A
17、为真命题；将 x1，y0 代入直线1x方程 axya 中，等式成立，故 B 为真命题；令 m11，得 m2，此时 f(x)x 1 是幂函数，故 C 为真命题；当 时，f (x)sin cos 2x，为偶函数，故选 D.2 (2x 2)二、填空题8若xR，f( x)( a21) x是减函数，则 a 的取值范围是_考点 全称命题题点 由全称命题的真假求参数的范围答案 ( ，1)(1 ， )2 2解析 由题意知 00 恒成立，若 pq 为假命题且 pq 为真命题，则 m 的取值范围是_考点 逻辑联结词与量词的综合应用题点 由命题的真假求参数的范围答案 (，2( 1,2)解析 p：m1，q：20，命题
18、 q：实数 x 满足 0.x 3x 2(1)若 a1，有 p 且 q 为真，求实数 x 的取值范围；(2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围考点 四种条件的综合应用题点 由四种条件求参数的范围解 (1)因为 a1，所以不等式( xa)( x3a)2)，g(x) 2 x2.(1)若命题“log 2g(x)1”是真命题，求 x 的取值范围；(2)设命题 p：x (1，)，f(x)1 时，g(x)2 x20，又 p 是真命题，则 x1 时，f (x)0，所以 f(1)(12)(1 m) 0，即 m1(或根据(x2)( xm )0 的解集得出)，故所求 m 的取值范围为m|2
19、m 1四、探究与拓展14 “辽宁舰”在海上进行训练时，假设 A，B 两处为假想敌，设命题 p 为“辽宁舰击中 A 处假想敌” ，命题 q 为“辽宁舰击中 B 处假想敌” ，则命题“辽宁舰至少在一处没有击中假想敌”可表示为( )A(綈 p)(綈 q) Bp( 綈 q)C(綈 p)( 綈 q) Dpq考点 题点 答案 A解析 綈 p：“辽宁舰”没有击中 A 处假想敌；綈 q：“辽宁舰”没有击中 B 处假想敌所以“辽宁舰至少在一处没有击中假想敌”可表示为(綈 p)(綈 q)，故选 A.15已知命题 p：x 1 和 x2 是方程 x2mx 20 的两个实根，当 m1,1时，不等式a25a3|x 1x
20、2|恒成立；命题 q：不等式 ax22x 10 有解若 pq 是假命题，綈 p也是假命题，求实数 a 的取值范围考点 pq 形式的命题题点 已知 p 且 q 命题的真假求参数(或其范围)解 pq 是假命题，綈 p 是假命题，命题 p 是真命题，命题 q 是假命题x 1，x 2 是方程 x2mx 2 0 的两个实根，Error!|x 1x 2| ，x1 x22 4x1x2 m2 8当 m1,1时，|x 1x 2|max3，a 25a33，a6 或 a1.当命题 p 为真命题时，a6 或 a1.命题 q：不等式 ax22x 10 有解，当 a0 时，44a0，不等式有解；当 a0 时，2x10 有解；当 a0 时，令 44a0，得1a0.当命题 q 为真命题时，a1.又命题 q 是假命题，a1.由Error!得 a1.实数 a 的取值范围为(，1