1、32.3 导数的四则运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数知识点一 和、差的导数已知 f(x)x，g( x) .1x思考 1 f(x) ，g(x)的导数分别是什么？答案 f(x) 1，g(x) .1x2思考 2 试求 Q(x)x ，H (x)x 的导数1x 1x答案 Q(x) 1 .1x2H(x)1 .1x2梳理 和、差的导数(f(x)g(x) f( x)g( x)知识点二 积、商的导数(1)积的导数f(x) g(x)f(x )g(x)f(x) g(x)Cf( x)Cf(x )(2)商的导数 (g(x
2、)0)fxgx f xgx fxg xg2x注意：f( x)g(x)f(x )g(x)， .fxgx f xg x(1)f(x0)g( x0)f(x 0)g( x0)( )(2)两函数和的导数等于它们各自导数的和，两函数积的导数却不等于它们各自导数的积( )(3) .( )fxgx f xg x类型一 导数运算法则的应用例 1 求下列函数的导数：(1)f(x) ax3bx 2c ；(2)f( x)xln x2 x；13(3)f(x) ；(4) f(x)x 2ex.x 1x 1考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的应用解 (1)f(x) (13ax3 bx2 c) (bx 2)c ax 22b
3、x.(13ax3)(2)f(x) (xln x 2 x)(x ln x)(2 x)xln xx(ln x )2 xln 2ln x12 xln 2.(3)方法一 f( x) (x 1x 1)x 1 x 1 x 1x 1x 12 .x 1 x 1x 12 2x 12方法二 f(x) 1 ，x 1x 1 x 1 2x 1 2x 1f(x ) (1 2x 1) ( 2x 1) .0 2x 1x 12 2x 12(4)f(x) (x 2ex)(x 2)e xx 2(ex)2xe xx 2exe x(2xx 2)反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分(2)对一个函数求导时，要紧
4、扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换) ，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导跟踪训练 1 求下列函数的导数：(1)f(x)xtan x ；(2)f(x)22sin 2 ；x(3)f(x)(x1)( x3)( x5)；(4)f(x) .sin x1 sin x考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的应用解 (1)f(x) (xtan x) (xsin xcos x)xsin x cos x xsin xcos xcos2x .s
5、in x xcos xcos x xsin2xcos2x sin xcos x xcos2x(2)f(x) 22sin 2 1cos x，xf(x )sin x .(3)方法一 f( x)( x1)( x3) (x5)( x1)( x3)(x5) (x1)( x3)(x 1)(x3)(x5)(x 1)( x3)(2x4)(x5)( x1)( x3)3x 218x23.方法二 f(x)(x1)( x3)(x5) (x 24x3)(x5)x 39x 223x 15，f(x )(x 39x 223x 15)3x 218x23.(4)f(x) ，sin x1 sin xf(x ) .cos x1 si
6、n x sin xcos x1 sin x2 cos x1 sin x2类型二 导数运算法则的综合应用命题角度 1 利用导数求函数解析式例 2 (1)已知函数 f(x) 2xf(1)，求 f(x)；ln xx(2)设 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数 a，b，c，d，使得 f(x)xcos x.考点 导数的应用题点 利用导数求函数解析式解 (1)由题意得 f( x) 2f(1)，1 ln xx2令 x1，得 f (1) 2f(1)，即 f(1) 1.1 ln 11所以 f(x) 2x .ln xx(2)由已知得 f( x)( axb)sin x(cx d)cos x
7、(axb)sin x ( cxd)cos x (ax b)sin x(axb)(sin x) (cxd)cos x(cxd)(cos x)asin x (axb)cos x c cos x( cxd)sin x(acxd)sin x(ax b c)cos x.又因为 f(x) xcos x，所以Error!即Error!解得 ad1，bc0.反思与感悟 求解此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练 2 已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2e xf(1)3ln x，则 f(1)等于( )A3 B2e C. D.21 2e 31 2e考点 导数的应用题点 利用导数求函数
8、解析式答案 D解析 f(x)2e xf(1) ，3x令 x1，得 f (1)2e f(1)3，f(1) .31 2e命题角度 2 与切线有关的问题例 3 已知函数 f(x)ln x ax 1( aR )当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2 ，f (2)1 ax处的切线方程考点 题点 解 因为当 a1 时，f(x)ln xx 1，x(0 ，) 2x所以 f(x) ，x(0，) ，x2 x 2x2因此 f(2)1，即曲线 yf(x) 在点(2，f (2)处的切线斜率为 1.又 f(2)ln 2 2，所以曲线 yf(x )在点(2 ，f(2)处的切线方程为y(ln 2 2)x2，即 xyln 2
9、0.引申探究若本例函数不变，已知曲线 yf (x)在点(2，f(2) 处的切线方程为 xy ln 20，求 a.解 因为 f(x ) a ，1x a 1x2 ax2 x a 1x2又曲线在点(2，f(2)处的切线方程为 xyln 20，所以 f(2)1, 即 1， 22a 2 a 122即 a1.反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行恒等变换，从而转化为这三个要素间的关系(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练 3
10、 已知函数 f(x)ax 2bx3(a0)，其导函数 f(x) 2x8.(1)求 a，b 的值；(2)设函数 g(x)e xsin xf( x)，求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程考点 导数的应用题点 与切线有关的问题解 (1)因为 f(x)ax 2bx3(a0) ，所以 f(x) 2axb.又 f(x )2x8，所以 a1，b8.(2)由(1)可知，g(x )e xsin xx 28x3，所以 g(x) e xsin xe xcos x2x8，所以 g(0)e 0sin 0e 0cos 02087.又 g(0)3，所以 g(x)在 x 0 处的切线方程为 y37(x0) ，即 7xy30
11、.1下列结论不正确的是( )A若 y3，则 y0B若 f(x)3x1，则 f(1)3C若 y x，则 y 1x12xD若 ysin xcos x，则 y cos xsin x考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的应用答案 D解析 D 中，ysin xcos x，y(sin x)(cos x) cos xsin x.2设 y2e xsin x，则 y等于( )A2e xcos x B2e xsin xC2e xsin x D2e x(sin xcos x)考点 导数的运算法则题点 导数的乘法法则及运算答案 D解析 y2(e xsin xe xcos x)2e x(sin xcos x)3对于函
12、数 f(x) ln x ，若 f(1) 1，则 k_.exx2 2kx考点 导数的运算法则题点 导数的加减法则及运算答案 e2解析 f(x) ，exx 2x3 1x 2kx2f(1)e12k 1，解得 k .e24设函数 f(x) x3 x2bxc，其中 a0，曲线 yf(x)在点 P(0，f(0) 处的切线方程为13 a2y1，确定 b，c 的值考点 导数的应用题点 与切线有关的问题解 由题意，得 f(0)c ，f(x) x 2axb，由切点 P(0，f(0)既在曲线 f(x) x3 x2bxc 上又在切线 y1 上，得Error!13 a2即Error!解得 b0，c1.求函数的导数要准确
13、把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些与切线斜率、瞬时速度等有关的问题.一、选择题1下列求导运算正确的是( )A. 1(x 3x) 3x2B(log 2x)1xln 2C(3 x)3 xlog3eD(x 2cos x)2xsin x考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的应用答案 B解析 A 中， 1 ，故错误；(x 3x) 3x2B 中，(log 2x) ，故正确；1xln 2C 中，(3
14、x) 3xln 3，故错误；D 中，(x 2cos x)2xcos xx 2sin x，故错误故选 B.2函数 y (a0)在 x x0 处的导数为 0，则 x0 等于( )x2 a2xAa Ba Ca Da 2考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的应用答案 B解析 y1 ， 1 0，x 0 a.a2x2 0|xya2x203若函数 f(x) 在 xx 0 处的导数值与函数值互为相反数，则 x0 的值等于( )exxA0 B1C. D不存在12考点 导数的运算法则题点 导数的除法法则及运算答案 C解析 f(x) ，xex exx2又 f(x 0)f(x 0)0， 0，解得 x0 .02ex1
15、24若曲线 f(x)xsin x1 在 x 处的切线与直线 ax2y10 互相垂直，则实数 a 等于( )2A2 B1C1 D2考点 导数的应用题点 与切线有关的问题答案 D解析 f(x)sin x xcos x，f 1，(2)f sin cos 1.(2) 2 2 2又由题意知，f 1，(2)( a2)a2.5若函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)x 22f(2)xm，则( )Af(0)f(5) Df(0)f (5)考点 导数的运算法则题点 导数的加法法则及运算答案 C解析 f(x) x 22f(2) xm，f(x )2x2f(2) ，f(2)222f(2) ，即 f(2)4.f(x)
16、x 28xm，f(0)m，f(5)2540m15m.f(0)f(5)6在下面的四个图象中，其中一个图象是函数 f(x) x3ax 2(a 21)x1( a0)的导函数13yf(x) 的图象，则 f(1)等于( )A. B C. D 或13 13 73 13 53考点 导数的应用题点 导数的应用答案 B解析 f(x)x 22ax (a 21)，导函数 f(x )的图象开口向上又a0，f(x )不是偶函数，其图象不关于 y 轴对称，故其图象必为.由图象特征知 f(0)0，且对称轴a0，a1，则 f(1) 11 ，故选 B.13 137设曲线 y 在点(3,2)处的切线与直线 axy 10 垂直，则
17、 a 等于( )x 1x 1A2 B. C D212 12考点 导数的应用题点 与切线有关的问题答案 D解析 y ，x 1 x 1 x 1x 1x 12 2x 12y| x3 ， 23 12 12曲线 y 在点(3,2)处的切线斜率为 ，x 1x 1 12由题意得 (a)1， a2.( 12)二、填空题8设 f(5)5，f(5) 3，g(5)4，g(5)1，若 h(x) ，则 h(5) _.fx 2gx考点 导数的运算法则题点 导数的除法运算法则及运算答案 516解析 f(5)5，f(5) 3，g(5)4，g(5)1，又 h(x) ，f xgx fx 2g xg2xh(5)f 5g5 f5 2
18、g 5g25 .34 5 2142 5169已知 f(x) x33xf (0)，则 f(1) _.13考点 导数的运算法则题点 导数的加法法则及运算答案 1解析 f(x)x 23f(0) ，令 x0，则 f(0)0，f(1)1 23f(0) 1.10若函数 f(x) x2ax ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_12考点 导数的应用题点 与切线有关的问题答案 2，)解析 f(x) x2ax ln x，f ( x)xa .12 1xf(x)存在垂直于 y 轴的切线，f ( x)存在零点，即 x a0 有解，ax 2(当且仅当 x1 时，取等号)1x 1x11已知点 P
19、在曲线 y 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是4ex 1_考点 导数的应用题点 与切线有关的问题答案 34，)解析 y ，y .4ex 1 4exex 12令 ex1t，则 ext1 且 t1，y . 4t 4t2 4t2 4t再令 m，则 0m1，1ty4m 24m4 21，m (0,1) (m 12)1y0，1tan 0，得 .34三、解答题12设 yf(x) 是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等的实根，且 f(x) 2x1.求 yf(x)的函数表达式考点 导数的应用题点 利用导数求函数解析式解 f(x) 2x1，f(x)x 2xc (c 为常数)，又方程 f(x
20、)0 有两个相等的实根，即 x2xc 0 有两个相等的实根，1 24c0，即c ，14f(x)的表达式为 f(x)x 2x .1413已知函数 f(x) 1( a0) 的图象在 x1 处的切线为 l，求 l 与两坐标轴围成的三角形x2a面积的最小值考点 题点 解 因为 f(x ) ，所以 f (1) ，2xa 2a又因为 f(1) 1，1a所以切线 l 的方程为 y 1 (x1) 1a 2a令 x0，得 y 1.1a令 y0，得 x ，a 12所以三角形的面积S (22)1，12| 1a 1| |a 12 | 14(a 1a 2) 14当且仅当 a ，即 a1 时，直线 l 与两坐标轴围成的三
21、角形的面积最小，最小值为 1.1a四、探究与拓展14曲线 y 在点 M 处的切线的斜率为_sin xsin x cos x 12 (4，0)考点 题点 答案 12解析 y ，cos xsin x cos x sin xcos x sin xsin x cos x2 11 sin 2xk .4|x1215设函数 f(x)ax ，曲线 yf (x)在点(2，f(2) 处的切线方程为 7x4y120.bx(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x )上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值考点 导数的应用题点 与切线有关的问题(1)解 由 7x4
22、y120，得 y x3.74当 x2 时，y ，所以 f(2) ，12 12又 f(x )a ，且 f(2) ，bx2 74由得Error!解得Error!故 f(x)x .3x(2)证明 设 P(x0，y 0)为曲线上任一点，由 f(x) 1 知，3x2曲线在点 P(x0，y 0)处的切线方程为 yy 0 (xx 0)，(1 3x20)即 y (xx 0)(x0 3x0) (1 3x20)令 x0，得 y ，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 .6x0 (0， 6x0)令 yx，得 y x2x 0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x 0,2x0)所以曲线在点 P(x0，y 0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为S |2x0|6.12 | 6x0|故曲线 yf(x) 上任一点处的切线与直线 x0，y x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.