1、31.3 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程知识点 导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n)(n1,2,3,4，) ，P 的坐标为 (x0，f(x 0)，直线 PT 为过点 P 的切线思考 1 割线 PPn的斜率 kn是多少？答案 割线 PPn的斜率为 kn .fxn fx0xn x0思考 2 当点 Pn无限趋近于点 P 时，割线 PPn的斜率 kn与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？答案 k n无限趋近于切
2、线 PT 的斜率 k.梳理 (1)切线的定义：当 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线(2)导数 f(x 0)的几何意义：函数 f(x)在 xx 0 处的导数就是切线的斜率 k，即 k f(x 0)limx 0fx0 x fx0x(3)切线方程：曲线 yf(x )在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 yf(x 0)f ( x0)(xx 0)(1)过曲线上一点的割线有无数条，而过这点的切线确仅有一条( )(2)曲线在点 P 处的切线和过点 P 的切线意思相同( )(3)这里对曲线切线的定义与圆的切线的定义并不完全相同( )类型
3、一 求切线方程命题角度 1 曲线在某点处的切线方程例 1 已知曲线 C：y x3 ，求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程13 43考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点的切线方程解 将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4，切点坐标为 P(2,4)y| x2 limx 0yx limx 0132 x3 43 1323 43x 42x (x)24，limx 0 13ky| x2 4.曲线在点 P(2,4)处的切线方程为y44( x2) ，即 4xy40.反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练 1 曲线 yx 21 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是_考点 切线
4、方程的求解及应用题点 求在某点的切线方程答案 3解析 y| x2 limx 0yx (4x)4，limx 02 x2 1 22 1x lim x 0ky| x2 4.曲线 yx 21 在点(2,5)处的切线方程为y54( x2) ，即 y4x3.切线与 y 轴交点的纵坐标是3.命题角度 2 曲线过某点的切线方程例 2 求抛物线 y x2 过点 的切线方程14 (4，74)考点 切线方程的求解及应用题点 求过某点的切线方程解 设切线在抛物线上的切点坐标为 ，(x0，14x20) 0|xylimx 014x0 x2 14x20x x0，limx 0(12x0 14x) 12 x0，14x20 74
5、x0 4 12即 x 8x 070，解得 x0 7 或 x01.20切线过抛物线 y x2 上的点 ， ，14 (7，494) (1，14)故切线方程为 y (x7)或 y (x1) ，494 72 14 12化简得 14x4y 490 或 2x4y10，即为所求的切线方程反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线 yf(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x 0，y 0)(2)建立方程 f( x0) .y1 y0x1 x0(3)解方程得 kf(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程跟踪训练 2 求过点(1,0)与曲线 yx 2x1 相切的直线方程考点 切线方程的求解及应用题点 求过某点的
6、切线方程解 设切点坐标为(x 0，x x 01)，20则切线斜率为k 2x 01.limx 0x0 x2 x0 x 1 x20 x0 1x又 k ，x20 x0 1 0x0 1 x20 x0 1x0 12x 01 ，x20 x0 1x0 1解得 x00 或 x02.当 x00 时，切线的斜率为 k1，过(1,0)的切线方程为 y0x1，即 xy10；当 x02 时，切线的斜率为 k3，过(1,0)的切线方程为 y03(x1) ，即3xy30.故所求切线方程为 xy 10 或 3xy30.类型二 求切点坐标例 3 已知曲线 y1x 21 在 xx 0 处的切线与曲线 y21x 3 在 xx 0
7、处的切线互相平行，求 x0 的值考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标解 2x0，01| xylimx 0yx lim x 0x0 x2 1 x20 1x 02| xlimx 0yx 3x .limx 01 x0 x3 1 x30x 20由题意得 2x03x ，20解得 x00 或 .23引申探究1若将本例条件中的“平行”改为“垂直” ，求 x0 的值解 2x 0， 3x .1|y02|y20又曲线 y1x 21 与 y21x 3 在 xx 0 处的切线互相垂直，2x 0(3x )1，20解得 x0 .33662若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程解 由例 3 知，x 00 或 .23
8、当 x00 时，两条平行切线方程分别为 y1，y 1.当 x0 时，曲线 yx 21 的切线方程为 12x9y130.23曲线 y1x 3 的切线方程为 36x27y110.所求两平行切线方程为 y1 与 y1 或 12x9y130 与 36x27y110.反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x 0，y 0)(2)求导函数 f( x)(3)求切线的斜率 f( x0)(4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0.(5)点(x 0，y 0)在曲线 f(x)上，将 x0 代入求 y0，得切点坐标跟踪训练 3 已知直线 l：y 4xa 与曲线 C：y x 32x 2
9、3 相切，求 a 的值及切点坐标考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标解 设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0，y 0) 0()|xflimx 0fx0 x fx0x limx 0x0 x3 2x0 x2 3 x30 2x20 3x3x 4x 0，20又由题意可知 k4，3x 4x 04，20解得 x0 或 x02，23切点坐标为 或(2,3)( 23，4927)当切点坐标为 时，有 4 a，( 23，4927) 4927 ( 23)解得 a .12127当切点坐标为(2,3)时，有 342a，解得 a5.当 a 时，切点坐标为 ；12127 ( 23，4927)当 a5 时，切点坐
10、标为(2,3)类型三 导数几何意义的应用例 4 已知函数 f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记 k1 f(1)，k 2f (2) ，k 3k AB，则k1，k 2，k 3 之间的大小关系为_( 请用“ ”连接)考点 导数的几何意义题点 导数几何意义的理解答案 k 1k3k2解析 由导数的几何意义，可得 k1k2.k 3 表示割线 AB 的斜率，f2 f12 1k 1k3k2.反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合跟踪训练 4 (1)若函数 yf(x)的导函数
11、在区间a，b 上是增函数，则函数 yf (x)在区间a，b上的图象可能是( )(2)已知曲线 f(x)2x 2a 在点 P 处的切线方程为 8xy 150，则实数 a 的值为_考点 导数的几何意义题点 导数几何意义的理解答案 (1)A (2)7解析 (1)依题意知，yf(x)在a，b 上是增函数，则在函数 f(x)的图象上，各点切线的斜率随着 x 的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有 A 满足(2)设点 P(x0,2x a)20由导数的几何意义，可得f(x 0) 4x 08.limx 0yx lim x 02x0 x2 a 2x20 axx 02，点 P 的坐标为(2,8a)将 x2，y8
12、a 代入 8xy150，得 a7.1已知曲线 yf( x)2x 2 上一点 A(2,8)，则曲线在点 A 处的切线斜率为( )A4 B16 C8 D2考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 C解析 f(2) limx 0f2 x f2x (82x)8，k8.limx 022 x2 8x lim x 02若曲线 yx 2ax b 在点 (0，b)处的切线方程是 xy10，则( )Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b 1考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线的斜率求值答案 A解析 由题意知，ky | x0 1，limx 00 x2 a0 x b bxa1.又
13、(0，b)在切线上，b1，故选 A.3曲线 yf(x) 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )9xA45 B60 C135 D120考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 C解析 f(x) limx 0fx x fxx9 limx 01x x 1xx9 ，limx 0 1x xx 9x2y| x3 1.99又直线倾斜角的范围为0，180)，倾斜角为 135.4.如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0) ，(6,4)，则函数 f(x)在 x1 处的导数 f (1)_.考点 导数的几何意义题点 导数几何意义的理解答案 2解
14、析 由题图及已知可得函数解析式为f(x)Error!由导数的几何意义，知 f(x)在 x1 处的斜率为2.5已知曲线 yf( x)2x 24 x 在点 P 处的切线斜率为 16，则点 P 的坐标为_考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 (3,30)解析 设点 P(x0,2x 4x 0)，20则 f(x 0) limx 0fx0 x fx0x 4x 04，limx 02x2 4x0x 4xx令 4x0416，得 x03，P (3,30)1导数 f(x 0)的几何意义是曲线 yf (x)在点(x 0，f(x 0)处切线的斜率，即 k f(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度l
15、imx 0fx0 x fx0x2 “函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个常数，不是变量， “导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x 0)是其导数 yf ( x)在 xx 0 处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 yf (x0)f ( x0)(xx 0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x 0)，表示出切线方程，然后求出切点.一、选择题1若曲线 yf( x)在点( x0，f(x 0)处的切线方程为 2xy 10，则( )Af(x 0)0 Bf ( x0)0Cf(x 0)f (xB) Bf ( xA)0，解得 a2.故存在实数 a，使得经过点(1，a) 能够作出该曲线的两条切线，此时 a 的取值范围是a|a2