1、31.2 瞬时速度与导数学习目标 1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在某一点处的导数的定义知识点一 瞬时变化率思考 1 物体的路程 s 与时间 t 的关系是 s(t)5t 2，试求物体在1,1 t这段时间内的平均速度答案 s 5(1t) 2510t 5( t)2， 105t.vst思考 2 当 t 趋近于 0 时，思考 1 中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？答案 当 t 趋近于 0 时， 趋近于 10，这时的平均速度即为 t1 时的瞬时速度st梳理 (1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是 sf(t)，当
2、t0到 t0t 时，当 t 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0到 t0t 的平均变化率 趋近于常数，这个常数称为 t0时刻的瞬时速度ft0 t ft0t(2)函数的瞬时变化率设函数 yf(x) 在 x0附近有定义，当自变量在 xx 0附近改变 x 时，函数值相应地改变y f(x0x) f(x0)，如果当 x 趋近于 0 时，平均变化率 趋近于一个常数fx0 x fx0xl，则常数 l 称为函数 f(x)在点 x0的瞬时变化率知识点二 函数的导数思考 f(x 0)与 f(x )表示的意义一样吗？答案 f(x 0)表示 f(x)在 xx 0 处的导数，是一个确定的值f(x) 是 f(x)的导函
3、数，它是一个函数f(x 0)是导函数 f(x)在 xx 0 处的函数值梳理 (1)函数 f(x)在 xx 0处的导数函数 yf(x) 在 xx 0处的瞬时变化率称为函数 yf(x)在 xx 0处的导数，记作 f( x0)或，即 f(x 0) .0|x limx 0fx0 x fx0x(2)导函数定义如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 导数都存在，则称 f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b) 内每个值 x，都对应一个 确定的导数 f(x) ，于是在区间( a，b)内 f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 yf (x)的导函数记为 f( x)(或 yx、y)
4、(3)函数 yf(x)在点 x0处的导数 f( x0)就是导函数 f( x)在点 xx 0处的函数值，即 f(x 0).0|f(1)函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率( )(2)平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢，瞬时变化刻画的是函数在某一点处的变化情况( )(3)f(x)在 xx 0处的导数就是导数 f( x)在 xx 0处的函数值( )类型一 求函数在某一点处的导数例 1 求 yx 2 在点 x1 处的导数考点 题点 解 y(1 x) 21 22x (x)2， 2x ，yx 2x x2x (2x ) 2，y | x1 2.limx 0yx lim x 0反思与感悟 求函数
5、 yf( x)在点 x0处的导数的步骤(1)求函数的增量 yf(x 0x)f (x0)；(2)求平均变化率 ；yx fx0 x fx0x(3)取极限，得导数 f( x0) .limx 0yx跟踪训练 1 (1)若 k ，limx 0fx0 x fx0x则 等于 ( )limx 0fx0 2x fx0xA2k BkC. k D以上都不是12考点 题点 答案 A解析 ，limx 0fx0 2x fx0x2 2k .lim2x 0fx0 2x fx02x(2)求 y2x 24x 在点 x3 处的导数考点 题点 解 y2(3 x)24(3x)(23 243)2(x) 216x ， 2x 16，yx (
6、2x16) 16，limx 0yx lim x 0所以 y| x3 16.类型二 求物体运动的瞬时速度例 2 某物体的运动路程 s(单位： m)与时间 t(单位：s) 的关系可用函数 s(t)t 2t 1 表示，求物体在 t1 s 时的瞬时速度考点 导数的概念题点 瞬时速度解 st s1 t s1t1 t2 1 t 1 12 1 1t3t， (3 t) 3.limt 0st lim t 0物体在 t1 处的瞬时变化率为 3，即物体在 t1 s 时的瞬时速度为 3 m/s.引申探究 1若本例的条件不变，试求物体的初速度解 st s0 t s0t0 t2 0 t 1 1t1t， (1 t) 1.l
7、imt 0st lim t 0物体在 t0 处的瞬时变化率为 1，即物体的初速度为 1 m/s.2若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 9 m/s.解 设物体在 t0时刻的瞬时速度为 9 m/s， st st0 t st0t2t 01t. (2t01t)2t 01.limt 0st lim t 0则 2t019，t 04.则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t 0t )s(t 0)求平均速度 .vst求瞬时速度
8、，当 t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于的常数 v 即为瞬时速度，即stvs(t 0)跟踪训练 2 一质点 M 按运动方程 s(t)at 21 做直线运动( 位移单位：m ，时间单位：s) ，若质点 M 在 t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值考点 导数的概念题点 瞬时速度解 质点 M 在 t2 时的瞬时速度即为函数在 t2 处的瞬时变化率质点 M 在 t2 附近的平均变化率 4aat，st s2 t s2t a2 t2 4at 4a8，即 a2.limt 0st类型三 导数的实际意义例 3 一条水管中流出的水量 y(单位：m 3)是时间 x(单位：s)的函数 yf(x)x
9、 27x15(0x 8)计算 2 s 和 6 s 时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义考点 题点 解 在 2 s 和 6 s 时，水管流量函数的导数为 f(2)和 f(6)，根据导数的定义， yx f2 x f2x2 x2 72 x 15 22 72 15x x 11，4x x2 7xx所以 f(2) (x11)11，limx 0yx lim x 0即在 2 s 时的水流速度为 11 m3/s.同理可得在 6 s 时的水流速度为 19 m3/s.在 2 s 与 6 s 时，水管流量函数的导数分别为 11 与 19.它说明在 2 s 时附近，水流大约以 11 m3/s 的速度流出，在 6
10、 s 时附近，水流大约以 19 m3/s 的速度流出反思与感悟 导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化，例如位移 s 关于时间 t的导数就是运动物体的瞬时速度，气球体积 V 关于半径 r 的导数就是气球的瞬时膨胀率跟踪训练 3 服药后，人体血液中药物的质量浓度 y(单位： g/mL)关于时间 t(单位：min)的函数为 yf(t) ，假设函数 y f(t)在 t10 和 t100 处的导数分别为 f(10)1.5 和 f(100)0.60，试解释它们的实际意义考点 题点 解 f(10)1.5 表示服药后 10 min 时，血液中药物的质量浓度上升的速度为 1.5 g/(mLmin)f(
11、100)0.6 表示服药后 100 min 时，血液中药物的质量浓度下降的速度为 0.6 g/(mLmin).1如果某物体的运动方程为 s2(1t 2)(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，那么其在 1.2 s 末的瞬时速度为( )A4.8 m/s B0.88 m/sC0.88 m/s D4.8 m/s考点 题点 答案 A解析 物体运动在 1.2 s 末的瞬时速度即为 s 在 1.2 处的导数，利用导数的定义即可求得2设函数 f(x)可导，则 等于( )limx 0f1 3x f13xAf(1) B3f (1)C. f(1) Df (3)13考点 题点 答案 A解析 f(1)limx 0f1
12、 3x f13x3函数 f(x)在 x0 处可导，则 ( )limh 0fx0 h fx0hA与 x0，h 都有关B仅与 x0 有关，而与 h 无关C仅与 h 有关，而与 x0 无关D与 x0，h 均无关考点 导数的概念题点 导数概念的理解答案 B4函数 yf(x)3x 22x 在 x2 处的导数为_考点 函数在某一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数答案 14解析 f(2) limx 0yx limx 032 x2 22 x 322 22x (3x14)14.limx 05已知函数 f(x) 在 x1 处的导数为2，则实数 a 的值是 _ax考点 函数在某一点处的导数题点 根据导数值
13、，求坐标及参数答案 2解析 f(1) a.limx 0a1 x ax lim x 0 a1 x由题意知，a2，a2.利用导数的定义求导数三步曲(1)作差求函数的增量 yf(x 0x)f (x0)；(2)作比求平均变化率 ；yx fx0 x fx0x(3)取极限，得导数 f( x0) .limx 0yx简记为一差，二比，三极限一、选择题1一质点的运动方程为 s53t 2，若该质点在时间段1，1 t内相应的平均速度为3 t6，则该质点在 t1 时的瞬时速度是( )A3 B3 C6 D6考点 导数的概念题点 瞬时速度答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在 t1 时的瞬时速度为 s li
14、mt 0(3t6) 6.2设函数 f(x)ax3，若 f (1)3，则 a 等于( )A2 B2 C3 D3考点 函数在某一点处的导数题点 根据导数值，求坐标及参数答案 C解析 f(1) limx 0f1 x f1x a，limx 0ax 1 3 a 3x又f(1)3，a3.3若可导函数 f(x)的图象过原点，且满足 1，则 f(0)等于( )limx 0fxxA2 B1 C1 D2考点 函数在某一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数答案 B解析 f(x) 的图象过原点，f(0)0，f(0) 1.limx 0f0 x f0x lim x 0fxx4物体的运动方程是 s4t 216t ，
15、在某一时刻的速度为 0，则相应时刻为( )At1 Bt2 Ct3 Dt 4考点 导数的概念题点 瞬时速度答案 B解析 设在 t0时刻速度为 0，s(t 0) limt 0st0 t st0t limt 0 4t0 t2 16t0 t 4t20 16t0t (8t 0164t)limt 08t 0160，t 02.5已知 f(x)x 23x ，则 f(0)等于( )Ax 3 B( x)23xC3 D0考点 题点 答案 C解析 f(0) limx 0f0 x f0x lim x 0x2 3xx (x3)3.limx 06设函数 yf( x)在 xx 0 处可导，且 1，则 f(x 0)等于( )l
16、imx 0fx0 3x fx0xA1 B1C D.13 13考点 题点 答案 C解析 因为 limx 0fx0 3x fx0x limx 0fx0 fx0 3x3x 33f(x 0)1，所以 f(x 0) ，故选 C.137已知点 P(x0，y 0)是抛物线 yf (x)3x 26x1 上一点，且 f( x0)0，则点 P 的坐标为( )A(1,10) B(1，2)C(1，2) D(1,10)考点 题点 答案 B解析 yx fx0 x fx0x3x0 x2 6x0 x 1 3x20 6x0 1x3 x 6x06，f(x 0) (3x6x 06) 6x 060，limx 0yx lim x 0x
17、 01.把 x01 代入 y 3x26x1，得 y02.点 P 的坐标为(1，2) 二、填空题8已知 f(3)2，f(3) 2，则 _.limx 32x 3fxx 3考点 导数的概念题点 导数概念的理解答案 8解析 limx 32x 3fxx 3 lim x 32x 6 6 3fxx 3 2 23 limx 3 6 3fxx 3 lim x 32 fxx 323 23f(3)8.limx 3fx f3x 39对于函数 y ，其导数值等于函数值的点是_1x2考点 函数在某一点处的导数题点 根据导数值，求坐标及参数答案 ( 2，14)解析 设导数值等于函数值的点是(x 0，f(x 0)，则 f(x
18、 0) limx 0fx0 x fx0x .limx 01x0 x2 1x20x 2x30由题意知，f(x 0)f(x 0)，即 ，2x30 1x20解得 x02，从而 y0 .14所以导数值等于函数值的点是 .( 2，14)10.如图所示，水波的半径以 1 m/s 的速度向外扩张，当半径为 5 m 时，则水波面的圆面积的膨胀率是_ m2/s.考点 函数在某一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数答案 10解析 (10r) 10.sr lim r 05 r2 25r lim r 011已知函数 yf( x)在 xx 0 处的导数为 11，则 _.limx 0fx0 2x fx0x考点 题
19、点 答案 22解析 limx 0fx0 2x fx0x2 limx 0fx0 2x fx0 2x2f(x 0)22.三、解答题12某一运动物体，在 x(s)时离出发点的距离(单位：m)是 f(x) x3x 22x.23(1)求在第 1 s 内的平均速度；(2)求在 1 s 末的瞬时速度；(3)经过多长时间该物体的运动速度达到 14 m/s?考点 导数的概念题点 瞬时速度解 (1)物体在第 1 s 内的平均变化率 (即平均速度)为 m/s.f1 f01 0 113(2) yx f1 x f1x231 x3 1 x2 21 x 113x63x (x)2.23当 x 0 时， 6，yx所以物体在 1
20、 s 末的瞬时速度为 6 m/s.(3) yx fx x fxx23x x3 x x2 2x x (23x3 x2 2x)x2x 22x2 (x)22xxx.23当 x 0 时， 2x 22x 2，yx令 2x22x214，解得 x 2 或 x3(舍) ，即经过 2 s 该物体的运动速度达到 14 m/s.13已知 f(x)x 2，g( x)x 3，求适合 f(x 0)2g( x0)的 x0 的值考点 导数在某一点处的导数题点 导数的综合应用解 由导数的定义知，f(x 0) 2x 0，limx 0x0 x2 x20xg(x 0) 3x .limx 0x0 x3 x30x 20因为 f(x 0)
21、2g(x 0)，所以 2x023x ，20即 3x 2x 020，20解得 x0 或 x0 .1 73 1 73四、探究与拓展14已知函数 f(x) ，则 f(1) 等于( )1xA B1 C2 D.12 13答案 A解析 f(1) limx 0f1 x f1x lim x 011 x 1x .limx 0 11 x1 1 x 1215建造一栋面积为 x m2 的房屋需要成本 y 万元，y 是 x 的函数，y f (x) 0.3，x10 x10求 f(100)，并解释它的实际意义考点 题点 解 yx f100 x f100x100 x 100 x 3 100 100 310x ，110 100 x 1010x 110 110 100 x 10所以当 x100 时， 0.105 (万元/m 2)，limx 0yx lim x 0110 110 100 x 10即 f(100)0.105.f(100)0.105 表示当建筑面积为 100 m2时，成本增加的速度为 1 050 元/m 2，也就是说当建筑面积为 100 m2时，每增加 1 m2的建筑面积，成本就要增加 1 050 元.