1、2.3.2 抛物线的几何性质第 1 课时 抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一 抛物线的几何性质思考 1 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？答案 范围、对称性、顶点、离心率思考 2 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线 y22px( p0)的范围、对称性、顶点坐标吗？答案 范围 x0，关于 x 轴对称，顶点坐标(0,0)梳理 抛物线的几何性质标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py( p0)图形范围 x0，y
2、R x0，yR xR，y0 xR，y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 (0,0)性质离心率 e1知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则y22px(p0) |AB|x 1x 2py22px(p 0) |AB|p(x 1x 2)x22py(p0) |AB|y 1y 2px22py(p 0) |AB|p(y 1y 2)(1)椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形( )(2)抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关( )(3)抛物线只有一条对称轴和一个顶点( )(4)抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关( )类型一 由抛物线的几何性质求标准方程例 1 已
3、知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程考点 抛物线的几何性质题点 求抛物线方程解 由题意，设抛物线方程为 y22mx(m0)，焦点 F .直线 l：x ，(m2，0) m2所以 A，B 两点坐标为 ， ，(m2，m) (m2， m)所以|AB|2| m|.因为OAB 的面积为 4，所以 2|m|4，12|m2|所以 m2 .2所以抛物线的标准方程为 y24 x.2引申探究 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y22px (p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB ，则AO
4、B的面积是( )A8p 2 B4p 2 C2p 2 Dp 2答案 B解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45.由方程组Error!得Error!或Error!所以点 A 的坐标为(2p,2p) ，同理可得 B(2p，2p)，所以|AB|4p，所以 SAOB 4p2p4p 2.12反思与感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3
5、)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦 (又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.跟踪训练 1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆 1 短轴所在的直线，x29 y216抛物线的焦点到顶点的距离为 5，求抛物线的方程考点 抛物线的几何性质题点 求抛物线方程解 椭圆 1 的短轴所在直线为 x 轴，x29 y216抛物线的对称轴为 x 轴设抛物线的方程为 y2ax (a0)，设 5 ，a20.|a4|抛物线的方程为 y220x 或 y220x.类型二 抛物线的焦点弦问题例 2 已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点(1)若直线 l
6、的倾斜角为 60，求 |AB|的值；(2)若|AB|9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离考点 抛物线的焦点弦问题题点 焦点弦长与中点坐标解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan 60 .3又 F ，所以直线 l 的方程为 y . (32，0) 3(x 32)联立Error!消去 y，得 x25x 0.94设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 25.而|AB| |AF| |BF|x 1 x 2p2 p2x 1x 2p，所以|AB|53 8.(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB| AF|BF| x 1 x 2 x
7、1x 2px 1x 23，p2 p2所以 x1x 26，所以线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3.又准线方程是 x ，32所以 M 到准线的距离等于 3 .32 92引申探究本例中，若 A，B 在其准线上的射影分别为 A1，B 1，求A 1FB1.解 由抛物线定义|AA 1| AF|，得AA 1FAFA 1，又 AA1x 轴，OFA 1AA 1F，OFA 1AFA 1，同理得OFB 1BFB 1，A 1FO B1FO90 ，即A 1FB190.反思与感悟 (1)抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y 0)为抛物线上一点，F 为焦点
8、.若抛物线 y22px (p0)，则|PF |x 0 ；p2若抛物线 y22px (p0)，则|PF | x 0；p2若抛物线 x22py (p0)，则|PF |y 0 ；p2若抛物线 x22py (p0)，则|PF | y 0p2(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线 y22px (p0)的焦点的弦的端点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则|AB|x 1x 2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出 x1x 2 即可跟踪训练 2 直线 l 过抛物线 y24x 的焦点，与抛物线交于 A，B 两点，若|AB|8，则直线l 的方程为_ 考点 抛物线的焦点弦
9、问题题点 焦点弦长与中点坐标答案 xy10 或 xy10解析 因为抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0)，若 l 与 x 轴垂直，则 |AB|4，不符合题意所以可设所求直线 l 的方程为 yk(x1) 由Error!得 k2x2(2k 24)xk 20，则由根与系数的关系，得 x1x 2 .2k2 4k2又 AB 过焦点，由抛物线的定义可知| AB|x 1x 2p 28，2k2 4k2即 6，解得 k1.2k2 4k2所以所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.类型三 抛物线的实际应用例 3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶 5 m 时，水面宽 8 m，一木船宽 4 m，高
10、2 m，载货的木船露在水面上的部分高为 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱34顶相距多少时，木船开始不能通航？考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为 y 轴建立如图所示直角坐标系设抛物线的方程是 x22py(p0)，由题意知 A(4， 5)在抛物线上，故 162p(5)，即 p ，85则抛物线的方程是 x2 y(4x4)，165设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于 B，B时，木船开始不能通航设 B(2，y)，2 2 y，得 y ， 2.165 54 54 34故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 m 时，木船开始不能通航反思
11、与感悟 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用跟踪训练 3 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位 AB 时宽 20 米，水位上升 3 米就达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 米若洪水到来时，水位以每小时 0.2 米的速度从警戒线开始上升，则再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点 O 的)考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 设所求抛物线的解析式为 yax 2.设 D(5，b) ，则 B(10，b3)，把 D，B 的坐标分别
12、代入 yax 2，得Error!解得Error!y x2.125b1，拱桥顶 O 到 CD 的距离为 1， 5.10.2即再持续 5 小时水位到达拱桥顶.1以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与 x 轴垂直的弦 )长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )Ay 28x By 28xCy 2 8x 或 y28x Dx 28y 或 x28y考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 C解析 设抛物线 y22px 或 y22px(p0)，p4.2若抛物线 y2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为( )A. B.(14， 24) (18， 24)C. D
13、.(14，24) (18，24)考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标答案 B解析 由题意知，点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离，因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上，而 F ，所以 P 点的横坐标为 ，代入抛物线方程得 y ，故点 P 的坐(14，0) 18 24标为 )，故选 B.(18， 24)3已知过抛物线 y28x 的焦点作直线 l，交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，则|AB|的值为_考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 10解析 由 y28x ，得 p4，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由焦点弦公式
14、得|AB|x 1x 2 p2 4x1 x2223410.4对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)符合抛物线方程为 y210x 的条件是_(要求填写合适条件的序号 )考点 抛物线的几何性质题点 由方程研究抛物线的性质答案 解析 由抛物线方程 y210x，知它的焦点在 x 轴上，所以符合又因为它的焦点坐标为 F ，原点 O(0,0)，(52，0)设点 P(2,1)，可得 kPOkPF1，所以也符合而显然不符合，通过计算可知，不合题意所以应填
15、.5求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为 4；(2)顶点是双曲线 16x29y 2144 的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为 ，故 4，p8.p2 p2因此，所求抛物线的标准方程为 y216x 或 x216y.(2)双曲线方程 16x29y 2144 化为标准形式为 1 ，中心为原点，左顶点为(3,0)，x29 y216故抛物线顶点在原点，准线为 x3.由题意可设抛物线的标准方程为 y22px( p0)，可得3，故 p6.因此，所求抛物
16、线的标准方程为 y212x.p21讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解3设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论一、选择题1抛物线 yax 2(a0)的焦点作直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PQ 中点的横坐标为3，|PQ |10，则抛物线方程是( )Ay 24x By 22xCy 2 8x Dy 26x考点 抛物线的焦点弦问题题点 知抛物线焦点弦长，求方程答案 C解析 设 P(x1，y 1
17、)，Q(x 2，y 2)，则 3，即 x1x 26.x1 x22又|PQ |x 1x 2p10，即 p4，抛物线方程为 y28x.5已知抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，点 A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 ，那么 |PF|等于( )3A4 B8 C8 D163 3考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 B解析 抛物线 y28x 的准线为 x2，焦点 F(2,0)，设 A(2，y 0)，k AF ，则 y04 ，y0 0 2 2 3 3P(x 0,4 )，将 P 点坐标代入抛物线方程 y28x ，3(4 )2 8x0，得 x06.3由抛物线定义可
18、知|PF| PA|x 0 6 8.p2 426设 F 为抛物线 C：y 23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|等于( )A. B6303C12 D7 3考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 C解析 设 A，B 的坐标分别为(x 1，y 1，)(x 2，y 2)F 为抛物线 C：y 23x 的焦点，F ，(34，0)AB 的方程为 y0tan 30 ，(x 34)即 y x .33 34联立Error!消去 y，得 x2 x 0.13 72 316x 1x 2 ， 7213 212由于|AB|x 1x 2p，|AB| 12.212 32
19、7已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且|AK| |AF|，则AFK 的面积为( )2A8 B10 C16 D32考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 A解析 抛物线 C：y 28x 的焦点为 F(2,0)，准线为 x2，K(2,0)设 A(x0，y 0)，过 A 点向准线作垂线 AB，垂足为 B，则 B(2，y 0)，|AK | |AF|，2又|AF| |AB| x0(2)x 0 2，由|BK |2|AK| 2| AB|2，得 y (x 02) 2，20即 8x0(x 02) 2，解得 A(2，4) AFK 的面积为 |KF|y0
20、| 448.12 12二、填空题8设抛物线 y216x 上一点 P 到对称轴的距离为 12，则点 P 与焦点 F 的距离|PF|_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 13解析 设 P(x,12)，代入 y216x，得 x9，|PF| x 9413.p29抛物线 y x2 的焦点与双曲线 1 的上焦点重合，则 m_.116 y23 x2m考点 抛物线的几何性质题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题答案 13解析 抛物线 y x2 可化为 x216y，116则其焦点为(0,4)，3m16 ，则 m13.10抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，|AF
21、|3，则|BF|_.考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题答案 32解析 由题意知 F(1,0)，且 AB 与 x 轴不垂直，则由|AF|3，知 xA2.设 lAB：yk( x1)，代入 y24x，得 k2x2(2k 2 4)xk 20，所以 xAxB1，故 xB ，12故|BF| xB1 .3211一个正三角形的顶点都在抛物线 y24x 上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是_考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 48 3解析 设一个顶点为(x,2 )，则 tan 30 ，x2xx 33x12.S 128 48 .12 3 3三、解答题12若抛物线的顶点在原点
22、，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM| ，| AF|3，求此抛物线的标准方程17考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 设所求抛物线的标准方程为 x22py(p0)，A(x 0，y 0)，由题知 M .(0， p2)|AF| 3，y 0 3.p2|AM | ， x 217，17 20 (y0 p2)x 8，代入方程 x 2py 0 得20 2082p ，解得 p2 或 p4.(3 p2)所求抛物线的标准方程为 x24y 或 x28y.13已知抛物线 y22x .(1)设点 A 的坐标为 ，求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|P
23、A|；(23，0)(2)在抛物线上求一点 P，使 P 到直线 xy30 的距离最短，并求出距离的最小值考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值解 (1)设抛物线上任一点 P 的坐标为( x，y)(x0)，则|PA| 2 2y 2 22x(x 23) (x 23) 2 .(x 13) 13x0，且在此区间上函数单调递增，故当 x0 时，|PA |min ，23故距点 A 最近的点 P 的坐标为(0,0)(2)设点 P(x0， y0)是 y22x 上任一点，则 P 到直线 x y30 的距离为d x0 y0 3|2 |y202 y0 3|2 ，|y0 12 5|22当 y01 时，d min ，
24、522 524点 P 的坐标为 .(12，1)四、探究与拓展14设 M(x0，y 0)为抛物线 C：x 28y 上一点，点 F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是( )A(0,2) B0,2C(2，) D2，)考点 抛物线的几何性质题点 抛物线与其他曲线结合的问题答案 C解析 M 到准线的距离大于 p，即 y024，y 02.15设 F(1,0)，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且 2 ， 0.MN MP PM PF (1)当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹 C 的方程；(2)设 A(x1，y 1)，
25、B(x 2，y 2)，D( x3，y 3)是曲线 C 上除去原点外的不同三点，且| |，| |，| |成等差数列，当线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时，求点 B 的坐AF BF DF 标考点 抛物线的简单几何性质的综合运用题点 抛物线的简单几何性质的综合运用解 (1)设 N(x，y) ，由 2 ，得点 P 为线段 MN 的中点，P ，M( x,0)，MN MP (0，y2) ， .PM ( x， y2) PF (1， y2)由 x 0，得 y24x.PM PF y24即点 N 的轨迹方程为 y24x.(2)由抛物线的定义，知| AF|x 11，|BF| x 21，|DF|x 31，| |， | |， | |成等差数列，AF BF DF 2x 22x 11x 31，即 x2 .x1 x32线段 AD 的中点为 ，且线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)，(x1 x32 ，y1 y32 )线段 AD 的垂直平分线的斜率为 k .y1 y32 0x1 x32 3又 kAD ， 1，y3 y1x3 x1 y3 y1x3 x1 y1 y3x1 x3 6即 1.4x3 4x1x23 x21 6x3 x1x 1x 3，x 1x 32，又 x2 ，x 21.x1 x32点 B 在抛物线上，B(1,2)或 B(1，2)