1、13.2 命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题知识点一 四种命题的概念思考 给出以下四个命题：(1)当 x2 时，x 23x 20 ；(2)若 x23x20，则 x2 ；(3)若 x2，则 x23x 20 ；(4)若 x23x20，则 x2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否
2、定和条件的否定梳理 对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定) 后，可以构成四种不同形式的命题：(1)原命题：如果 p，则 q；(2)逆命题：如果 q，则 p(“换位 ”)；(3)否命题：如果綈 p，则綈 q(“换质”)；(4)逆否命题：如果綈 q，则綈 p(“换位”又“换质”)知识点二 命题的四种形式之间的关系思考 1 为了书写方便常把 p 与 q 的否定分别记作“綈 p”和“綈 q”，如果原命题是“如果p，则 q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？答案 逆命题：如果 q，则 p.否命题：如果綈 p，则綈 q.逆否命题：如果綈 q，则綈 p.思考 2 原命题的否命题与原命题
3、的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案 互逆、互否、互为逆否梳理 四种命题间的相互关系知识点三 四种命题的真假关系思考 1 知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？答案 (1)真命题，(2) 假命题，(3) 假命题，(4)真命题思考 2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题梳理 (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关
4、系(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题( )(2)原命题与逆命题的真假性无关，但原命题与否命题的真假性一定相反( )(3)一个命题的否命题和这个命题的逆命题的真假性相同( )(4)否命题其实就是命题的否定( )类型一 四种命题及其相互关系命题角度 1 四种命题的概念例 1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若 xA，则 xAB；(2)若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数；(3)在ABC 中，若 ab，则 AB.考点 四种命题题点 四种命题概念的理解解 (1)逆命题：若 xAB，则 xA .否命题：若 xA，则 xAB.逆否命题：若 xAB，则 xA.(2)逆命题：若 ab
5、 是偶数，则 a，b 都是偶数否命题：a，b 不都是偶数，则 ab 不是偶数逆否命题：若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数(3)逆命题：在ABC 中，若 AB，则 ab.否命题：在ABC 中，若 ab，则 AB.逆否命题：在ABC 中，若 AB，则 ab.反思与感悟 四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题跟踪训练 1 命题“若函数 f(x)log ax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则 loga20，a1)在其定义域内不是减
6、函数B若 loga20，则函数 f(x)log ax(a0，a1)在其定义域内不是减函数C若 loga20，a1) 在其定义域内是减函数D若 loga20，则函数 f(x)log ax(a0，a1)在其定义域内是减函数考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 B解析 直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数” ，而应写成不是减函数命题角度 2 四种命题的相互关系例 2 若命题 p：“若 xy 0，则 x，y 互为相反数”的否命题为 q，命题 q 的逆命题为 r，则 r 与 p 的逆命题的关系是( )A互为逆命题B互为否命题C互为
7、逆否命题D同一命题考点 四种命题的相互关系题点 四种命题相互关系的应用答案 B解析 已知命题 p：若 xy 0，则 x，y 互为相反数命题 p 的否命题 q 为：若 xy0，则 x，y 不互为相反数，命题 q 的逆命题 r 为：若 x，y 不互为相反数，则 xy0，r 是 p 的逆否命题，r 是 p 的逆命题的否命题，故选 B.反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题 ”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系跟踪训练 2 已知命题 p 的逆命题
8、是“若实数 a，b 满足 a1 且 b2，则 abb，则 ac2bc2(a，b，cR )”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A0 B2 C3 D4考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假答案 B解析 命题“若 ab，则 ac2bc2(a，b，cR )”是假命题，则其逆否命题是假命题该命题的逆命题为“若 ac2bc2，则 ab(a，b，cR )”是真命题，则其否命题是真命题故选 B.类型三 等价命题的应用例 4 判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2(2 a1)xa 220 的解集非空，则 a1”的逆否命题的真假考点 四种命题的相互关系
9、题点 逆否证法解 方法一 原命题的逆否命题：已知 a，x 为实数，若 a0 的解集为 R，则 a0 的解集为 R，且二次函数yx 2(2a1)xa 22 的开口向上，所以 (2a1) 24(a 22)4a71 或 x1D如果 x1 或 x1，则 x21考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 D解析 原命题结论“10 ，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题5已知命题“若 m12 016，则 x0”的逆命题B命题“若 xy0，则 x0 或 y0”的逆否命题C命题“若 x2x20，则 x1”D命题“若 x21，则 x1”的逆否命题考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的
10、真假答案 B解析 A 选项， “若 x2 016，则 x0”的逆命题为“若 x0，则 x2 016”是假命题；B 选项， “若 xy0，则 x0 或 y0”的逆否命题为“若 x0 且 y0，则 xy0”是真命题；C 选项，由 x2 x20，得 x1 或 x2，故 C 是假命题；D 选项， “若 x21，则 x1”是假命题，故其逆否命题是假命题5已知命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac” ，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A0 B1 C2 D3考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假答案 B解析 命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac”
11、是真命题，故其逆否命题是真命题该命题的逆命题为“若 b2ac，则 a，b，c 成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选 B.6已知命题“如果 ab0，则 a0 或 b0” ，则下列结论正确的是( )A真命题，否命题：“如果 ab0，则 a0 或 b0”B真命题，否命题：“如果 ab0，则 a0 且 b0”C假命题，否命题：“如果 ab0，则 a0 或 b0”D假命题，否命题：“如果 ab0，则 a0 且 b0”考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 B解析 如果 ab0，则 a 与 b 至少有一个小于等于 0，故“如果 ab0，则 a0 或 b0”是真命题，该命题的否命题为“如果
12、ab0，则 a0 且 b0”7若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，p 的逆命题为 t，则 s 是 t 的( )A逆否命题 B逆命题C否命题 D原命题考点 四种命题的相互关系题点 四种命题相互关系的判断答案 C解析 特例：p：ABC 中，若AB，则 ab；r：ABC 中，若AB，则 ab；s：ABC 中，若 ab，则 AB；t：ABC 中，若 ab，则AB.8下列说法错误的是( )A命题“如果 x24x30，则 x3”的逆否命题是“如果 x3，则 x24x30”B “x1”是“|x|0”的充分不必要条件C若 p 且 q 为假命题，则 p，q 均为假命题D命题 p：“x R，使得
13、 x2x1 时，mx 2x10 无实根；14(2)当 abc0 时，a0 或 b0 或 c0.考点 四种命题题点 四种命题概念的理解解 (1)逆命题：当 mx2x 10 无实根时，m ，真命题；14否命题：当 m 时，mx 2x10 有实根，真命题；14逆否命题：当 mx2x10 有实根时，m ，真命题14(2)逆命题：当 a0 或 b0 或 c0 时，abc0，真命题；否命题：当 abc0 时，a0 且 b0 且 c0，真命题；逆否命题：当 a0 且 b0 且 c0 时，abc0，真命题13判断命题：“若 b1，则关于 x 的方程 x22bx b2b0 有实根”的逆否命题的真假考点 四种命题
14、的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可方程判别式为 4b 24(b 2b)4b，因为 b1，所以 40 ，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x22bxb 2b0 无实根，则 b1” 方程判别式为 4b 24(b 2b)4b，因为方程无实根，所以 0，所以 b1 成立，即原命题的逆否命题为真四、探究与拓展14已知 A 表示点，a，b，c 表示直线， 表示平面，给出下列命题：a，b ，如果 b，则 ba；a，如果
15、a ，则 ；a，bA，c 为 b 在 上的射影，如果 ac ，则 ab；a，如果 b，c a，则 ab，c b.其中逆命题为真的是_考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假答案 解析 的逆命题：“a，如果 ab，cb，则 b，ca” ，而 b，c 均可以在 内，故不正确15已知函数 f(x)在(，) 上是增函数，a，bR ，对命题“如果 ab0，则 f(a)f(b)f(a) f(b) ”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假解 (1)逆命题：如果 f(a)f(b
16、) f (a)f(b)，则 ab0，为真命题由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“如果ab0，则 f(a)f( b)f(a) f (b)”为真命题因为 ab0，则 ab，ba.因为 f(x)在(，)上为增函数，则 f(a)f(b)，f(b)f(a) ，所以 f(a)f(b)f(a)f(b)因此否命题为真命题，即逆命题为真命题(2)逆否命题：如果 f(a)f(b)f (a)f(b)，则 ab0，为真命题因为逆否命题与原命题具有相同的真假性，所以先证原命题成立证明：因为 ab0，所以 ab，所以 f(a)f(b)，同理 f(b)f(a)，所以 f(a)f(b)f(a)f(b)，即原命题成立所以逆否命题是真命题