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2019年人教B版数学选修1-1学案:1.3.2 命题的四种形式

1、13.2 命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题知识点一 四种命题的概念思考 给出以下四个命题:(1)当 x2 时,x 23x 20 ;(2)若 x23x20,则 x2 ;(3)若 x2,则 x23x 20 ;(4)若 x23x20,则 x2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗?答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否

2、定和条件的否定梳理 对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定) 后,可以构成四种不同形式的命题:(1)原命题:如果 p,则 q;(2)逆命题:如果 q,则 p(“换位 ”);(3)否命题:如果綈 p,则綈 q(“换质”);(4)逆否命题:如果綈 q,则綈 p(“换位”又“换质”)知识点二 命题的四种形式之间的关系思考 1 为了书写方便常把 p 与 q 的否定分别记作“綈 p”和“綈 q”,如果原命题是“如果p,则 q”,那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示?答案 逆命题:如果 q,则 p.否命题:如果綈 p,则綈 q.逆否命题:如果綈 q,则綈 p.思考 2 原命题的否命题与原命题

3、的逆否命题之间是什么关系?原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系?原命题的逆命题与其否命题呢?答案 互逆、互否、互为逆否梳理 四种命题间的相互关系知识点三 四种命题的真假关系思考 1 知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的?答案 (1)真命题,(2) 假命题,(3) 假命题,(4)真命题思考 2 如果原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗?它的否命题呢?它的逆否命题呢?答案 原命题为真,其逆命题不一定为真,其否命题不一定为真,其逆否命题一定是真命题梳理 (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原命题真假性相同的是逆否命题(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性没有关

4、系(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题( )(2)原命题与逆命题的真假性无关,但原命题与否命题的真假性一定相反( )(3)一个命题的否命题和这个命题的逆命题的真假性相同( )(4)否命题其实就是命题的否定( )类型一 四种命题及其相互关系命题角度 1 四种命题的概念例 1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若 xA,则 xAB;(2)若 a,b 都是偶数,则 ab 是偶数;(3)在ABC 中,若 ab,则 AB.考点 四种命题题点 四种命题概念的理解解 (1)逆命题:若 xAB,则 xA .否命题:若 xA,则 xAB.逆否命题:若 xAB,则 xA.(2)逆命题:若 ab

5、 是偶数,则 a,b 都是偶数否命题:a,b 不都是偶数,则 ab 不是偶数逆否命题:若 ab 不是偶数,则 a,b 不都是偶数(3)逆命题:在ABC 中,若 AB,则 ab.否命题:在ABC 中,若 ab,则 AB.逆否命题:在ABC 中,若 AB,则 ab.反思与感悟 四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题跟踪训练 1 命题“若函数 f(x)log ax(a0,a1)在其定义域内是减函数,则 loga20,a1)在其定义域内不是减

6、函数B若 loga20,则函数 f(x)log ax(a0,a1)在其定义域内不是减函数C若 loga20,a1) 在其定义域内是减函数D若 loga20,则函数 f(x)log ax(a0,a1)在其定义域内是减函数考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 B解析 直接根据逆否命题的定义,将其条件与结论进行否定,再互换,值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数” ,而应写成不是减函数命题角度 2 四种命题的相互关系例 2 若命题 p:“若 xy 0,则 x,y 互为相反数”的否命题为 q,命题 q 的逆命题为 r,则 r 与 p 的逆命题的关系是( )A互为逆命题B互为否命题C互为

7、逆否命题D同一命题考点 四种命题的相互关系题点 四种命题相互关系的应用答案 B解析 已知命题 p:若 xy 0,则 x,y 互为相反数命题 p 的否命题 q 为:若 xy0,则 x,y 不互为相反数,命题 q 的逆命题 r 为:若 x,y 不互为相反数,则 xy0,r 是 p 的逆否命题,r 是 p 的逆命题的否命题,故选 B.反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断(2)巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题 ”中不同有“否”一个字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系跟踪训练 2 已知命题 p 的逆命题

8、是“若实数 a,b 满足 a1 且 b2,则 abb,则 ac2bc2(a,b,cR )”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A0 B2 C3 D4考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假答案 B解析 命题“若 ab,则 ac2bc2(a,b,cR )”是假命题,则其逆否命题是假命题该命题的逆命题为“若 ac2bc2,则 ab(a,b,cR )”是真命题,则其否命题是真命题故选 B.类型三 等价命题的应用例 4 判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x2(2 a1)xa 220 的解集非空,则 a1”的逆否命题的真假考点 四种命题的相互关系

9、题点 逆否证法解 方法一 原命题的逆否命题:已知 a,x 为实数,若 a0 的解集为 R,则 a0 的解集为 R,且二次函数yx 2(2a1)xa 22 的开口向上,所以 (2a1) 24(a 22)4a71 或 x1D如果 x1 或 x1,则 x21考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 D解析 原命题结论“10 ,方程有两相异实根,原命题与其逆否命题均为真命题5已知命题“若 m12 016,则 x0”的逆命题B命题“若 xy0,则 x0 或 y0”的逆否命题C命题“若 x2x20,则 x1”D命题“若 x21,则 x1”的逆否命题考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的

10、真假答案 B解析 A 选项, “若 x2 016,则 x0”的逆命题为“若 x0,则 x2 016”是假命题;B 选项, “若 xy0,则 x0 或 y0”的逆否命题为“若 x0 且 y0,则 xy0”是真命题;C 选项,由 x2 x20,得 x1 或 x2,故 C 是假命题;D 选项, “若 x21,则 x1”是假命题,故其逆否命题是假命题5已知命题“若 a,b,c 成等比数列,则 b2ac” ,则它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A0 B1 C2 D3考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假答案 B解析 命题“若 a,b,c 成等比数列,则 b2ac”

11、是真命题,故其逆否命题是真命题该命题的逆命题为“若 b2ac,则 a,b,c 成等比数列”是假命题,故其否命题也是假命题,故选 B.6已知命题“如果 ab0,则 a0 或 b0” ,则下列结论正确的是( )A真命题,否命题:“如果 ab0,则 a0 或 b0”B真命题,否命题:“如果 ab0,则 a0 且 b0”C假命题,否命题:“如果 ab0,则 a0 或 b0”D假命题,否命题:“如果 ab0,则 a0 且 b0”考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 B解析 如果 ab0,则 a 与 b 至少有一个小于等于 0,故“如果 ab0,则 a0 或 b0”是真命题,该命题的否命题为“如果

12、ab0,则 a0 且 b0”7若命题 p 的否命题为 r,命题 r 的逆命题为 s,p 的逆命题为 t,则 s 是 t 的( )A逆否命题 B逆命题C否命题 D原命题考点 四种命题的相互关系题点 四种命题相互关系的判断答案 C解析 特例:p:ABC 中,若AB,则 ab;r:ABC 中,若AB,则 ab;s:ABC 中,若 ab,则 AB;t:ABC 中,若 ab,则AB.8下列说法错误的是( )A命题“如果 x24x30,则 x3”的逆否命题是“如果 x3,则 x24x30”B “x1”是“|x|0”的充分不必要条件C若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题D命题 p:“x R,使得

13、 x2x1 时,mx 2x10 无实根;14(2)当 abc0 时,a0 或 b0 或 c0.考点 四种命题题点 四种命题概念的理解解 (1)逆命题:当 mx2x 10 无实根时,m ,真命题;14否命题:当 m 时,mx 2x10 有实根,真命题;14逆否命题:当 mx2x10 有实根时,m ,真命题14(2)逆命题:当 a0 或 b0 或 c0 时,abc0,真命题;否命题:当 abc0 时,a0 且 b0 且 c0,真命题;逆否命题:当 a0 且 b0 且 c0 时,abc0,真命题13判断命题:“若 b1,则关于 x 的方程 x22bx b2b0 有实根”的逆否命题的真假考点 四种命题

14、的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题的真假即可方程判别式为 4b 24(b 2b)4b,因为 b1,所以 40 ,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x22bxb 2b0 无实根,则 b1” 方程判别式为 4b 24(b 2b)4b,因为方程无实根,所以 0,所以 b1 成立,即原命题的逆否命题为真四、探究与拓展14已知 A 表示点,a,b,c 表示直线, 表示平面,给出下列命题:a,b ,如果 b,则 ba;a,如果

15、a ,则 ;a,bA,c 为 b 在 上的射影,如果 ac ,则 ab;a,如果 b,c a,则 ab,c b.其中逆命题为真的是_考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假答案 解析 的逆命题:“a,如果 ab,cb,则 b,ca” ,而 b,c 均可以在 内,故不正确15已知函数 f(x)在(,) 上是增函数,a,bR ,对命题“如果 ab0,则 f(a)f(b)f(a) f(b) ”(1)写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论;(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假解 (1)逆命题:如果 f(a)f(b

16、) f (a)f(b),则 ab0,为真命题由于逆命题与否命题具有相同的真假性,因此可转化为证明其否命题为真,即证明“如果ab0,则 f(a)f( b)f(a) f (b)”为真命题因为 ab0,则 ab,ba.因为 f(x)在(,)上为增函数,则 f(a)f(b),f(b)f(a) ,所以 f(a)f(b)f(a)f(b)因此否命题为真命题,即逆命题为真命题(2)逆否命题:如果 f(a)f(b)f (a)f(b),则 ab0,为真命题因为逆否命题与原命题具有相同的真假性,所以先证原命题成立证明:因为 ab0,所以 ab,所以 f(a)f(b),同理 f(b)f(a),所以 f(a)f(b)f(a)f(b),即原命题成立所以逆否命题是真命题