1、31.1 函数的平均变化率学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率知识点 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系A 是出发点，H 是山顶爬山路线用函数 yf( x)表示自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值 yf (x)表示此时旅游者所在的高度设点 A 的坐标为(x 1，y 1)，点 B 的坐标为( x2，y 2)思考 1 若旅游者从点 A 爬到点 B，自变量 x 和函数值 y 的改变量分别是多少？答案 自变量 x 的改变量为 x2x 1，记作 x，函数值 y 的改变量为 y2y 1，记作 y.思考 2 怎样用数量刻画弯
2、曲山路的陡峭程度？答案 对山路 AB 来说，用 可近似地刻画其陡峭程度yx y2 y1x2 x1思考 3 观察函数 yf( x)的图象，平均变化率 表示什么？yx fx2 fx1x2 x1答案 观察图象可看出， 表示曲线 yf(x)上两点( x1，f(x 1)，( x2，f(x 2)连线的斜率yx梳理 (1)函数的平均变化率的定义已知函数 yf(x )在点 xx 0及其附近有定义，令 x xx 0； yyy 0f( x)f (x0)f (x0 x)f (x0)则当 x0，比值 叫做函数 yf (x)在 x0到 x0x 之间的平均变化率fx0 x fx0x yx(2)平均变化率的实质：函数值的改
3、变量与自变量的改变量之比(3)作用：刻画函数在区间x 0，x 0x上变化的快慢(4)几何意义：已知 P1(x1，f( x1)，P 2(x2，f(x 2)是函数 yf( x)的图象上两点，则平均变化率 表示割线 P1P2的斜率yx fx2 fx1x2 x1(1)在平均变化率的定义中，自变量 x 的增量 x0.( )(2)对于函数 f(x)在区间 x1，x 2内的平均变化率也可以表示为 .( )fx2 fx1x2 x1(3) 是 f(x)在区间x 0，x 0x (x0) 上的平均变化率，也可以说是 f(x)yx fx0 x fx0x在 xx 0处的变化率( )类型一 求函数的平均变化率例 1 已知
4、函数 yf( x)3x 2 5，求 f(x)：(1)在 0.1 到 0.2 之间的平均变化率；(2)在 x0 到 x0x 之间的平均变化率考点 题点 解 (1)因为 f(x)3x 25，所以在 0.1 到 0.2 之间的平均变化率为 0.9.f0.2 f0.10.2 0.1 30.22 5 30.12 50.2 0.1(2)yf(x 0x )f(x 0)3(x 0 x)25(3x 5)203x 6x 0x 3(x)253x 520 206x 0x3(x) 2，函数 yf(x) 在 x0到 x0x 之间的平均变化率为 6x 03x.yx 6x0x 3x2x反思与感悟 求平均变化率的主要步骤(1)
5、先计算函数值的改变量 yf(x 2)f(x 1)(2)再计算自变量的改变量 xx 2x 1.(3)得平均变化率 .yx fx2 fx1x2 x1跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x)2x 23x5.求：当 x14，x 25 时，函数增量 y 和平均变化率 ；yx求：当 x14，x 24.1 时，函数增量 y 和平均变化率 .yx(2)求函数 yf(x )x 2 在 x1,2,3 附近的平均变化率，取 x 都为 ，哪一点附近的平均变化13率最大？考点 平均变化率的概念题点 求平均变化率解 (1)因为 f(x)2x 23x5，所以 yf(x 1x )f(x 1)2(x 1 x)23(x 1x )5
6、(2x 3x 15)212(x) 22x 1x3x2(x) 2(4x 13) x. 2 x4x 13.yx 2x2 4x1 3xx当 x14，x 25 时，x 1，y 2(x)2(4x 13)x21921， 21.yx当 x14，x 24.1 时，x 0.1，y 2(x)2(4x 13)x0.021.91.92.2x4x 1319.2.yx(2)在 x1 附近的平均变化率为k1 2x；f1 x f1x 1 x2 1x在 x2 附近的平均变化率为 k2 4 x；f2 x f2x 2 x2 22x在 x3 附近的平均变化率为k3 6x.f3 x f3x 3 x2 32x当 x 时，k 12 ，13 13 73k24 ，k 36 .13 133 13 193由于 k10)上的平均变化率不大于 1，求 x 的取值范围考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用解 函数 f(x)在2,2x 上的平均变化率为yx f2 x f2x 2 x2 2 x 4 2x3x，由3x1，得 x2.又 x0，x 的取值范围是(0，)