1、11.2 量 词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义，掌握常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性知识点一 全称量词与全称命题思考 观察下列命题：每一个三角形都有内切圆；所有实数都有算术平方根；对一切有理数 x,5x2 还是有理数以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假答案 命题分别使用量词“每一个” “所有” “一切” 命题是真命题，命题是假命题，三个命题中的“每一个” “所有” “一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命
2、题为假命题梳理 (1)全称量词 “所有” 、 “每一个” 、 “任何” 、 “任意” 、 “一切” 、 “任给” 、 “全部”符号 全称命题 p 含有全称量词的命题形式 “对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为xM ，p(x)(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“xM，p(x)” ，要判断它为真，需要对集合 M 中的每个元素 x，证明 p(x)成立；要判断它为假，只需在 M 中找到一个 xx 0，使 p(x0)不成立即可知识点二 存在量词与存在性命题思考 观察下列命题：有些矩形是正方形；存在实数 x，使 x5；至少有一个实数 x，使 x22x 2b，则 0 对于任意
3、xR 恒成立，并说明理由；(2)若至少存在一个实数 x，使不等式 mf(x)0 成立，求实数 m 的取值范围考点 全称命题与存在性命题的应用题点 求参数的范围解 方法一 (1)不等式 mf( x)0 可化为m f(x)，即 m x22x5(x 1) 24.要使 m( x1) 24 对于任意 xR 恒成立，只需 m4 即可故存在实数 m 使不等式 mf (x)0 对于任意 xR 恒成立，此时需 m4.(2)不等式 m f(x)0，可化为 mf(x)，若至少存在一个实数 x 使不等式 mf(x)成立，只需 mf(x)min.又 f(x)(x1) 24，所以 f(x)min4，所以 m4.所以实数
4、m 的取值范围是(4，)方法二 (1)要使不等式 mf( x)0 对xR 恒成立，即 x22x5m0 对xR 恒成立所以 (2) 24(5m)4，所以当 m4 时，mf(x)0 对于任意 xR 恒成立(2)若至少存在一个实数 x，使 mf(x)0 成立，即 x22x5m0 即可，解得 m4.所以实数 m 的取值范围是(4，)反思与感悟 (1)一般地，对任意的实数 x，af(x)恒成立，只需 af(x)max，若存在一个实数x，使 af(x)成立，只需 af(x)min.(2)有关一元二次不等式 ax2bxc0(0 ，若对 xR ，p( x)是真命题，求实数 a 的取值范围考点 全称命题与存在性
5、命题的应用题点 求参数的范围解 (1)关于 x 的不等式 x2(2a1) xa 220 的解集非空， (2a1) 24(a 22)0，即 4a70，解得 a ，实数 a 的取值范围为 .74 74， )(2)对xR，p(x)是真命题，对xR，ax 22x 10 恒成立，当 a0 时，不等式为 2x10 不恒成立，当 a0 时，若不等式恒成立，则Error!a1，即 a 的取值范围为(1，).1下列命题中，不是全称命题的是( )A任何一个实数乘以 0 都等于 0B自然数都是正整数C每一个向量都有大小D一定存在没有最大值的二次函数考点 全称命题与存在性命题概念的理解题点 识别全称命题与存在性命题答
6、案 D解析 D 选项是存在性命题2下列命题是真命题的是( )Aa b 是 ac2bc2 的充要条件Ba1，b1 是 ab1 的充分条件CxR,2 xx2DxR，e xb ac2bc2，A 不正确；选项 B，a1，b1ab1 ， B 正确；选项 C，当 x 2 时，2 xx 2，C 不正确；选项 D，对xR，e x0，D 不正确故选 B.3若x ，tan xm 是真命题，则实数 m 的最小值为_0，4考点 全称命题与存在性命题的应用题点 求参数的范围答案 1解析 x ，(tan x )max1，0，4m1，即 m 的最小值为 1.4用量词符号“” “”表述下列命题，并判断真假(1)所有的实数 x
7、 都能使 x2x10 成立；(2)对所有实数 a，b，方程 axb0 恰有一个解；(3)一定有整数 x，y，使得 3x2y 10 成立；(4)所有的有理数 x 都能使 x2 x1 是有理数13 12考点 全称命题与存在性命题概念的理解题点 全称命题与存在性命题的符号表示解 (1)xR，x 2x 10 ，真命题(2)a，bR， axb0 恰有一解，假命题(3)x，yZ, 3x2y 10，真命题(4)xQ， x2 x1 是有理数，真命题13 121判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词2判定全称命题的真假的方法定义法：对给定的集合的每一个元素 x，p(x )都为真；代入法
8、：在给定的集合内找出一个 x0，使 p(x0)为假，则全称命题为假3判定存在性命题真假的方法代入法：在给定的集合中找到一个元素 x0，使命题 q(x0)为真，否则命题为假一、选择题1给出四个命题：末位数是偶数的整数能被 2 整除；有的菱形是正方形；存在实数x，x0；对于任意实数 x,2x1 是奇数下列说法正确的是( )A四个命题都是真命题B是全称命题C是存在性命题D四个命题中有两个是假命题考点 全称命题与存在性命题概念的理解题点 识别全称命题与存在性命题答案 C解析 为全称命题；为存在性命题；为真命题；为假命题2下列全称命题中真命题的个数为( )负数没有对数；对任意的实数 a，b，都有 a2b
9、 22ab；二次函数 f(x)x 2ax 1 与 x 轴恒有交点；xR，yR，都有 x2|y|0.A1 B2 C3 D4考点 全称命题与存在性命题的真假判断题点 全称命题与存在性命题的真假判断答案 C解析 为真命题3下列命题中存在性命题的个数是( )有些自然数是偶数；正方形是菱形；能被 6 整除的数也能被 3 整除；对于任意xR，总有|sin x |1.A0 B1 C2 D3考点 全称命题与存在性命题概念的理解题点 识别全称命题与存在性命题答案 B解析 命题含有存在量词；命题可以叙述为“所有的正方形都是菱形” ，故为全称命题；命题可以叙述为“一切能被 6 整除的数都能被 3 整除” ，是全称命
10、题；而命题是全称命题故有一个存在性命题4下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是( )A存在一个 ，使 tan(90)tan B存在实数 x，使 sin x2C对一切 ，sin(180) sin D对一切 ，sin() sin cos cos sin 考点 全称命题与存在性命题的真假判断题点 全称命题与存在性命题的真假判断答案 A解析 只有 A，B 两个选项中的命题是存在性命题，而由于|sin x|1，所以 sin x 不成立，2故 B 中命题为假命题又因为当 45 时，tan(90) tan ，故 A 中命题为真命题5下列命题中是全称命题且是真命题的是( )A对任意的 a，bR，都有 a2b
11、 22a2b20，函数 f(x)ax 2bxc，若 x0 满足关于 x 的方程 2axb0，则下列选项是假命题的是( )AxR，f(x) f(x 0) B xR，f (x)f (x0)CxR，f( x)f(x 0) Dx R ，f (x)f(x 0)考点 全称命题与存在性命题的真假判断题点 全称命题与存在性命题的真假判断答案 C解析 当 a0 时，函数 f(x)ax 2bxc 的图象为开口向上的抛物线若 x0 满足关于 x 的方程 2axb0，则 x0 为抛物线顶点的横坐标，f (x)minf(x 0)，故对于 xR，f(x)f(x 0)b2a成立，从而选项 A，B，D 中的命题为真命题，选项
12、 C 中的命题为假命题7在 R 上定义运算：xyx(1y) ，若不等式(xa)(xa)0 恒成立，a2a0；(2)xR ，x 2x 10；(3)x0，是假命题；(x 12) 34 34(3)f(0)没有意义，是假命题；(4)当 a2 ，b3 时，ab5，是真命题2 29对任意 x3，x a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_考点 全称量词及全称命题的应用题点 求参数的范围答案 (，3解析 对任意 x3，x a 恒成立，即大于 3 的数恒大于 a，a3.10下面四个命题：xR，x 23x 20 恒成立； xQ，x 22；xR，x 210；x R, 4x22x13x 2.其中真命题的个数为_考点
13、全称命题与存在性命题的真假判断题点 全称命题与存在性命题的真假判断答案 0解析 当 x2 或 x1 时，x 23x20 才成立，为假命题，当且仅当 x 时，x 22，不存在 xQ ，使得 x22 ，为假命题2对xR，x 210，为假命题4x2(2 x13x 2)x 22x 1(x1) 20，即当 x1 时，4x 22x 13 x2 成立，为假命题均为假命题11命题“x 2,3，x 2a 0”是真命题的一个充分不必要条件是_( 填序号)a9；a9；a10；a10.考点 全称命题与存在性命题的应用题点 求参数的范围答案 解析 由于x 2,3，x 2a 是真命题又 yx 2 在2,3上的最大值是 9
14、，所以 a9.显然均不正确因为 a9a10，a10 a9，不正确，故填.三、解答题12判断下列命题是不是全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假(1)有一个实数 ，使 sin2cos 21；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)存在实数 x，使得 2.1x2 x 1考点 全称命题与存在性命题概念的理解题点 全称命题与存在性命题的符号表示解 (1)是一个存在性命题，用符号表示为“ R，sin 2cos 21” ，是一个假命题(2)是一个全称命题，用符号表示为“直线 l，l 存在斜率” ，是一个假命题(3)是一个存在性命题，用符号表示为“ xR ， 2” ，是一个假命题1x2 x 113
15、已知命题 p：x 1,2，x 2a0，命题 q：xR，x 22ax2a0.若命题“p 和q”都是真命题，求实数 a 的取值范围考点 全称命题与存在性命题的应用题点 求参数的范围解 x1,2，x 2a0，即 ax 2，当 x1,2时恒成立，a1.xR，x 22ax2a0，即方程 x22ax2a0 有实根，4 a24(2 a) 0，a2 或 a1.又 p 和 q 为真，Error!a 的取值范围为a|a2 或 a1 四、探究与拓展14已知命题 p：x R，sin xcos xm，命题 q： xR，x 2mx 10.若 p 为假命题，q 为真命题，求实数 m 的取值范围考点 全称命题与存在性命题的应
16、用题点 求参数的范围解 由于 sin xcos x sin ， ，2 (x 4) 2 2所以若 p 为假命题，则 m .2若对 xR，x 2mx 10 恒成立，则 m240，即2m2.所以若 q 为真命题，则2m 2.所以实数 m 的取值范围为 ，2) 215若xR，函数 f(x)mx 2xm a 的图象和 x 轴恒有公共点，求实数 a 的取值范围考点 全称命题与存在性命题的应用题点 求参数的范围解 当 m0 时，f(x)x a 与 x 轴恒相交，所以 aR；当 m0 时，二次函数 f(x)mx 2xm a 的图象和 x 轴恒有公共点的充要条件是1 4m(m a)0 恒成立，即 4m24am 10 恒成立又 4m24am10 是一个关于 m 的二次不等式，恒成立的充要条件是 (4a) 2160，解得1a1.综上所述，当 m0 时，a R；当 m0 时，a1,1