1、12.1 “且”与“或”学习目标 1.理解联结词“且” “或”的含义.2.会用联结词“且” “或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假知识点一 含有逻辑联结词“且” “或”的命题思考 1 观察下面三个命题：12 能被 3 整除；12 能被 4 整除；12 能被 3 整除且能被4 整除，它们之间有什么关系？答案 命题是将命题用“且”联结得到的思考 2 观察下面三个命题：32，32，32，它们之间有什么关系？答案 命题是将命题用“或”联结得到的梳理 (1)用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作 pq，读作“p 且 q”(2)用联结词“或”把命题 p 和命题 q
2、 联结起来，就得到一个新命题，记作 pq，读作“p或 q”知识点二 含有逻辑联结词“且” “或”的命题的真假思考 1 你能判断知识点一思考 1 中问题描述的三个命题的真假吗？p 且 q 的真假与 p，q 的真假有关系吗？答案 是真命题；是真命题；是真命题若 p，q 都为真命题，则 p 且 q 也为真命题思考 2 你能判断知识点一思考 2 中问题描述的三个命题的真假吗？p 或 q 的真假与 p，q 的真假有关系吗？答案 是真命题；是假命题；是真命题若 p，q 一真一假，则 p 或 q 为真命题梳理 含有逻辑联结词的命题的真假判断p q pq pq真 真 真 真真 假 真 假假 真 真 假假 假
3、假 假(1)这节课或上语文或上数学，这里的“或”就是逻辑联结词 ( )(2)逻辑联结词“且”具有共同的意思( )(3)含有逻辑联结词的命题的真假只与逻辑联结词有关( )类型一 含有“且” “或”命题的构成命题角度 1 简单命题与复合命题的区分例 1 指出下列命题的形式及构成它的命题(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)22.考点 “且” “或”形式的命题题点 “且” “或”命题的识别解 (1)是 pq 形式命题其中 p：向量有大小，q：向量有方向(2)是 pq 形式命题其中 p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆(3)是 pq 形式命题其中 p：22，q：22.反思与感悟
4、 (1)不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词 “或” “且”构成的命题是复合命题(2)判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或” “且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题跟踪训练 1 分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题(1)3 是质数或合数；(2)他是运动员兼教练员考点 “且” “或”形式的命题题点 “且” “或”命题的识别解 (1)这个命题是“p 或 q”形式，其中 p：3 是质数，q ：3 是合数(2)这个命题是“p 且 q”形式，其中 p：他是运动员，q：他是教练员命题角度 2 用逻辑联结词构造新命题例 2
5、 分别写出下列命题的“p 且 q”“p 或 q”形式的命题(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：1 是方程 x24x30 的解，q：3 是方程 x2 4x30 的解考点 “且” “或”形式的命题题点 构造“且” “或”形式的命题解 (1)p 或 q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等p 且 q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等(2)p 或 q：1 或3 是方程 x24x30 的解p 且 q：1 与3 是方程 x24x30 的解反思与感悟 (1)用逻辑联结词“或” “且”联结 p，q 构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把 p，q 中的条件或结论合并(2)用逻辑联
6、结词构造新命题的两个步骤第一步：确定两个简单命题 p，q；第二步：分别用逻辑联结词“且” “或”将 p 和 q 联结起来，就得到一个新命题“pq”“pq” 跟踪训练 2 写出下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”形式的命题(1)p： 是有理数，q： 是整数；5 5(2)p：不等式 x22x30 的解集是(，1) ，q：不等式 x22x30 的解集是(3，) 考点 “且” “或”形式的命题题点 构造“且” “或”形式的命题解 (1)p 或 q： 是有理数或 是整数；5 5p 且 q： 是有理数且 是整数5 5(2)p 或 q：不等式 x22x30 的解集是(，1) 或不等式 x22x30
7、 的解集是(3，) ；p 且 q：不等式 x22x 30 的解集是(，1)且不等式 x22x30 的解集是(3，) 类型二 “pq”和“pq”形式命题的真假判断例 3 分别指出“pq” “pq”的真假(1)p：函数 ysin x 是奇函数； q：函数 ysin x 在 R 上单调递增；(2)p：直线 x1 与圆 x2y 2 1 相切；q：直线 x 与圆 x2y 21 相交；12(3)p：不等式 x22x10 的解集为 R；q：不等式 x22x21 的解集为.考点 “且” “或”形式的命题题点 判断 pq 与 pq 形式命题的真假解 (1)p 真，q 假，“pq”为真， “pq”为假(2)p 真
8、，q 真，“pq”为真， “pq”为真(3)p 假，q 假，“pq”为假， “pq”为假反思与感悟 判断 pq 与 pq 形式命题的真假的步骤(1)首先判断命题 p 与 q 的真假(2)对于 pq， “一假则假，全真则真” ，对于 pq，只要有一个为真，则 pq 为真，全假为假跟踪训练 3 分别指出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”形式的命题的真假(1)p： 0，q：0；(2)p： 是无理数，q： 不是无理数；3(3)p：集合 AA，q：AAA；(4)p：函数 yx 23x 4 的图象与 x 轴有公共点，q：方程 x23x40 没有实数根考点 “且” “或”形式的命题题点 判断
9、pq 与 pq 形式命题的真假解 (1)p 真，q 假，“p 或 q”为真， “p 且 q”为假(2)p 真，q 假，“p 或 q”为真， “p 且 q”为假(3)p 真，q 真，“p 或 q”为真， “p 且 q”为真(4)p 假，q 假，“p 或 q”为假， “p 且 q”为假类型三 逻辑联结词的应用例 4 设有两个命题，命题 p：不等式 x2(a1) x10 的解集是；命题 q：函数 f(x)(a1) x在定义域内是增函数如果 pq 为假命题，pq 为真命题，求 a 的取值范围考点 pq 与 pq 的综合应用题点 由命题 pq，pq 的真假求参数的范围解 对于 p：因为不等式 x2(a1
10、) x10 的解集是 ，所以 (a1) 241，所以 a0.又 pq 为假命题，pq 为真命题，所以 p，q 必是一真一假当 p 真 q 假时有31，即 a0.pq 为真，p，q 至少有一个为真，求两解集的并集即可，a|30a|a3，综上，a 的取值范围是(3， ) 反思与感悟 由 pq 为真知 p，q 中至少一真；由 pq 为假知 p，q 中至少一假，因此，p与 q 一真一假，分 p 真 q 假与 p 假 q 真两种情况讨论跟踪训练 4 已知命题 p：方程 x22ax10 有两个大于1 的实数根，命题 q：关于 x 的不等式 ax2ax10 的解集为 R，若 q 为假命题， “pq”为真命题
11、，求实数 a 的取值范围考点 pq 与 pq 的综合应用题点 由命题 pq，pq 的真假求参数的范围解 命题 p：方程 x22ax 10 有两个大于1 的实数根，等价于Error!即Error!解得 a1.命题 q：关于 x 的不等式 ax2ax 10 的解集为 R，当 a0 时，符合；当 a0 时，由Error!得Error!解得 01 或 13；方程 x22x40 的判别式大于或等于 0；25 是 6 或 5 的倍数；集合 AB 是 A 的子集，且是 AB 的子集其中真命题的个数为( )A1 B2C3 D4考点 “且” “或”形式的命题题点 判断 pq 与 pq 形式命题的真假答案 D解析
12、 由于 21 是真命题，所以“21 或 13”是真命题；由于方程 x22x 40 的判别式大于 0，所以“方程 x2 2x40 的判别式大于或等于 0”是真命题；由于 25 是 5 的倍数，所以命题“25 是 6 或 5 的倍数”是真命题；由于 A， ，所以命题“集合 AB 是 A 的子集，且是 AB 的(A B) (A B) (A B)子集”是真命题3设命题 p：函数 ysin 2x 的最小正周期为 ；命题 q：函数 ycos x 的图象关于直线 x2对称则下列判断正确的是( )2Ap 为真 Bq 为真Cpq 为假 Dpq 为真考点 “且” “或”形式的命题题点 判断 pq 与 pq 形式命
13、题的真假答案 C解析 利用含逻辑联结词命题的真值表求解p 是假命题，q 是假命题，因此只有 C 正确4命 题 p： “x0”是 “x20”的 必 要 不 充 分 条 件 ， 命 题 q： 在 ABC 中 ， “AB”是 “sin Asin B”的 充 要 条 件 ， 则 ( )Ap 真 q 假 Bpq 为真Cpq 为假 Dp 假 q 真考点 pq 与 pq 的综合应用题点 判断 pq 与 pq 形式命题的真假答案 D解析 命题 p 假，命题 q 真5命题 p：点 P 在直线 y2x 3 上；q：点 P 在曲线 y x2 上，则使“p 且 q”为真命题的一个点 P(x，y) 是( )A(0，3)
14、 B(1,2)C(1，1) D(1,1)考点 pq 形式的命题题点 已知 pq 命题的真假求参数(或其范围)答案 C解析 点(x，y)满足Error!解得 P(1，1)或 P(3，9)，故选 C.6p：方程 x22x a0 有实数根，q：函数 f(x)(a 2a)x 是增函数，若“pq”为假命题， “pq”为真命题，则实数 a 的取值范围是( )Aa0 Ba 0 Ca1 Da1考点 pq 与 pq 的综合应用题点 由命题 pq，pq 的真假求参数范围答案 B解析 方程 x22x a0 有实数根，4 4a0 ，解得 a1.函数 f(x)(a 2a)x 是增函数，a 2a0，解得 a1.pq 为假
15、命题，pq 为真命题，p，q 中一真一假当 p 真 q 假时，得 0a1；当 p 假 q 真时，得 a1.由得所求 a 的取值范围是 a0.7给出命题 p：33；q：函数 f(x)Error!在 R 上的值域为1,1 在下列命题：“p” “q”“pq” “pq”中，真命题的个数为( )A0 B1 C2 D3考点 “且” “或”形式的命题题点 判断 pq 与 pq 形式命题的真假答案 C二、填空题8分别用“pq” “pq”填空：(1)命题“集合 AB”是_的形式；(2)命题“ 2”是 _的形式；x 12 4(3)命题“60 是 10 与 12 的公倍数”是_的形式考点 pq 形式的命题题点 “或
16、”命题概念的理解答案 (1)pq (2) pq (3)pq9已知 p：x 22x 3 的解集为x|0 ，得 3 或 a0.14所以实数 a 的取值范围是 (3 ，) 14，0)四、探究与拓展14设命题 p：函数 f(x)lg 的定义域为 R，命题 q：关于 x 的不等式 3x9 xa(ax2 x a4)对一切正实数都成立若“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，则实数 a 的取值范围是_考点 pq 与 pq 的综合应用题点 由命题 pq，pq 的真假求参数的范围答案 0,1解析 由题意，得对命题 p：ax 2x 0a4在 R 上恒成立，当 a0 时，不符合，故Error!得 a1.对
17、命题 q：令 3xt(t1) ，则 3x9 x 2 0，故 a0.(t 12) 14由 p 或 q 为真，p 且 q 为假，得 p，q 一真一假，当 p 真 q 假时，无解；当 p 假 q 真时，得 0a1.15已知命题 p：方程 a2x2ax20 在1,1上有解；命题 q：只有一个实数 x 满足不等式 x22ax2a0，若命题“pq”是假命题，求实数 a 的取值范围考点 pq 与 pq 的综合应用题点 由命题 pq，pq 的真假求参数的范围解 由 a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0.显然 a0，x 或 x .若命题 p 为真，2a 1ax 1,1，故 1 或 1，|a| 1.| 2a| |1a|若命题 q 为真，即只有一个实数 x 满足 x22ax 2a0，即抛物线 yx 22ax 2a 与 x 轴只有一个交点，4 a28a 0，a0 与 a2.命题“pq”为假命题，q，p 同时为假命题a 的取值范围是a|1a0 或 0a1