1、章末复习,第三章 导数及其应用,学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题. 2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数. 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值. 4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.在xx0处的导数 (1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数. (2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线 .,斜率,2.基本初等函数的导数公式,nxn1,cos x,si
2、n x,axln a,ex,0,3.导数的运算法则,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),(g(x)0),4.函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数 如果在(a，b)内， ，则f(x)在此区间内单调递增； ，则f(x)在此区间内单调递减. (2)函数的极值与导数 已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极大值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.极大值与极小
3、值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.,f(x)0,f(x)0,f(x)f(x0),极小值,5.求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 (1)求f(x)在开区间(a，b)内所有 . (2)计算函数f(x)在极值点和 ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,极值点,端点的函数值,题型探究,类型一 导数几何意义的应用,例1 已知函数f(x)xaln x(aR). (1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；,解答,f(1)1，f(1)1, yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1), 即xy20.,(2)求函数f(x)的极值.,解答,当
4、a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa. 当x(0，a)时，f(x)0， f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值. 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值. 综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；,反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可
5、先设切点为Q(x1，y1)，由 f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一类类型.,跟踪训练1 已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0. (1)求a的值；,解答,解 因为f(x)3ax26x6a，且f(1)0， 所以3a66a0，得a2.,(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由.,解答,解 因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线yg(x)相切的直线方程.,又因为g(x0)6x06，,当x01时，g(1)12，g(1)21，切
6、点坐标为(1,21)， 所以切线方程为y12x9； 当x01时，g(1)0，g(1)9，切点坐标为(1,9)， 所以切线方程为y9.,下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程： 因为f(x)2x33x212x11， 所以f(x)6x26x12. 由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1. 当x0时，f(0)11，此时切线方程为y12x11； 当x1时，f(1)2，此时切线方程为y12x10. 所以y12x9不是公切线. 由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2. 当x1时，f(1)18，此时切线方程为y18； 当x2时，f(2)9，此时切线方程为y9，所以y9是公切线
7、. 综上所述，当k0时，y9是两曲线的公切线.,类型二 函数的单调性与导数,例2 已知函数f(x) x2aln x(aR). (1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；,解答,因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0； 当x(2，)时，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点.,(2)求f(x)的单调区间.,解答,所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，).,反思与感悟 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.,跟踪训练2 已知函数f(x)x3
8、ax1. (1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；,解答,解 求导得f(x)3x2a， 因为f(x)在R上是增函数， 所以f(x)0在R上恒成立. 即3x2a0在R上恒成立， 即a3x2，而3x20，所以a0. 当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意. 所以a的取值范围是(，0.,解答,解 假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减， 则f(x)0在(1,1)上恒成立. 即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2， 又因为在(1,1)上，03x23，所以a3. 当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0；,所以f(x)在区间3,1上的最大值为13.,反思与
9、感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义. (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负. (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.,解答,解答,(2)求函数f(x)的单调区间与极值.,令f(x)0，解得x1或x5. 因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去. 当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数. 所以函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，无极大值.,类型四 分类讨论思想在导数中的应用,解答,解 函数f(x)的定义域是(0，).,令f(x)0，得1ln x0，所以xe
10、.,所以函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减.,(2)设m0，求f(x)在m,2m上的最大值.,解答,解 由(1)知函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减，,当mx0， 当ex2m时，f(x)3，试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；,解 f(x)在(0,1上单调递增，证明如下： 由(1)知f(x)3x2a，x(0,1， 3x23,0). 又a3，a3x20，即f(x)0. f(x)在(0,1上单调递增.,解答,(3)是否存在a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值1?,解 由(2)知当a3时，f(x)在(0,1上单调递增， f(x)maxf(1
11、)a11. a2与a3矛盾. 当0a3时，令f(x)a3x20，,当a0时，f(x)a3x20，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值为 .,3,解析 由题意知，f(x)3x2a0(x1)， a3x2，a3，a的最大值为3.,1,2,3,4,5,解答,由题意知，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，,1,2,3,4,5,解答,当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数. 故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，无极大值.,(2)求函数f(x)的极值.,规律与方法,1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点. 2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体. 3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.,