1、第2课时 利用导数研究函数的最值,第三章 3.3.2 利用导数研究函数的极值,学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 函数的最值,如图为yf(x)，xa，b的图象.,思考1 观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.,答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).,思考2 结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？,答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).,梳理 (1)函数
2、f(x)在闭区间a，b上的最值 函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，若函数在(a，b)上是可导的，函数的最值必在 处或 处取得. (2)求可导函数yf(x)在a，b上的最值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .,区间端点,极值点,极值,端点处,最大值,最小值,(3)函数在开区间(a，b)上的最值 在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值； 若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值
3、就是函数f(x)在区间I上的 . (4)极值与最值的意义 是在区间a，b上的所有函数值中相比较最大(小)的值； 是在区间(a，b)上的某一个x0附近相比较最大(小)的函数值.,最大(小)值,最值,极值,思考辨析 判断正误 (1)函数在给定区间上的极大值就是最大值.( ) (2)函数在闭区间上一定有最值，在开区间上不一定存在最值.( ) (3)函数在闭区间上的最值不一定是极值，但在开区间上的最值一定是极值.( ),题型探究,命题角度1 不含参数的函数最值问题,类型一 求函数的最值,解答,例1 求下列函数的最值： (1)f(x)2x312x，x2,3；,当x3时，f(x)取得最大值18.,解 f(
4、x)2x312x，,解答,所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0； 当x2时，f(x)有最大值f(2).,反思与感悟 求可导函数最值的四个步骤 (1)求函数的定义域. (2)求f(x)，解方程f(x)0. (3)列出关于x，f(x)，f(x)的变化表. (4)求极值、端点值，确定最值.,解答,跟踪训练1 求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值.,解 f(x)3exexx2， f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1). 在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b
5、，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.,又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.,反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.,跟踪训练3 已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值及f(x)在2,2上的最大值.,解答,解 f(x)6x212x6x(x2)， 令f(x)0，得x0或x2， 则当x(2,0)时，f(x)0，f(x)
6、单调递增， 当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递减， 又f(2)40a，f(2)8a， 所以当x2时，f(x)min40a37，得a3. 当x0时，f(x)的最大值为3.,例4 设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值；,类型三 与最值有关的恒成立问题,解答,解 由题设知f(x)的定义域为(0，)，,令g(x)0，得x1， 当x(0,1)时，g(x)0， 故(1，)是g(x)的单调递增区间. 因此x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.,解答,即ln a0成立. 由(1)知，g(x)的最小值
7、为1， 所以ln a1，解得0ae. 即a的取值范围为(0，e).,反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤,跟踪训练4 已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围.,解答,所以xf(x)xln x1， 所以xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa.,当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0， 所以x1是g(x)的极大值点也为最大值点， 所以g(x)g(1)1.所以ag(x)max1.,达标检测,答案,1,2,3,4,5,1.函数f(x)x33x(|x|1) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D
8、.既无最大值，也无最小值,解析,解析 f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0， 又函数在(0,1)上有最小值，,答案,4.已知函数f(x)ax3c，f(1)6，且函数f(x)在1,2上的最大值为20，则c_.,1,2,3,4,5,解析,解析 f(x)3ax2，f(1)3a6，a2. 当x1,2时，f(x)6x20，即f(x)在1,2上是增函数， f(x)在1,2上的最大值为f(2)223c20， c4.,答案,4,1,2,3,4,5,解析,答案,e，),解析 由f(x)2，得a2x22x2ln x. 令g(x)2x22x2ln x，则g(x)2x(12ln x)，,由g(x)0，得x 或x0(舍去)， 当00，g(x)单调递增，,1,2,3,4,5,当x 时，g(x)0，g(x)单调递减， 当x 时，g(x)取得最大值为g( )e， ae， 即实数a的取值范围是e，),1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.,规律与方法,