1、3.1.3 导数的几何意义,第三章 3.1 导 数,学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 导数的几何意义,如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，P的坐标为(x0，f(x0)，直线PT为过点P的切线.,思考1 割线PPn的斜率kn是多少？,思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？,答案 kn无限趋近于切线PT的斜率
2、k.,梳理 (1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在 的切线. (2)导数f(x0)的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线的斜率k， 即k . (3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_ .,点P处,yf(x0),f(x0)(xx0),思考辨析 判断正误 (1)过曲线上一点的割线有无数条，而过这点的切线确仅有一条. ( ) (2)曲线在点P处的切线和过点P的切线意思相同.( ) (3)这里对曲线切线的定义与圆的切线的定义并不完全相同.( ),题型探究,类型一 求切线方程,解答,命题角度1 曲线在某点处的
3、切线方程,解 将x2代入曲线C的方程得y4， 切点坐标为P(2,4).,ky|x24. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.,反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤,跟踪训练1 曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_.,解析,答案,3,ky|x24. 曲线yx21在点(2,5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3. 切线与y轴交点的纵坐标是3.,解答,命题角度2 曲线过某点的切线方程,化简得14x4y490或2x4y10， 即为所求的切线方程.,反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，y0)
4、.,跟踪训练2 求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程.,解答,解得x00或x02. 当x00时，切线的斜率为k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10； 当x02时，切线的斜率为k3， 过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30. 故所求切线方程为xy10或3xy30.,类型二 求切点坐标,例3 已知曲线y1x21在xx0处的切线与曲线y21x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值.,解答,引申探究 1.若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.,解答,解 2x0， . 又曲线y1x21与y21x3在xx0处的切线互相垂直，,2.若本例条件不变，试求出两条平
5、行的切线方程.,解答,当x00时，两条平行切线方程分别为y1，y1.,曲线y1x3的切线方程为36x27y110. 所求两平行切线方程为y1与y1或12x9y130与36x27y110.,反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f(x). (3)求切线的斜率f(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.,跟踪训练3 已知直线l：y4xa与曲线C：yx32x23相切，求a的值及切点坐标.,解答,解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0).,当切点坐标为
6、(2,3)时，有342a，解得a5.,当a5时，切点坐标为(2,3).,类型三 导数几何意义的应用,例4 已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为_.(请用“”连接),k1k3k2,答案,解析,解析 由导数的几何意义，可得k1k2.,k1k3k2.,反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合.,跟踪训练4 (1)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，
7、b上的图象可能是,答案,解析,解析 依题意知，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A满足.,(2)已知曲线f(x)2x2a在点P处的切线方程为8xy150，则实数a的值为_.,答案,解析,由导数的几何意义，可得,7,x02， 点P的坐标为(2,8a). 将x2，y8a代入8xy150，得a7.,达标检测,1.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为 A.4 B.16 C.8 D.2,答案,解析,1,2,3,4,5,k8.,a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.,2.若曲线yx2ax
8、b在点(0，b)处的切线方程是xy10，则 A.a1，b1 B.a1，b1 C.a1，b1 D.a1，b1,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由题意知，ky|x0,3.曲线yf(x) 在点(3,3)处的切线的倾斜角等于 A.45 B.60 C.135 D.120,1,2,3,4,5,答案,解析,又直线倾斜角的范围为0，180)， 倾斜角为135.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f(x)在x1处的导数f(1)_.,2,由导数的几何意义，知f(x)在x1处的斜率为2.,1,2,3,4,5,5.已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为_.,答案,解析,(3,30),令4x0416，得x03，P(3,30).,规律与方法,2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值.,3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.,