1、3.1.2 瞬时速度与导数,第三章 3.1 导 数,学习目标 1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数. 3.掌握函数在某一点处的导数的定义.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 瞬时变化率,思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2，试求物体在1,1t这段时间内的平均速度.,思考2 当t趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？,梳理 (1)物体运动的瞬时速度 设物体运动的路程与时间的关系是sf(t)，当 时，当t趋近 于0时，函数f(t)在t0到t0t的平均变化率 趋近于常数， 这个常数称为t
2、0时刻的瞬时速度. (2)函数的瞬时变化率 设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变 化率.,t0到t0t,知识点二 函数的导数,思考 f(x0)与f(x)表示的意义一样吗？,答案 f(x0)表示f(x)在xx0处的导数，是一个确定的值.f(x)是f(x)的导函数，它是一个函数.f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值.,梳理 (1)函数f(x)在xx0处的导数,函数yf(x)在xx0处的 称为函数yf(x)在xx0处的导数， 记作 ，即
3、f(x0) .,瞬时变化率,f(x0)或,(2)导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个 ，于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数.记为f(x)(或yx、y).,确定的导数f(x),(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0) .,思考辨析 判断正误 (1)函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率.( ) (2)平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢，瞬时变化刻画的是函数在某一点处
4、的变化情况.( ) (3)f(x)在xx0处的导数就是导数f(x)在xx0处的函数值.( ),题型探究,类型一 求函数在某一点处的导数,解答,例1 求yx2在点x1处的导数.,解 y(1x)2122x(x)2，,y|x12.,反思与感悟 求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；,答案,解析,(2)求y2x24x在点x3处的导数.,解答,解 y2(3x)24(3x)(23243),所以y|x316.,类型二 求物体运动的瞬时速度,例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度.,
5、解答,物体在t1处的瞬时变化率为3， 即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.,引申探究 1.若本例的条件不变，试求物体的初速度.,解答,物体在t0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.,2.若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.,解答,则2t019，t04. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.,解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，,反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题. (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0).,跟踪训练2 一质点M按运动方程
6、s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.,解答,解 质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率.,类型三 导数的实际意义,例3 一条水管中流出的水量y(单位：m3)是时间x(单位：s)的函数yf(x)x27x15(0x8).计算2 s和6 s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义.,解答,解 在2 s和6 s时，水管流量函数的导数为f(2)和f(6)，,即在2 s时的水流速度为11 m3/s. 同理可得在6 s时的水流速度为19 m3/s. 在2 s与6 s时，水管流量函数的导数分别为11与19.它说明
7、在2 s时附近，水流大约以11 m3/s的速度流出，在6 s 时附近，水流大约以19 m3/s的速度流出.,反思与感悟 导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化，例如位移s关于时间t的导数就是运动物体的瞬时速度，气球体积V关于半径r的导数就是气球的瞬时膨胀率.,跟踪训练3 服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：g/mL)关于时间t(单位：min)的函数为yf(t)，假设函数yf(t)在t10和t100处的导数分别为f(10)1.5和f(100)0.60，试解释它们的实际意义.,解答,解 f(10)1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 g/(mLmin
8、). f(100)0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 g/(mLmin).,达标检测,1.如果某物体的运动方程为s2(1t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为 A.4.8 m/s B.0.88 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s,答案,1,2,3,4,5,解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得.,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,3.函数f(x)在x0处可导，则 A.与x0，h都有关 B.仅与x0有关，而与h无关 C.仅与h有关，而与x0无关 D.与x0，h均无关,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,答案,解析,4.函数yf(x)3x22x在x2处的导数为_.,14,1,2,3,4,5,答案,解析,2,由题意知，a2，a2.,规律与方法,