1、3.1.1 函数的平均变化率,第三章 3.1 导 数,学习目标 1.理解平均变化率的意义. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 函数的平均变化率,假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数yf(x)表示.,自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).,思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？,答案 自变量x的改变量为x2x1，记作x，函数值y的改变量为y2y1，
2、记作y.,思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？,梳理 (1)函数的平均变化率的定义 已知函数yf(x)在点xx0及其附近有定义， 令xxx0；yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0). 则当x0，比值 叫做函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率. (2)平均变化率的实质： 的改变量与 的改变量之比. (3)作用：刻画函数在区间x0，x0x上变化的快慢. (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平均变化率 表示割线P1P2的 .,函数值,自变量,斜率,思考辨析 判断正误 (1)在平均变化率的定义中，自变量x的增量x0.
3、( ),题型探究,类型一 求函数的平均变化率,例1 已知函数yf(x)3x25，求f(x)： (1)在0.1到0.2之间的平均变化率；,解答,解 因为f(x)3x25，,(2)在x0到x0x之间的平均变化率.,解 yf(x0x)f(x0),解答,函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率为,反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1). (2)再计算自变量的改变量xx2x1.,跟踪训练1 (1)已知函数f(x)2x23x5. 求：当x14，x25时，函数增量y和平均变化率 ；,解答,解 因为f(x)2x23x5， 所以yf(x1x)f(x1),2(x)
4、22x1x3x 2(x)2(4x13)x.,当x14，x25时，x1，,求：当x14，x24.1时，函数增量y和平均变化率 .,解 当x14，x24.1时，x0.1， y2(x)2(4x13)x0.021.91.92.,解答,(2)求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为 ，哪一点附近的平均变化率最大？,解答,由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大.,类型二 求物体的平均速度,例2 一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)t21，求该质点在t1,2,3附近，t 时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速度最大.,解答,解 s(t)在t0到t0t之间的
5、位移增量为s(t0t)s(t0),由上面的计算知，t3附近的平均速度最大.,引申探究 若该质点在2到2t之间的平均速度不大于5，则t(t0)的取值范围是什么？,解答,解 s(t)在t0到t0t之间的位移增量为s(t0t)s(t0),当t02时，由题意，得4t5，得t1. 又因为t0，故t的取值范围是(0,1.,反思与感悟 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在t0，t0t内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在t0，t0t内的平均变化率.,跟踪训练2 动点P沿x轴运动，运动方程为x10t5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在2
6、0t20t时间段内动点的平均速度，其中 (1)t1；,解答,解 动点在20t20t时间段内的平均速度为,(2)t0.1；,解答,(3)t0.01.,达标检测,1.一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是 A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2,答案,解析,1,2,3,4,2.如图，函数yf(x)在1到3之间的平均变化率为 A.1 B.1 C.2 D.2,答案,解析,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,4.将半径为R的球加热，若半径从R1到Rm时球的体积膨胀率为 ，则m的值为_.,答案,解析,2,m2m17， m2或m3(舍).,1,2,3,4,理解平均变化率要注意以下几点： (1)平均变化率 表示点(x1，f(x1)与点(x2，f(x2)连线的斜率，是 曲线陡峭程度的“数量化”. (2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为 的形式. (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量x取值越小，越能准确体现函数的变化情况.,规律与方法,