1、第2课时 抛物线的几何性质的应用,第二章 2.3.2 抛物线的几何性质,学习目标 1.掌握抛物线的几何特性. 2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直线与抛物线的位置关系,思考1 直线与抛物线有哪几种位置关系？,答案 三种：相离、相切、相交.,思考2 若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？,答案 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点.,梳理 (1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数.,有两个或一个,有且只有一个,无,(2)直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的
2、方程k2x22(kbp)xb20的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有 个公共点；当0)的通径长为2a.( ),题型探究,类型一 直线与抛物线的位置关系,解答,例1 已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？,得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k416(1k2). (1)若直线与抛物线有两个交点， 则k20且0， 即k20且16(1k2)0， 解得k(1,0)(0,1). 所以当k(1,0)(0,1)时， 直线l和抛物线C有两个交点.,(2)若直线与抛物线有一个交点，
3、则k20或当k20时，0， 解得k0或k1. 所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点. (3)若直线与抛物线无交点， 则k20且1或k1或k0. 设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,P1P2的中点为(4,1)，,所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110， y1y22，y1y222，,方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).,所求直线的斜率k3， 所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110.,y1y22，y1y222，,类型三 抛物线性质的综合应用,例3 已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB. (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之
4、积；,解答,命题角度1 抛物线中的定点(定值)问题,解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,因为OAOB，所以kOAkOB1， 所以x1x2y1y20.,因为y10，y20， 所以y1y24p2， 所以x1x24p2.,(2)求证：直线AB过定点.,证明,反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化.,跟踪训练3 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.,证明,证明 方法一 设AB的斜
5、率为k，则AC的斜率为k. 把直线AB的方程y2k(x4)与y2x联立得 y2k(y24)，即ky2y4k20. y2是此方程的一个解，,kACk，,由题意得kABkAC，,例4 在抛物线y24x上恒有两点A，B关于直线ykx3对称，求k的取值范围.,解答,命题角度2 对称问题,解 因为A，B两点关于直线ykx3对称， 所以可设直线AB的方程为xkym. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把直线AB的方程代入抛物线方程，得y24ky4m0， 设AB的中点坐标为M(x0，y0)，,因为点M(x0，y0)在直线ykx3上，,因为直线AB与抛物线y24x交于A，B两点， 所以16k216m0，
6、,反思与感悟 轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.,跟踪训练4 已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A，B，求A，B两点间的距离.,解答,解 由题意可设l：yxb，把直线方程代入yx23中，得x2xb30. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x21，y1y2x1bx2b(x1x2)2b2b1.,因为该点在直线xy0上.,达标检测,解析 当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点. 当斜率存在时，设直线为ykx1.,1.过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有 A.
7、4条 B.3条 C.2条 D.1条,当k0时，符合题意；,与抛物线只有一个交点的直线共有3条.,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 如图所示， 由抛物线定义知|MF|MH|， 所以|MF|MN|MH|MN|. 由MHNFOA，,1,2,3,4,5,3.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为,1,2,3,4,5,答案,解析,抛物线C：y28x. 设直线AB的方程为xk(y3)2， 将与y28x联立，得y28ky24k160， 令(8k)24(24k16)0，,1,2,3,4,5,
8、1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,16,同理可得N的横坐标x24k2，可得x1x216.,4.过抛物线y24x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为_.,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,解 设所求抛物线方程为y2ax(a0). A(x1，y1)，B(x2，y2)，,得4x2(a16)x160， 由(a16)22560，得a0或a32.,1,2,3,4,5,a4或a36. 所求抛物线的方程为y24x或y236x.,求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.,规律与方法,