1、第2课时 抛物线的几何性质的应用,第二章 2.3.2 抛物线的几何性质,学习目标 1.掌握抛物线的几何特性. 2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直线与抛物线的位置关系,思考1 直线与抛物线有哪几种位置关系?,答案 三种:相离、相切、相交.,思考2 若直线与抛物线只有一个交点,直线与抛物线一定相切吗?,答案 不一定,当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时,也只有一个交点.,梳理 (1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数.,有两个或一个,有且只有一个,无,(2)直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的
2、方程k2x22(kbp)xb20的解的个数.当k0时,若0,则直线与抛物线有 个不同的公共点;当0时,直线与抛物线有 个公共点;当0)的通径长为2a.( ),题型探究,类型一 直线与抛物线的位置关系,解答,例1 已知直线l:yk(x1)与抛物线C:y24x,问:k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点,一个交点,无交点?,得k2x2(2k24)xk20,(2k24)24k416(1k2). (1)若直线与抛物线有两个交点, 则k20且0, 即k20且16(1k2)0, 解得k(1,0)(0,1). 所以当k(1,0)(0,1)时, 直线l和抛物线C有两个交点.,(2)若直线与抛物线有一个交点,
3、则k20或当k20时,0, 解得k0或k1. 所以当k0或k1时,直线l和抛物线C有一个交点. (3)若直线与抛物线无交点, 则k20且1或k1或k0. 设弦的两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2),,P1P2的中点为(4,1),,所求直线方程为y13(x4), 即3xy110, y1y22,y1y222,,方法二 设P1(x1,y1),P2(x2,y2).,所求直线的斜率k3, 所求直线方程为y13(x4), 即3xy110.,y1y22,y1y222,,类型三 抛物线性质的综合应用,例3 已知点A,B是抛物线y22px(p0)上的两点,且OAOB. (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之
4、积;,解答,命题角度1 抛物线中的定点(定值)问题,解 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),,因为OAOB,所以kOAkOB1, 所以x1x2y1y20.,因为y10,y20, 所以y1y24p2, 所以x1x24p2.,(2)求证:直线AB过定点.,证明,反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这类问题的关键是代换和转化.,跟踪训练3 如图,过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.,证明,证明 方法一 设AB的斜
5、率为k,则AC的斜率为k. 把直线AB的方程y2k(x4)与y2x联立得 y2k(y24),即ky2y4k20. y2是此方程的一个解,,kACk,,由题意得kABkAC,,例4 在抛物线y24x上恒有两点A,B关于直线ykx3对称,求k的取值范围.,解答,命题角度2 对称问题,解 因为A,B两点关于直线ykx3对称, 所以可设直线AB的方程为xkym. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 把直线AB的方程代入抛物线方程,得y24ky4m0, 设AB的中点坐标为M(x0,y0),,因为点M(x0,y0)在直线ykx3上,,因为直线AB与抛物线y24x交于A,B两点, 所以16k216m0,
6、,反思与感悟 轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.,跟踪训练4 已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A,B,求A,B两点间的距离.,解答,解 由题意可设l:yxb,把直线方程代入yx23中,得x2xb30. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1x21,y1y2x1bx2b(x1x2)2b2b1.,因为该点在直线xy0上.,达标检测,解析 当斜率不存在时,过P(0,1)的直线是y轴,与抛物线y2x只有一个公共点. 当斜率存在时,设直线为ykx1.,1.过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有 A.
7、4条 B.3条 C.2条 D.1条,当k0时,符合题意;,与抛物线只有一个交点的直线共有3条.,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 如图所示, 由抛物线定义知|MF|MH|, 所以|MF|MN|MH|MN|. 由MHNFOA,,1,2,3,4,5,3.已知点A(2,3)在抛物线C:y22px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,设C的焦点为F,则直线BF的斜率为,1,2,3,4,5,答案,解析,抛物线C:y28x. 设直线AB的方程为xk(y3)2, 将与y28x联立,得y28ky24k160, 令(8k)24(24k16)0,,1,2,3,4,5,
8、1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,16,同理可得N的横坐标x24k2,可得x1x216.,4.过抛物线y24x的顶点O作互相垂直的两弦OM,ON,则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为_.,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,解 设所求抛物线方程为y2ax(a0). A(x1,y1),B(x2,y2),,得4x2(a16)x160, 由(a16)22560,得a0或a32.,1,2,3,4,5,a4或a36. 所求抛物线的方程为y24x或y236x.,求抛物线的方程常用待定系数法和定义法;直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决;抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论,灵活选择解题策略,对题目进行转化.,规律与方法,