1、第1课时 抛物线的几何性质,第二章 2.3.2 抛物线的几何性质,学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的几何性质,思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质?,答案 范围、对称性、顶点、离心率.,思考2 类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象,你能说出抛物线y22px(p0)的范围、对称性、顶点坐标吗?,答案 范围x0,关于x轴对称,顶点坐标(0,0).,梳理 抛物线的几何性质,(0,0),1,x0,y0,知识点二 焦点
2、弦,设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则,思考辨析 判断正误 (1)椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形.( ) (2)抛物线和双曲线一样,开口大小都与离心率有关.( ) (3)抛物线只有一条对称轴和一个顶点.( ) (4)抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关.( ),题型探究,类型一 由抛物线的几何性质求标准方程,解答,例1 已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.,解 由题意,设抛物线方程为y22mx(m0),,所以|AB|2|m|. 因为OAB的面积为4,,引申探
3、究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,解析,答案,解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接AOB为等腰直角三角形, 所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45.,所以点A的坐标为(2p,2p),同理可得B(2p,2p),,反思与感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质 (1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x 还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为p
4、;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.,跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴重合于椭圆 短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为5,求抛物线的方程.,解答,抛物线的对称轴为x轴. 设抛物线的方程为y2ax(a0),,抛物线的方程为y220x或y220x.,类型二 抛物线的焦点弦问题,例2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (1)若直线l的倾斜角为60,求|AB|的值;,解答,解 因为直线l的倾斜角为60,,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x25.,(2)若|AB|9,求线段AB的中点M到准线的距离.,解答,解
5、设A(x1,y1),B(x2,y2),,所以x1x26,所以线段AB的中点M的横坐标是3.,引申探究 本例中,若A,B在其准线上的射影分别为A1,B1,求A1FB1.,解答,解 由抛物线定义|AA1|AF|,得AA1FAFA1, 又AA1x轴, OFA1AA1F, OFA1AFA1, 同理得OFB1BFB1, A1FOB1FO90,即A1FB190.,反思与感悟 (1)抛物线的焦半径,(2)过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立,消元,由根与系数的关系求出x1x2即可
6、.,跟踪训练2 直线l过抛物线y24x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|8,则直线l的方程为_.,xy10或xy10,答案,解析,解析 因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0), 若l与x轴垂直,则|AB|4,不符合题意. 所以可设所求直线l的方程为yk(x1).,所以所求直线l的方程为xy10或xy10.,类型三 抛物线的实际应用,例3 某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货的木船露在水面上的部分高为 m,货物的宽与木船相同,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?,解答,解 以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为y轴建
7、立如图所示直角坐标系. 设抛物线的方程是x22py(p0), 由题意知A(4,5)在抛物线上,,设水面上涨,木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B,B时,木船开始不能通航.设B(2,y),,故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时,木船开始不能通航.,反思与感悟 在建立抛物线的标准方程时,常以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用.,跟踪训练3 如图,有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时水面宽度为10米.若洪水到来时,水位以每小时0.2米
8、的速度从警戒线开始上升,则再持续多少小时才能到拱桥顶?(平面直角坐标系是以桥顶点为点O的),解答,解 设所求抛物线的解析式为yax2. 设D(5,b),则B(10,b3), 把D,B的坐标分别代入yax2,,即再持续5小时水位到达拱桥顶.,达标检测,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 设抛物线y22px或y22px(p0),p4.,2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为,1,2,3
9、,4,5,答案,解析,解析 由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,,3.已知过抛物线y28x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|的值为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,10,解析 由y28x,得p4,设A(x1,y1),B(x2,y2),,4.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: 焦点在y轴上; 焦点在x轴上; 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; 抛物线的通径的长为5; 由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 符合抛物线方程为y210x的条件是_.(要求填写合适条件的序号),1,
10、2,3,4,5,答案,解析,解析 由抛物线方程y210x,知它的焦点在x轴上, 所以符合.,设点P(2,1),可得kPOkPF1,所以也符合. 而显然不符合,通过计算可知,不合题意. 所以应填.,1,2,3,4,5,5.求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为4;,1,2,3,4,5,解答,因此,所求抛物线的标准方程为y216x或x216y.,(2)顶点是双曲线16x29y2144的中心,准线过双曲线的左顶点,且垂直于坐标轴.,1,2,3,4,5,解答,故抛物线顶点在原点,准线为x3. 由题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0),,因此,所求抛物线的标准方程为y212x.,1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;利用几何性质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解. 3.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,规律与方法,