1、2.1.1 椭圆及其标准方程,第二章 2.1 椭 圆,学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 椭圆的定义,观察图形，回答下列问题： 思考1 如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？,答案 椭圆.,思考2 图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？,答案 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.,梳理 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于
2、 的点的轨迹叫做椭圆，这两个 F1，F2叫做椭圆的焦点，_ |F1F2|叫做椭圆的焦距.,定长(大于|F1F2|),定点,两焦点的距离,知识点二 椭圆的标准方程,思考 椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？,答案 椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半.a，b，c始终满足关系式a2b2c2.,梳理,F1(c,0)，F2(c,0),F1(0，c)，F2(0，c),c2a2b2,思考辨析 判断正误 (1)平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
3、. ( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为定值.( ) (3)已知长、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上，其标准方程不同.( ),题型探究,类型一 椭圆的标准方程,解答,命题角度1 求椭圆的标准方程,例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,这与ab相矛盾，故舍去.,方法二 设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn).,解答,2a12，即a6. c4， b2a2c2624220，,解得11或21(舍去)，,反思与感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程. (2)待定系数法 先确定焦点位置
4、；设出方程；寻求a，b，c的等量关系；求a，b的值，代入所设方程. 特别提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0).,跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：,解答,解 椭圆的焦点在y轴上，,由椭圆的定义知，,又c2，b2a2c26.,(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；,解答,解 椭圆的焦点在y轴上，,又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，,解答,解 设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，,命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围),(0,1),解析,答案,反思与感悟 (1
5、)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.,解析,答案,(7,10),解得7ksin ，,1,2,3,4,5,4.已知椭圆 上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m_.,1,2,3,4,5,答案,25,解析,解析 由椭圆的定义知，372a，得a5，则ma225.,1,2,3,4,5,解答,解 设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0且mn)，,1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.,规律与方法,