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2019年人教B版数学必修3学案:3.2.1古典概型 3.2.2概率的一般加法公式(选学)

1、3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式 (选学)学习目标:1.理解古典概型及其概率计算公式,会判断古典概型(难点)2.会用列举法求古典概型的概率(重点)3.应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率(难点)自 主 预 习探 新 知1古典概型(1)古典概型的概念:同时具有以下两个特征的试验称为古典概型:有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件;等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的(2)概率的古典定义:在基本事件总数为 n 的古典概型中,每个基本事件发生的概率为 ;1n如果随机事件 A 包含的基本事件数为 m,由互斥事件的概率加法

2、公式可得P(A) ,所以在古典概型中 P(A) ,这一定义称为概mn 事 件 A包 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数率的古典定义思考:从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗?提示 不是因为有无数个基本事件2概率的一般加法公式(选法)(1)事件 A 与 B 的交(或积 ):由事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D,称为事件 A 与 B 的交(或积),记作DA B(或 DAB )(2)设 A,B 是 的两个事件,则有 P(AB)P(A)P (B)P (AB),这就是概率的一般加法公式基础自测1思考辨析(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为

3、有限个,则该试验符合古典概型( )(2)“抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”是基本事件( )(3)从装有三个大球、一个小球的袋中,取出一球的试验是古典概型( )(4)一个古典概型的基本事件数为 n,则每一个基本事件出现的概率都是 .( )1n答案 (1) (2) (3) (4)2(2018全国卷 )从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社会服务,则选中的 2 人都是女同学的概率为( )A0.6 B0.5 C0.4 D0.3D 将 2 名男同学分别记为 x,y, 3 名女同学分别记为 a,b,c .设“选中的 2 人都是女同学”为事件 A,则从 5 名同学中任选 2 人参加社区服务的所

4、有可能情况有(x,y) ,(x,a) ,(x,b),(x,c ),(y,a),(y ,b),(y,c ),(a,b),( a,c ),(b,c),共 10 种,其中事件 A 包含的可能情况有( a,b),( a,c ),(b,c),共 3种,故 P(A) 0.3.故选 D.3103从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动,其中“甲被选中”这一事件所含的基本事件有_个2 (甲,乙),(甲,丙),共 2 个4已知 A,B 是两个事件,且 P(AB)0.2,P(A)P(B )0.3,则 P(AB)_.04 由概率的一般加法公式 P(AB)P(AB)P (A)P(B )0.30.30.20.4.合 作

5、探 究攻 重 难基本事件的计数问题有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字 1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y )表示结果,其中 x 表示第 1 个正四面体玩具朝下的点数,y 表示第 2 个正四面体玩具朝下的点数试写出下列事件所包含的全部基本事件:(1)试验的基本事件;(2)事件“朝下点数之和大于 3”;(3)事件“朝下点数相等 ”;(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于 2”思路探究 根据事件的定义,按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果,列举出来即可解 (1)这个试验的基本事件为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2) ,(

6、2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3) ,(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)(2)事件“朝下点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1) ,(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2) ,(4,3),(4,4)(3)事件“朝下点数相等 ”包含以下 4 个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3) ,(4,4)(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于 2”包含以下 10 个基本事件:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,

7、4) ,(4,3),(4,4)规律方法 1在求基本事件时,一定要按规律去写,这样不容易漏写2确定基本事件是否与顺序有关3写基本事件时,主要用列举法,具体写时可用列表法或树状图法跟踪训练1列出下列各试验中的基本事件,并指出基本事件的个数(不考虑先后顺序)(1)从字母 a, b,c 中任意取出两个字母的试验;(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有 1,2,3,4,5 号的 5 个球的袋中任意取出两个球的试验.【导学号:31892030】解 (1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件分别是(a,b),(a,c ),(b,c)共 3 个(2)从袋中取两个球的等可能结果为:球 1 和球

8、2,球 1 和球 3,球 1 和球 4,球 1 和球 5,球 2 和球 3,球 2 和球 4,球 2 和球 5,球 3 和球 4,球 3 和球 5,球 4 和球 5.故共有 10 个基本事件古典概型的判断及其概率计算探究问题1基本事件有何特征?提示 基本事件是试验的最基本的结果,在一次试验中,基本事件不可能同时发生,故基本事件都是互斥的,其他试验的结果都可以用基本事件来表示2若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个,则该试验符合古典概型吗?为什么?提示 不一定符合,因为一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具备古典概型的两个特点:有限性与等可能性上述试验还必须满足每个基本事件出现的可能

9、性相等才符合古典概型3古典概型的概率计算的基本步骤有哪些?提示 首先,阅读题目,收集题目中的各种信息;其次,判断基本事件是否为等可能事件,并用字母 A 表示所求事件;再次,求出试验的基本事件的总数n 及事件 A 包含的基本事件数 m;最后,利用公式P(A) ,求出事件 A 的概率事 件 A包 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数 mn(1)下列试验是古典概型的为_从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小相等;同时掷两颗骰子,点数和为 6 的概率;近三天中有一天降雨的概率;10 人站成一排,其中甲、乙相邻的概率(2)袋子中装有除颜色外其他均相同的编

10、号为 a,b 的 2 个黑球和编号为 c,d,e的 3 个红球,从中任意摸出 2 个球写出所有不同的结果,判断是否为古典概型并求至少摸到 1 个黑球的概率思路探究 (1)紧扣古典概型的两大特征 有限性与等可能性进行判断(2)写试验的不同结果时可用树状图,判断古典概型时要紧扣其定义与特征,写出至少摸到 1 个黑球的基本事件,用古典概型概率公式可得概率(1) (1) 是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响(2)用树状图表示所有的结果为:所以所有不同的结果是 ab,ac,ad,ae ,bc,bd,be,cd ,ce,de,共 10 种,且在一次

11、试验中,每个基本事件出现的可能性相等,是古典概型问题记“至少摸出 1 个黑球”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为 ab,ac,ad,ae ,bc, bd,be,共 7 个基本事件,所以 P(A) 0.7,710即至少摸出 1 个黑球的概率为 0.7.母题探究:1.(变条件) 袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,求基本事件的个数,写出所有基本事件的全集,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色;(2) 三次颜色全相同;(3) 三次摸到的红球多于白球解 所有的基本事件个数 n8 个全集 I(红,红,红 ),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红) ,(红,白,

12、白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)(1)记事件 A 为“三次颜色恰有两次同色 ”A 中含有基本事件个数为 m6,P(A) 0.75.mn 68(2)记事件 B 为“三次颜色全相同 ”B 中含有基本事件个数为 m2,P(B) 0.25.mn 28(3)记事件 C 为“三次摸到的红球多于白球”C 中含有基本事件个数为 m4,P(C) 0.5.482(设问 )若从甲、乙、丙、丁中任取 2 人参加某项活动,在列举基本事件时,有人列举为(甲,乙) 、(甲,丙) 、(甲,丁)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,丁)共 6个,还有人列举为(甲,乙)、(乙,甲) 、(甲,丙)、( 丙,甲)、(甲

13、,丁)、(丁,甲)、(乙,丙 )、(丙,乙)、 (乙,丁)、(丁,乙)、(丙,丁 )、(丁,丙)共 12个既然基本事件总数都不相同,他们求某一事件的概率一定不相同,对吗?解 不对,如要求 A 事件:甲入选的概率时第一种情况下 A 包含 3 个基本事件,P(A) ;第二种情况下, A 包含 6 个基本事件,P (A) ,概率36 12 612 12相同求概率时,其大小与模型的选择无关,但对于此问题,我们倾向于选择第一种情况规律方法 1判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征有限性和等可能性,二者缺一不可2解决古典概型问题的基本方法是列举法,但对于较复杂的古典概型问题,可采用转化的

14、方法:一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和;二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率概率的一般加法公式(选学)甲、乙、丙、丁四人参加 4100 米接力赛,求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率思路探究 由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的,故此试验是古典概型,可以利用概率的一般加法公式求解解 设事件 A 为“甲跑第一棒 ”,事件 B 为“乙跑第四棒 ”,则 P(A) ,P(B) .记甲跑第 x 棒,乙跑第 y 棒,则结果可记为 (x,y),共有 12 种等14 14可能结果:(1,2) ,(1,3) , (1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),

15、(4,2),(4,3)而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能:(1,4),故 P(AB) .112所以,甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率 P(AB )P (A)P(B )P(AB ) .14 14 112 512规律方法 概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为:1在公式 PAB PA P B中,事件 A、B 是互斥事件;2在公式 PAB PA P BPAB 中,事件 A、B 可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.可借助 Venn 图直观理解.跟踪训练2在对 200 家公司的最新调查中发现,40%的公司在大力研究广告效果,50%的公司在进行短期销售预测,而 30%的公司在从事这两项研究假

16、设从这 200家公司中任选一家,记事件 A 为“该公司在研究广告效果 ”,记事件 B 为“该公司在进行短期销售预测”,求 P(A),P(B),P(AB )解 P( A)40%0.4,P(B)50% 0.5,又已知 P(AB)30% 0.3,P(AB) P(A)P (B) P(AB)0.40.50.30.6.当 堂 达 标固 双 基1同时投掷两颗大小完全相同的骰子,用(x,y )表示结果,记 A 为“所得点数之和小于 5”,则事件 A 包含的基本事件数是( )A3 B4 C5 D6D 事件 A 包含的基本事件有 6 个:(1,1) ,(1,2),(1,3) ,(2,1),(2,2),(3,1)2

17、下列关于古典概型的说法中正确的是( )试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;每个事件出现的可能性相等;每个基本事件出现的可能性相等;基本事件的总数为 n,随机事件 A 若包含 k 个基本事件,则 P(A) .knA B C DB 根据古典概型的特征与公式进行判断,正确,不正确3从 1,2,3,4 这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 30 的概率为 ( )A. B.12 13C. D.14 15A 从 1、2、3、4 中任取两个不同数字构成一个两位数共有 12 种不同取法,其中大于 30 的为 31、32、34、41、42、43 共 6 个故 P .612 124

18、据报道:2015 年我国高校毕业生为 749 万人,创历史新高,就业压力进一步加大若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为_记事件 A:甲或乙被录用从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙)、910(甲,乙,丁)、(甲,乙,戊) 、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙,丙,戊) 、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊),共 10 种可能,而A 的对立事件 仅有( 丙,丁,戊) 一种可能,A 的对立事件 的概率为 P( )A A A,110P(A)1P( ) .A9105一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上

19、 1,2,3,10 这 10 个数字,先后随机地抽取两个小球,如果:(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.【导学号:31892031】解 先后随机选取两个小球,记事件 A 为“两个小球上的数字为相邻整数 ”,可能结果为(1,2) ,(2,3) , (3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7) ,(9,8),(10,9)共 18 种(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x ,y ),共有可能结果 90 种因此,事件 A 的概率是 .1890 15(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x ,y ),则 x 有 10 种可能,y 有10 种可能,共有可能结果 100 种因此,事件 A 的概率是 .18100 950