1、3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式 (选学)学习目标：1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型(难点)2.会用列举法求古典概型的概率(重点)3.应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率(难点)自 主 预 习探 新 知1古典概型(1)古典概型的概念：同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的(2)概率的古典定义：在基本事件总数为 n 的古典概型中，每个基本事件发生的概率为 ；1n如果随机事件 A 包含的基本事件数为 m，由互斥事件的概率加法
2、公式可得P(A) ，所以在古典概型中 P(A) ，这一定义称为概mn 事 件 A包 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数率的古典定义思考：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？提示 不是因为有无数个基本事件2概率的一般加法公式(选法)(1)事件 A 与 B 的交(或积 )：由事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D，称为事件 A 与 B 的交(或积)，记作DA B(或 DAB )(2)设 A，B 是 的两个事件，则有 P(AB)P(A)P (B)P (AB)，这就是概率的一般加法公式基础自测1思考辨析(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为
3、有限个，则该试验符合古典概型( )(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件( )(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型( )(4)一个古典概型的基本事件数为 n，则每一个基本事件出现的概率都是 .( )1n答案 (1) (2) (3) (4)2(2018全国卷 )从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社会服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为( )A0.6 B0.5 C0.4 D0.3D 将 2 名男同学分别记为 x，y, 3 名女同学分别记为 a，b，c .设“选中的 2 人都是女同学”为事件 A，则从 5 名同学中任选 2 人参加社区服务的所
4、有可能情况有(x，y) ，(x，a) ，(x，b)，(x，c )，(y，a)，(y ，b)，(y，c )，(a，b)，( a，c )，(b，c)，共 10 种，其中事件 A 包含的可能情况有( a，b)，( a，c )，(b，c)，共 3种，故 P(A) 0.3.故选 D.3103从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的基本事件有_个2 (甲，乙)，(甲，丙)，共 2 个4已知 A，B 是两个事件，且 P(AB)0.2，P(A)P(B )0.3，则 P(AB)_.04 由概率的一般加法公式 P(AB)P(AB)P (A)P(B )0.30.30.20.4.合 作
5、探 究攻 重 难基本事件的计数问题有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y )表示结果，其中 x 表示第 1 个正四面体玩具朝下的点数，y 表示第 2 个正四面体玩具朝下的点数试写出下列事件所包含的全部基本事件：(1)试验的基本事件；(2)事件“朝下点数之和大于 3”；(3)事件“朝下点数相等 ”；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于 2”思路探究 根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可解 (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2) ，(
6、2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3) ，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(2)事件“朝下点数之和大于 3”包含以下 13 个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1) ，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2) ，(4,3)，(4,4)(3)事件“朝下点数相等 ”包含以下 4 个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3) ，(4,4)(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于 2”包含以下 10 个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,
7、4) ，(4,3)，(4,4)规律方法 1在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写2确定基本事件是否与顺序有关3写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法跟踪训练1列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数(不考虑先后顺序)(1)从字母 a， b，c 中任意取出两个字母的试验；(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有 1,2,3,4,5 号的 5 个球的袋中任意取出两个球的试验.【导学号：31892030】解 (1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件分别是(a，b)，(a，c )，(b，c)共 3 个(2)从袋中取两个球的等可能结果为：球 1 和球
8、2，球 1 和球 3，球 1 和球 4，球 1 和球 5，球 2 和球 3，球 2 和球 4，球 2 和球 5，球 3 和球 4，球 3 和球 5，球 4 和球 5.故共有 10 个基本事件古典概型的判断及其概率计算探究问题1基本事件有何特征？提示 基本事件是试验的最基本的结果，在一次试验中，基本事件不可能同时发生，故基本事件都是互斥的，其他试验的结果都可以用基本事件来表示2若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型吗？为什么？提示 不一定符合，因为一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具备古典概型的两个特点：有限性与等可能性上述试验还必须满足每个基本事件出现的可能
9、性相等才符合古典概型3古典概型的概率计算的基本步骤有哪些？提示 首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断基本事件是否为等可能事件，并用字母 A 表示所求事件；再次，求出试验的基本事件的总数n 及事件 A 包含的基本事件数 m；最后，利用公式P(A) ，求出事件 A 的概率事 件 A包 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数 mn(1)下列试验是古典概型的为_从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等；同时掷两颗骰子，点数和为 6 的概率；近三天中有一天降雨的概率；10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率(2)袋子中装有除颜色外其他均相同的编
10、号为 a，b 的 2 个黑球和编号为 c，d，e的 3 个红球，从中任意摸出 2 个球写出所有不同的结果，判断是否为古典概型并求至少摸到 1 个黑球的概率思路探究 (1)紧扣古典概型的两大特征 有限性与等可能性进行判断(2)写试验的不同结果时可用树状图，判断古典概型时要紧扣其定义与特征，写出至少摸到 1 个黑球的基本事件，用古典概型概率公式可得概率(1) (1) 是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响(2)用树状图表示所有的结果为：所以所有不同的结果是 ab，ac，ad，ae ，bc，bd，be，cd ，ce，de，共 10 种，且在一次
11、试验中，每个基本事件出现的可能性相等，是古典概型问题记“至少摸出 1 个黑球”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为 ab，ac，ad，ae ，bc， bd，be，共 7 个基本事件，所以 P(A) 0.7，710即至少摸出 1 个黑球的概率为 0.7.母题探究：1.(变条件) 袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2) 三次颜色全相同；(3) 三次摸到的红球多于白球解 所有的基本事件个数 n8 个全集 I(红，红，红 )，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红) ，(红，白，
12、白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)(1)记事件 A 为“三次颜色恰有两次同色 ”A 中含有基本事件个数为 m6，P(A) 0.75.mn 68(2)记事件 B 为“三次颜色全相同 ”B 中含有基本事件个数为 m2，P(B) 0.25.mn 28(3)记事件 C 为“三次摸到的红球多于白球”C 中含有基本事件个数为 m4，P(C) 0.5.482(设问 )若从甲、乙、丙、丁中任取 2 人参加某项活动，在列举基本事件时，有人列举为(甲，乙) 、(甲，丙) 、(甲，丁)、(乙，丙)、(乙，丁)、(丙，丁)共 6个，还有人列举为(甲，乙)、(乙，甲) 、(甲，丙)、( 丙，甲)、(甲
13、，丁)、(丁，甲)、(乙，丙 )、(丙，乙)、 (乙，丁)、(丁，乙)、(丙，丁 )、(丁，丙)共 12个既然基本事件总数都不相同，他们求某一事件的概率一定不相同，对吗？解 不对，如要求 A 事件：甲入选的概率时第一种情况下 A 包含 3 个基本事件，P(A) ；第二种情况下， A 包含 6 个基本事件，P (A) ，概率36 12 612 12相同求概率时，其大小与模型的选择无关，但对于此问题，我们倾向于选择第一种情况规律方法 1判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征有限性和等可能性，二者缺一不可2解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的
14、方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率概率的一般加法公式(选学)甲、乙、丙、丁四人参加 4100 米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率思路探究 由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的，故此试验是古典概型，可以利用概率的一般加法公式求解解 设事件 A 为“甲跑第一棒 ”，事件 B 为“乙跑第四棒 ”，则 P(A) ，P(B) .记甲跑第 x 棒，乙跑第 y 棒，则结果可记为 (x，y)，共有 12 种等14 14可能结果：(1,2) ，(1,3) ， (1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，
15、(4,2)，(4,3)而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能：(1,4)，故 P(AB) .112所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率 P(AB )P (A)P(B )P(AB ) .14 14 112 512规律方法 概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为：1在公式 PAB PA P B中，事件 A、B 是互斥事件；2在公式 PAB PA P BPAB 中，事件 A、B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助 Venn 图直观理解.跟踪训练2在对 200 家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而 30%的公司在从事这两项研究假
16、设从这 200家公司中任选一家，记事件 A 为“该公司在研究广告效果 ”，记事件 B 为“该公司在进行短期销售预测”，求 P(A)，P(B)，P(AB )解 P( A)40%0.4，P(B)50% 0.5，又已知 P(AB)30% 0.3，P(AB) P(A)P (B) P(AB)0.40.50.30.6.当 堂 达 标固 双 基1同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y )表示结果，记 A 为“所得点数之和小于 5”，则事件 A 包含的基本事件数是( )A3 B4 C5 D6D 事件 A 包含的基本事件有 6 个：(1,1) ，(1,2)，(1,3) ，(2,1)，(2,2)，(3,1)2
17、下列关于古典概型的说法中正确的是( )试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个事件出现的可能性相等；每个基本事件出现的可能性相等；基本事件的总数为 n，随机事件 A 若包含 k 个基本事件，则 P(A) .knA B C DB 根据古典概型的特征与公式进行判断，正确，不正确3从 1,2,3,4 这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 30 的概率为 ( )A. B.12 13C. D.14 15A 从 1、2、3、4 中任取两个不同数字构成一个两位数共有 12 种不同取法，其中大于 30 的为 31、32、34、41、42、43 共 6 个故 P .612 124
18、据报道：2015 年我国高校毕业生为 749 万人，创历史新高，就业压力进一步加大若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_记事件 A：甲或乙被录用从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、910(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊) 、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊) 、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共 10 种可能，而A 的对立事件 仅有( 丙，丁，戊) 一种可能，A 的对立事件 的概率为 P( )A A A，110P(A)1P( ) .A9105一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上
19、 1,2,3，10 这 10 个数字，先后随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.【导学号：31892031】解 先后随机选取两个小球，记事件 A 为“两个小球上的数字为相邻整数 ”，可能结果为(1,2) ，(2,3) ， (3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7) ，(9,8)，(10,9)共 18 种(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x ，y )，共有可能结果 90 种因此，事件 A 的概率是 .1890 15(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x ，y )，则 x 有 10 种可能，y 有10 种可能，共有可能结果 100 种因此，事件 A 的概率是 .18100 950