1、1.3 中国古代数学中的算法案例学习目标：1.了解割圆术中无限逼近的数学思想(重点)2.理解更相减损之术的含义，了解其执行过程(重点)3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质(重点)4. 利用秦九韶算法计算多项式的值(难点)自 主 预 习探 新 知一、更相减损之术(等值算法)1更相减损之术(等值算法)：用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数2用“等值算法”求最大公约数的程序：二、割圆术用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法是计算圆周率的近似值三、秦九韶算法1把一
2、元 n 次多项式 P(x)a nxna n1 xn1 a 1xa 0 改写为P(x) anxna n1 xn1 a 1xa 0(a nxn1 a n1 xn2 a1)xa 0(a nxn2 a n1 xn3 a 2)xa 1)xa 0(a nxa n1 )xa n2 )xa 1)xa 0.令 vk (anxa n1 )x a n(k 1) )xa nk ，则递推公式为：Error! 其中 k1,2，n.2计算 P(x0)的方法：先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项基础自测1思考辨析(1)用更相减损术可以求两个正整数的最大公约数()(2)使用秦九韶算法计
3、算高次多项式的值比常规逐项计算省时的原因是减少了运算次数()(3)秦九韶算法的实质是把高次式的和转化为一次式的积()2我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率 是( )A准确值 B近似值C循环小数 D有理数答案 B3用秦九韶算法求多项式 f(x)x 33x 22x11 当 xx 0 时的值时，应把 f(x)变形为( )Ax 3(3x 2)x11B(x3)x 2 (2x11)C(x1)(x2)x11D(x3) x2)x 11D f(x)x 33x 22x 11 ( x23x2)x 11(x3) x2)x 11.4用“等值算法”可求得 98 与 280 的最大公约数为_14 (98,
4、280)(98,182) (98,84)(14,84)(14,70) (14,56)(14,42)(14,28)(14,14)， 最大公约数为 14.合 作 探 究攻 重 难求最大公约数用“等值算法”(更相减损之术)求 78 和 36 的最大公约数思路探究 按等值算法的步骤执行即可解 操作如下：(78,36)(42,36)(6,36)(6,30)(6,24)(6,18) (6,12)(6,6)，所以最大公约数为 6.规律方法 用更相减损之术求两数最大公约数时，是大数减小数恰好等于小数时停止减法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数.跟踪训练用“等值算法”(更相减损之术)求 98 与 63 的最
5、大公约数解 操作如下：(98,63)(35,63)(28,35)(7,28)(7,21)(7,14) (7,7)，所以 98 与 63 的最大公约数为 7.秦九韶算法的应用探究问题1怎样计算多项式 f(x) x5x 4x 3x 2x1 当 x5 时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？提示 f(5)5 55 45 35 2513 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要 10 次乘法运算，5 次加法运算2我们把多项式变形为 f(x)x 2(1x(1x (1x)x1，再统计一下计算当x5 时的计算的种类及计算次数分别是什么？提示 从里往外计算仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可
6、得出结果3怎样利用秦九韶算法把求 n 次多项式 f(x)的值转化为求 n 个一次多项式的值？提示 f(x) a nxna n1 xn1 a n2 xn2 a 1xa 0(a nxn1 a n1 xn2 a n 2xn3 a 1)xa 0(a nxn2 a n1 xn3 a 2)xa 1)xa 0(a nxa n1 )xa n2 )xa 1)xa 0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1a nxa n1 ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2v 1xa n 2，v 3v 2x an3 ，v nv n1 xa 0，这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一
7、次多项式的值用秦九韶算法求多项式 f(x)7x 76x 65x 54x 43x 32x 2x 当 x3时的值思路探究 改写多项式，确定 v0，再依次计算 vi，i1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3)解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)(7 x6) x5)x4)x3)x 2)x1)x ，由内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x3 时的值：由 v07；v173627；v2273586；v38634262；v426233789；v5789322 369；v62 369317 108；v77 108321 324，故 x3 时，多项式 f(x)7x 76x 65x 54x 43
8、x 32x 2x 的值为 21 324.母题探究：(变结论) 用秦九韶算法求多项式 f(x)7x 76x 65x 54x 43x 32x 2x 当 x3 时的值时，共做了几次乘法？几次加法？解 根据秦九韶算法，把多项式改写为：f(x)(7 x6) x5)x4)x3)x 2)x1)x ，由内到外依次计算一次多项式当 x3 时的值：v07；v173627；v2273586；v38634262；v426233789；v5789322 369；v62 369317 108；v77 108321 324，由此可知共做了 7 次乘法，6 次加法规律方法 1应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的 3 个问题(
9、1)要正确将多项式的形式进行改写(2)计算应由内向外依次计算(3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充2利用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法次数与多项式未知数的最高指数相同，在多项式有常数项的情况下，加法运算的次数与乘法的次数相同当 堂 达 标固 双 基1用秦九韶算法计算 f(x)6x 54x 4x 32x 29x ，需要加法(或减法) 与乘法运算的次数分别为( )A5,4 B5,5 C4,4 D4,5D n 次多项式需进行 n 次乘法；若各项均不为零，则需进行 n 次加法，缺一项就减少一次加法运算f(x) 中无常数项，故加法次数要减少一次，为 514.故选 D.2用更相
10、减损之术求 294 和 84 的最大公约数时，需做减法的次数是( )A2 B3 C4 D5C (294,84)(210,84)(126,84)(42,84)(42,42)，需做 4 次减法3用秦九韶算法求多项式 f(x)1235x8x 279 x36x 45x 53x 6 在 x4的值时，v 4 的值为( )A57 B220 C 845 D3 392B v 03，v 1v 0x5，v 2v 1x6，v 3v 2x79，v 4v 3x8，v 4220.4用更相减损之术求 36,24 的最大公约数是_12 36 2412,241212，因此 36,24 的最大公约数是 12.5用更相减损之术求 80 和 36 的最大公约数解 (80,36)(44,36)(8,36)(8,28)(8,20)(8,12)(8,4)(4,4)，所以 80 与 36 的最大公约数为 4.