1、2019 年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x12，By|y2 x，x A，则 AB（ ）A （，8） B （，3） C （0，8） D （0，3）2 （5 分）复数 z i（ i 为虚数单位）的虚部为（ ）A B C D3 （5 分）双曲线 9x216y 21 的焦点坐标为（ ）A （ ，0） B （0， ） C （5，0） D （0，5）4 （5 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a2+a834，
2、S 438，则 a1（ ）A4 B5 C6 D75 （5 分）已知函数 f（x ）在（，+）上单调递减，且当 x2，1时，f（x）x 22x 4，则关于 x 的不等式 f（x）1 的解集为（ ）A （，1） B （，3） C （1，3） D （1，+）6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A3 B4 C6 D87 （5 分）执行如图的程序框图，依次输入 x117，x 219，x 320，x 421，x 523，则输出的 S 值及其统计意义分别是（ ）第 2 页（共 26 页）AS4，即 5 个数据的方差为 4BS4，即
3、5 个数据的标准差为 4CS20，即 5 个数据的方差为 20DS20，即 5 个数据的标准差为 208 （5 分）已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足 16 12 3 ，则（ ）A 12 +3 B 12 3C 12 +3 D 12 39 （5 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a12，a n+an+12 n（nN*） ，则 S13（ ）A B C D10 （5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB ，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段CB 的比例中项，即满足
4、 0.618后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在 ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为（ ）第 3 页（共 26 页）A B 2 C D11 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+ ）+ （ 0） ，点 P，Q，R 是直线ym（m0）与函数 f（ x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ| QR| ，则 +m（ ）A B2 C3 D12 （5 分）已知函数若 f（x）（kx+ ）e x3x ，若 f（x）0 的解集中恰有两个正整数，则 k 的取值范
5、围为（ ）A （ ， B ， ）C （ ， D ， ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分） （2x+y ） 6 的展开式中，x 2y4 的系数为 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为 15 （5 分）在三棱锥 PABC 中，AP，AB，AC 两两垂直，且 APABAC 若点D，E 分别在棱 PB，PC 上运动（都不含端点） ，则 AD+DE+EA 的最小值为 16 （5 分）已知 F 为抛物线 C：
6、x 22py（p0）的焦点，曲线 C1 是以 F 为圆心， 为半径的圆，直线 2 x6y+3p0 与曲线 C，C 1 从左至右依次相交于 P，Q，R，S，则 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60分17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ccosA+ csinAb+a（1）求 C；第 4 页（共 26 页）（2）若 D 在边 BC 上，且 BD3DC，cos B ，S ABC 10 ，求 A
7、D18 （12 分）已知五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形，AB CD，CD2DE2AD2AB4，AC 2 ，且二面角 FAB C 的大小为30（1）证明：AB平面 ADE；（2）求二面角 EBCF 的余弦值19 （12 分）已知点（1， ） ， （ ）都在椭圆 C： 1（ab0）上（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M（0，1）的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P，Q（异于顶点） ，记椭圆与 y轴的两个交点分别为 A1，A 2，若直线 A1P 与 A2Q 交于点 S，证明：点 S 恒在直线 y4上20 （12 分）随着小汽车的普及， “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证
8、件之一若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在一次报名中，每个学员有 5 次参加科目二考试的机会（这 5 次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若 5 次都没有通过，则需重新报名） ，其中前 2 次参加科目二考试免费，若前 2 次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交 200 元的补考费，某驾校对以往 2000 个学员第 1 次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到如表：考试情况 男学员 女学员第 1 次考科目二人数 1200 800第 1 次通过科目二人数 960 600第 5 页（共 26 页）第 1
9、次未通过科目二人数 240 200若以如表得到的男、女学员第 1 次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前 2 次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 X 元，求 X 的分布列与数学期望21 （12 分）已知函数 f（x ）（xa）e x（a R） （1）讨论 f（x ）的
10、单调性；（2）当 a2 时，F（x ）f（x）x+lnx，记函数 yF（x）在（ ，1）上的最大值为m，证明：4m3(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ， （ 为参数）已知点 Q（4，0） ，点 P 是曲线 l 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求点 M 的轨迹 C2 的极坐标方程；（2）已知直线 l：y kx 与曲线 C2 交于 A，B 两点，若 3 ，求 k
11、的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +a|+2|x1|（a0） （1）求 f（x）的最小值；（2）若不等式 f（x ）50 的解集为（m，n） ，且 nm ，求 a 的值第 6 页（共 26 页）2019 年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x12，By|y2 x，x A，则 AB（ ）A （，8） B （，3） C （0，8） D （0，3）【分析】分别求出集合 A，B，由此能求出集合 AB【解答】解：
12、集合 Ax| x12x|x3，B y|y2 x，xAy |0y8 ，ABx|0 x3（0，3） 故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）复数 z i（ i 为虚数单位）的虚部为（ ）A B C D【分析】化简复数 z 为 a+bi 的形式，即可写出 z 的虚部【解答】解：复数 z i i i i，则 z 的虚部为 故选：A【点评】本题考查了复数的运算与化简问题，是基础题3 （5 分）双曲线 9x216y 21 的焦点坐标为（ ）A （ ，0） B （0， ） C （5，0） D （0，5）【分析】
13、直接利用双曲线的方程求解 a，b，c 得到焦点坐标即可【解答】解：双曲线 9x216y 21 的标准方程为： ，可得 a ，b ，c ，第 7 页（共 26 页）所以双曲线的焦点坐标为（ ，0） 故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查4 （5 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a2+a834，S 438，则 a1（ ）A4 B5 C6 D7【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 2+a834，S 438，2a 1+8d34，4a 1+6d38，联立解得：a 15，d3，故选：B【点评】本
14、题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分）已知函数 f（x ）在（，+）上单调递减，且当 x2，1时，f（x）x 22x 4，则关于 x 的不等式 f（x）1 的解集为（ ）A （，1） B （，3） C （1，3） D （1，+）【分析】根据条件可得出 f（ 1）1，根据 f（x）在（ ，+）上单调递减，即可由 f（x） 1 得出 f（x ） f（1） ，从而得到 x 1，即得出原不等式的解集【解答】解：x 2，1时，f（x ）x 22x4；f（1）1；f（x）在（ ，+）上单调递减；由 f（x） 1 得，f（x ） f（1） ；x1
15、；不等式 f（x） 1 的解集为（1，+） 故选：D【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 8 页（共 26 页）A3 B4 C6 D8【分析】几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是 1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高是 2，根据体积公式得到结果【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是 1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高是 2，组合体的体积是： 3，故选：A【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，
16、考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目7 （5 分）执行如图的程序框图，依次输入 x117，x 219，x 320，x 421，x 523，则输出的 S 值及其统计意义分别是（ ）第 9 页（共 26 页）AS4，即 5 个数据的方差为 4BS4，即 5 个数据的标准差为 4CS20，即 5 个数据的方差为 20DS20，即 5 个数据的标准差为 20【分析】根据程序框图，输出的 S 是 x117，x 219，x 320，x 421，x 523 这 5 个数据的方差，先求这 5 个数的均值，然后代入方差公式计算即可【解答】解：根据程序框图
17、，输出的 S 是 x117，x 219，x 320，x 421，x 523 这5 个数据的方差， （17+19+20+21+23）20，由方差的公式 S （17 20） 2+（1920） 2+（2020） 2+（2120）2+（2320） 24故选：A【点评】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题8 （5 分）已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足 16 12 3 ，则（ ）第 10 页（共 26 页）A 12 +3 B 12 3C 12 +3 D 12 3【分析】本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子
18、相近，再比较，相同的那项即为答案【解答】解：由题意，可知：对于 A： ，整理上式，可得：16 12 3 ，这与题干中条件相符合，故选：A【点评】本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题9 （5 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a12，a n+an+12 n（nN*） ，则 S13（ ）A B C D【分析】利用数列的递推关系式，逐步求出数列的相邻两项，然后求解数列的和即可【解答】解：由题意，a 12，n2 时，a 2+a32 2，n4 时，a 4+a52 4，n6 时，a 6+a72 6，n8 时，a 8+a92 8，n10 时，a 10+a112 10，n12 时，
19、a 12+a132 12，S132+2 2+24+26+28+210+2122+ 故选：D【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力10 （5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB ，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段CB 的比例中项，即满足 0.618后人把这个数称为黄金分割数，把第 11 页（共 26 页）点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为（ ）A
20、 B 2 C D【分析】先阅读题意，理解“黄金分割” ，再结合几何概型中的面积型可得：BQ，CP ，所以 PQBQ+CPBC （ ）a，S APQ ：S ABC PQ：BC（ 2）a ：a 2，则在ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为 ，得解【解答】解：设 BCa，由点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，所以 BQ ，CP ，所以 PQBQ +CPBC（ ）a，SAPQ ： SABC PQ ：BC（ 2）a：a 2，由几何概型中的面积型可得：在ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为 ，故选：B【点评】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题1
21、1 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+ ）+ （ 0） ，点 P，Q，R 是直线ym（m0）与函数 f（ x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且第 12 页（共 26 页）2|PQ|QR | ，则 +m（ ）A B2 C3 D【分析】根据|PQ| QR| ，得到周期 T，然后计算 ，利用 P，Q 的对称性，求出P 点的横坐标，代入求解即可【解答】解：2|PQ| QR| ，|PQ | ， |QR| ，则 T|PQ+| QR| + ，即 ，即 2，即 f（x）sin（2x + ）+ ，|PQ | ，x 2x 1 ，2x1+ +2x2+ ，得 x10，此时 msin （2x 1+
22、 ）+ sin + 1即 +m1+23，故选：C【点评】本题主要考查三角函数图象和性质的应用，根据条件求出函数的周期以及利用对称性求出 P 的坐标是解决本题的关键12 （5 分）已知函数若 f（x）（kx+ ）e x3x ，若 f（x）0 的解集中恰有两个正整数，则 k 的取值范围为（ ）A （ ， B ， ）C （ ， D ， ）【分析】根据由 f（x ）0 得（kx+ ） ，构造函数 h（x） ，求函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由 f（x ）0 得 f（x）（kx+ ）e x3x0，第 13 页（共 26 页）即（kx+ ）e x3x，即（k
23、x+ ） 的解集中恰有两个正整数，设 h（x） ，则 h（x ） ，由 h（x）0 得 33x 0 得 x1，由 h（x）0 得 33x 0 得 x1，即当 x1 时函数 h（x ）取得极大值 h（1） ，设函数 g（x）kx+ ，作出函数 h（x）的图象如图，由图象知当 k0， （kx+ ） 的解集中有很多整数解，不满足条件则当 k0 时，要使， （kx+ ） 的解集中有两个整数解，则这两个整数解为 x1 和 x2，h（2） ，h（3） ，A（2， ）B（3， ） ，当直线 g（x）过 A（2， ）B（3， ）时，对应的斜率满足2kA+ ，3k B+ ，得 kA ，k B ，要使， （kx+
24、 ） 的解集中有两个整数解，则 kBkk A，即 k ，即实数 k 的取值范围是（ ， ，故选：A第 14 页（共 26 页）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用不等式转化为两个函数的关系，构造函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分） （2x+y ） 6 的展开式中，x 2y4 的系数为 60 【分析】根据二项展开式的通项公式，求出含 x2y4 的项，可得结论【解答】解：（2x+y ） 6 的展开式中，故含 x2y4 的项为 （2x ） 2y460x 2y4，故答案为：60【点评
25、】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为 7 【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出 z 的最大值【解答】解：画出 x，y 满足约束条件 表示的平面区域，如图所示，由 ，解得点 A（3，1） ，结合图形知，直线 2x+yz 0 过点 A 时，z2x+y 取得最大值为 23+17故答案为：7第 15 页（共 26 页）【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题15 （5 分）在三棱锥 PABC 中，AP，AB，AC 两两垂直，且 APABAC 若点D，E
26、分别在棱 PB，PC 上运动（都不含端点） ，则 AD+DE+EA 的最小值为 【分析】由题意画出图形，可得 PBPCBC 2，APBAPC45，沿 PA 剪开，向两侧展开到平面 PBC 上，连接 AA，再由余弦定理求解得答案【解答】解：如图，由 AP，AB，AC 两两垂直，且 APABAC ，得 PBPCBC2，APBAPC45，沿 PA 剪开，向两侧展开到平面 PBC 上，连接 AA，则 AD+DE+EA 的最小值为 AA 故答案为： 第 16 页（共 26 页）【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题16 （5 分）
27、已知 F 为抛物线 C：x 22py（p0）的焦点，曲线 C1 是以 F 为圆心， 为半径的圆，直线 2 x6y+3p0 与曲线 C，C 1 从左至右依次相交于 P，Q，R，S，则 【分析】联立直线与抛物线方程求得点 P，S 的坐标，利用焦半径公式即可求解【解答】解：可得直线 2 x6y+3p0 与 y 轴交点是抛物线 C：x 22py（p0）的焦点 F，由 得 x2 pxp 20，x P ，x S ，|RS|SF| y S+ p，|PQ |PF| y P+ p则 故答案为： 【点评】本题考查了抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说
28、明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60分17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ccosA+ csinAb+a（1）求 C；第 17 页（共 26 页）（2）若 D 在边 BC 上，且 BD3DC，cos B ，S ABC 10 ，求 AD【分析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin（C ） ，结合范围 C（0，） ，可得 C （ ， ） ，可求 C ，进而可得 C 的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，利用
29、三角形的面积公式可求a ，b ，又由余弦定理可得 3c4+245c2192080，解得 c7，a8，b5，在ACD 中，由余弦定理可得 AD 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）ccosA+ csinAb+a，由正弦定理可得：sinCcosA + sinCsinAsinB+sinA，sinCcosA+ sinCsinAsin（A+C）+sinA sinAcosC+cosA sinC+sinA， sinCsinA sinAcosC+sinA，sinA0， sinCcosC+1 ，解得：sin（C ） ，C（0， ） ，可得： C （ ， ） ，C ，可得：C （2）cosB ，可得：
30、sinB ，由 SABC 10 acsinB absinC，可得：ac56，ab40，可得：a ，b，又由余弦定理可得：c 2a 2+b2aba 2+b240，c 2（ ） 2+（ ） 240，整理可得：3c 4+245c2192080，第 18 页（共 26 页）解得：c 249，可得：c 7，a8，b5，在ACD 中，由余弦定理可得：AD 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，计算量较大，属于中档题18 （12 分）已知五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形，AB CD，CD2DE2A
31、D2AB4，AC 2 ，且二面角 FAB C 的大小为30（1）证明：AB平面 ADE；（2）求二面角 EBCF 的余弦值【分析】 （1）推导出 DEAD，ADCD，从而 CD平面 ADE，由此利用 ABCD 能证明 AB平面 ADE（2）由 AB平面 ADE，得DAE 是二面角 FABC 的平面角，即DAE30以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z轴，建立空间直角坐标系，利用量法能求出二面角 EBCF 的余弦值【解答】证明：（1）五面体 ABCDEF 中，四边形 CDEF 为矩形，CD2DE2AD2AB 4， AC2 ，DEAD ，AD 2
32、+CD2AC 2，ADCD，ADDE D ，CD平面 ADE，ABCD，AB 平面 ADE解：（2）由（1）得 AB平面 ADE，DAE 是二面角 FAB C 的平面角，即DAE30第 19 页（共 26 页）DADE 2，ADE 120 ，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，E（1，0， ） ，B（2，2，0） ，C （0，4，0） ，F（1，4， ） ，（2，2，0） ， （3，2， ） ， （3，2， ） ，设平面 BCF 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，1，0） ，设平面 BCE 的法
33、向量 （x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，1， ） ，设二面角 EBCF 的平面角为 ，则 cos ，二面角 EBCF 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）已知点（1， ） ， （ ）都在椭圆 C： 1（ab0）上（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M（0，1）的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P，Q（异于顶点） ，记椭圆与 y第 20 页（共 26 页）轴的两个交点分别为 A1，A 2，若直线 A1P 与 A2Q 交于点 S，证明：点
34、 S 恒在直线 y4上【分析】 （1）由题意可得 ，解得 a24，b 22 得椭圆方程，（2）先设出直线 l 的方程，再分别求出直线 A1P 的方程，直线 A2Q 的方程，联立，消x 整理可得 y ，根据韦达定理化简整理可得直线 y4【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 a24，b 22，故椭圆 C 的方程为 + 1证明：（2）易知直线 l 的斜率存在且不为 0，设过点 M（0，1）的直线 l 方程为ykx +1， （k0） ，P （x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，由 ，消 y 可得（k 2+2）x 2+2kx30，x 1+x2 ，x 1x2 ，A 1（0，2） ，A 2（0，2）
35、 ，直线 A1P 的方程为 y x+2 x+2（ k ）x +2，则直线 A2Q 的方程为 y x2（k+ ）2，由 ，消 x 可得 ，整理可得 y 第 21 页（共 26 页）+4 +44，直线 A1P 与 A2Q 交于点 S，则点 S 恒在直线 y4 上【点评】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题20 （12 分）随着小汽车的普及， “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在一次报名中，每个学员有 5 次参加科目二考试的机会（这 5 次考
36、试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若 5 次都没有通过，则需重新报名） ，其中前 2 次参加科目二考试免费，若前 2 次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交 200 元的补考费，某驾校对以往 2000 个学员第 1 次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到如表：考试情况 男学员 女学员第 1 次考科目二人数 1200 800第 1 次通过科目二人数 960 600第 1 次未通过科目二人数 240 200若以如表得到的男、女学员第 1 次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立现有一对夫妻同时在
37、此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止第 22 页（共 26 页）（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前 2 次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为 X 元，求 X 的分布列与数学期望【分析】根据题意，设 Ai 表示男学员在第 i 次参加科目 2 考试中通过，B i 表示女学员在第 i 次参加科目 2 考试中通过，（1）设事件 M 是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，分析可得P（M）P（ A1B1+A1 B2+ A
38、2B1+ A2 B2） ，由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案；（2）根据题意，X 可取的值为 400、600、800、1000、1200，依次求出对应的概率，即可得 X 的分布列，由期望公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设 Ai 表示男学员在第 i 次参加科目 2 考试中通过，B i 表示女学员在第 i 次参加科目 2 考试中通过，则 P（A 1） ，P （A 2）1 ，P（B 1） ，P（A 2）1 ，（1）根据题意，设事件 M 是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，则 P（M）P（ A1B1+A1 B2+ A2B1+ A2 B2） + + + ；（2）根据题
39、意，X 可取的值为 400、600、800、1000、1200，P（X400） ，P（X600） + ，P（X800） + + P（X1000） + P（X1200） ；则 X 的分布列为X 400 600 800 1000 1200第 23 页（共 26 页）P 故 EX400 +600 +800 +1000 +1200 510.5（元）【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21 （12 分）已知函数
40、f（x ）（xa）e x（a R） （1）讨论 f（x ）的单调性；（2）当 a2 时，F（x ）f（x）x+lnx，记函数 yF（x）在（ ，1）上的最大值为m，证明：4m3【分析】 （1）f（x ） x （a1） ex，x R即可出单调性（2）当 a2 时，F（x ）f（x）x+lnx（x 2）e xx+lnx，x（ ，1） F（x）（x1）e x1+ （x1） ，进而得出极大值点【解答】 （1）解：f（x ） x（a1） ex，x R可得函数 f（x）在（ ，a1）内单调递减，在（a1，+）内单调递增（2）证明：当 a2 时，F（x）f （x）x+lnx（x 2）e xx+lnx，x（
41、，1） F（x ）（x1）e x1+ （x 1） ，令 F（x） 0，解得： ，即 x0lnx 0，x 0（ ，1） ，令 g（x）e x 在 x（ ，1）上单调递增，g（ ） 20，g（1）e10x 0（ ，1） ，可知：xx 0，函数 g（x ）取得极大值即最大值，F（x 0）（ x02） 2 x012（x 0+ ）（4，3） 4m3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数零点及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题第 24 页（共 26 页）(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程
42、(10 分)22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ， （ 为参数）已知点 Q（4，0） ，点 P 是曲线 l 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求点 M 的轨迹 C2 的极坐标方程；（2）已知直线 l：y kx 与曲线 C2 交于 A，B 两点，若 3 ，求 k 的值【分析】 （1）消去 得曲线 C1 的普通方程为：x 2+y24；设出 M 的坐标后利用中点公式得到 P 的坐标后代入 C1 德轨迹 C2 的直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）如图：取 AB 的中点 M，连 CM，CA，在两个直角三角
43、形中，根据勾股定理解得CM，OM 后可得斜率【解答】解：（1）消去 得曲线 C1 的普通方程为：x 2+y24，设 M（x，y）则 P（2x 4， 2y）在曲线 C1 上，所以 （2x4） 2+（2y） 24，即（x2） 2+y2 1，即 x2+y2 4x+30，C2 轨迹的极坐标方程为： 24cos+30（2）当 k0 时，如图：取 AB 的中点 M，连 CM，CA ，在直角三角形 CMA 中，CM 2CA 2（ AB） 21 AB2，在直角三角形 CMO 中，CM 2OC 2OM 24（ AB） 24 AB2，由得 AB ，OM ，CM ，k 当 k0 时，同理可得 k 综上得 k 第 2
44、5 页（共 26 页）【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +a|+2|x1|（a0） （1）求 f（x）的最小值；（2）若不等式 f（x ）50 的解集为（m，n） ，且 nm ，求 a 的值【分析】 （1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得【解答】解：（1）f（x ） ，x1 时，f（x） 的最小值为a+1（2）如图所示：当 a+152a+2 即 a4 时，f（x）50 的解集为（ a3， ） ， a+3 ，a3 符合，当 2a+25 即 0a 时，f（x ）的解集 为 （ 1， ） ， + +1 综上可得 a3第 26 页（共 26 页）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题