1、2019 年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1）2 （5 分）复数 z 满足（z+ i） （2+i）5（i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数 为（ ）A2+2i B2+2i C22i D22i3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z2x+y 的最大值为（ ）A7 B8 C15 D164 （
2、5 分）命题“x N*，f（x）x ”的否定形式是（ ）AxN*，f（ x）x Bx N*， f（x）xCx 0N*，f （x 0）x 0 Dx 0N*，f（x 0）x 05 （5 分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只黄球，2 只红球，从中随机摸出 2 只球，则这两只球颜色不同的概率为（ ）A B C D6 （5 分）在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD，2AB BD，sin C ，则（ ）A B C2 D37 （5 分）若曲线 ye x 在 x0 处的切线，也是 ylnx+b 的切线，则 b（
3、;）A1 B1 C2 De8 （5 分）alog 2 ，blog 3 ，clog ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Acba Bcab Cacb Dabc9 （5 分）执行如图所示程序框图，若输出的 S 值为20，则条件框内应填写（ ）第 2 页（共 25 页）Ai3？ Bi 4？ Ci4？ Di5？10 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，0 ）两条相邻对称轴为x 和 x ，若 f（0） ，则 f（ ）（ ）A B C D11 （5 分）已知抛物线 C：y 24x 和直线 l：x y+10，F 是 C 的焦点，P 是 l 上一点
4、过P 作抛物线 C 的一条切线与 y 轴交于 Q，则PQF 外接圆面积的最小值为（ ）A B C D212 （5 分）设 a 为常数，函数 f（x ）e x（xa）+a，给出以下结论：若 a 1，则 f（x ）在区间（ a1，a）上有唯一零点；若 0 a1，则存在实数 x0，当 xx 0 时，f （x）0：若 a 0，则当 x0 时，f（ x）0其中正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分满分 20 分13 （5 分）已知双曲线 1（a0）的离心率为 a，则该双曲线的渐近线为 14 （5 分）已
5、知 f（x ）x|x|，则满足 f（2x 1）+ f（x）0 的 x 的取值范围为 15 （5 分）已知矩形 ABCD，AB1， ，E 为 AD 中点，现分别沿 BE、CE 将三角形 ABE 和三角形 DCE 翻折，使 A、D 点重合，记为 P 点，则几何体 PBCE 外接球的表面积为 第 3 页（共 25 页）16 （5 分）等腰直角ABC 内（包括边界）有一点 P，ABAC2， 1，则| |的取值范围是 三、解答题本大题共 5 小题共 70 分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）数
6、列a n中，a 11，a n+an+1pn+1，其中 p 为常数（）若 a1，a 2，a 4 成等比数列，求 P 的值：（）若 p1，求数列a n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22数学1171289611313613912112412111511512312511712312213212996105106120物理80 81 8385 89 81 91 78 85 91 72 76 87 82 79 82 81 89 637
7、3 77 45学号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44数学 108 137 87 95 108 119 101 128 125 74 81 135 101 97 116 102 76 100 62 86 120 101物理 76 80 71 57 72 65 69 79 0 55 56 77 63 70 75 63 59 64 42 62 77 65用这 44 人的两科成绩制作如下散点图：学号为 22 号的 A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为 31 号的 B 同学因故未能参加物理学科的
8、考试，为了使分析结果更客观准确，老师将 A、B 两同学的成绩（对应于图中 A、B 两点）剔除后，用剩下的 42 个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为 110.5，标准差为 18.36，物理学科的平均分为 74，标准差为 11.18，第 4 页（共 25 页）数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为 0.8222，回归直线 l（如图所示）的方程为 y0.5006x +18.68（）若不剔除 A、B 两同学的数据，用全部 44 的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为 0，回归直线为 l0，试分析 0 与 的大小关系，并在图中画出回归直线 l0 的大致
9、位置（）如果 B 同学参加了这次物理考试，估计 B 同学的物理分数（精确到个位）：（）就这次考试而言，学号为 16 号的 C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式 Zi 统一化成标准分再进行比较，其中 Xi 为学科原始分， 为学科平均分，s 为学科标准差） 19 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD1，E、F 分别是 CD 边上的三等分点将ADF ，BCE 分别沿 AF、BE 折起到ADF、BCE 的位置，且使平面ADF 底面 ABCD，平面 BCE底面 ABCD，连结 D'C（）证明：DC平面 ABEF；（）求点 A 平
10、面 EFDC 的距离20 （12 分）已知过点 D（4 ，0）的直线 1 与椭圆 C： 1 交于不同的两点A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，其中 y1y20，O 为坐标原点（）若 x10，求OAB 的面积：（）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA 与 TB 的斜率互为相反数？21 （12 分）已知 a 是常数函数 f（x ）（xalnx）lnxx（）讨论函数 f（x ）在区间（0，+）上的单调性；（）若 0a1，证明：f（ ea）1选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a0） ，第 5 页（共 2
11、5 页）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （）若 a2，求曲线 C 与 l 的普通方程；（）若 C 上存在点 P，使得 P 到 l 的距离为 ，求 a 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+ x，aR （）若 f （1）+f（2）5，求 a 的取值范围；（）若 a，bN*，关于 x 的不等式 f（x）b 的解集为（， ） ，求 a，b 的值第 6 页（共 25 页）2019 年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已
12、知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1）【分析】解二次不等式可求得 A（0，2） ，又 B（1，1）则可得解【解答】解：解二次不等式 x22x0，得 0x 2，所以集合 A（0，2） ，又 B（1，1） ，所以 AB （0，1） ，故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，属简单题2 （5 分）复数 z 满足（z+ i） （2+i）5（i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数 为（ ）A2+2i B2+2i C22i D22i【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解
13、答】解：由（z+ i） （2+i）5，得 22i 故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z2x+y 的最大值为（ ）A7 B8 C15 D16【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 zx+2y过点 B（3，0）时，z 最大值即可第 7 页（共 25 页）【解答】解：作出变量 x，y 满足约束条件 可行域如图：由 z2x+y 知，所以动直线 y2x +z 的纵截距 z 取得最大值时，目标函数取得最大值由 得 A（3，2） 结合可行域可知当动直线经过点 A（
14、3，2）时，目标函数取得最大值 z23+28故选：B【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题4 （5 分）命题“x N*，f（x）x ”的否定形式是（ ）AxN*，f（ x）x Bx N*， f（x）xCx 0N*，f （x 0）x 0 Dx 0N*，f（x 0）x 0【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xN*，f（x）x”的否定形式是： x0N*，f（x 0）x 0故选：C【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题5 （5 分）不透明的布袋中有形状、大小都相同
15、的 4 只球，其中 1 只白球，1 只黄球，2 只红球，从中随机摸出 2 只球，则这两只球颜色不同的概率为（ ）第 8 页（共 25 页）A B C D【分析】从中随机摸出 2 只球，基本事件总数 n 6，则这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，由此能求出这两只球颜色不同的概率【解答】解：不透明的布袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只黄球，2 只红球，从中随机摸出 2 只球，基本事件总数 n 6，则这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，这两只球颜色不同的概率为 p1 故选：A【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等
16、基础知识，考查运算求解能力，是基础题6 （5 分）在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD，2AB BD，sin C ，则（ ）A B C2 D3【分析】ABD 中，由余弦定理 cosA 可求 cosA，然后结合同角平方关系可求 sinA，ABC 中，由正弦定理 ，可求 BC，即可【解答】解：由题意可设 ABADx，BD ，ABD 中由余弦定理可得，cosA ，A（0，） ，sinA ，sinC ，ABC 中，由正弦定理可得， ，第 9 页（共 25 页），BC则 2，故选：C【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式7 （5
17、 分）若曲线 ye x 在 x0 处的切线，也是 ylnx+b 的切线，则 b（ ）A1 B1 C2 De【分析】求出 ye x 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线 ylnx+b 相切的切点为（m，n） ，求得函数 ylnx+b 的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得 m，n，进而得到 b 的值【解答】解：ye x 的导数为 ye x，曲线 ye x 在 x0 处的切线斜率为 k1，则曲线 ye x 在 x0 处的切线方程为 y1x，ylnx +b 的导数为 y ，设切点为（m，n） ，则 1，解得 m1，n2，即有 2ln1+b，解得 b2故选：C【点评
18、】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切点和正确求出导数是解题的关键8 （5 分）alog 2 ，blog 3 ，clog ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Acba Bcab Cacb Dabc【分析】利用指数函数、对数函数的单调性质能比较 a，b，c 的大小关系第 10 页（共 25 页）【解答】解：alog 2 log 231，blog 3 log 341，2log 24log 23log 34log 331，clog 1，a，b，c 的大小关系是 cab故选：B【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函
19、数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9 （5 分）执行如图所示程序框图，若输出的 S 值为20，则条件框内应填写（ ）Ai3？ Bi 4？ Ci4？ Di5？【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出 S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：模拟执行程序，可得：i1，S10，满足判断框内的条件，第 1 次执行循环体，S102 18，i2，满足判断框内的条件，第 2 次执行循环体，S82 24，i3，满足判断框内的条件，第 3 次执行循环体，S42 34，i4，满足判断框
20、内的条件，第 3 次执行循环体，S42 420，i5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的 S 值为20，第 11 页（共 25 页）则条件框内应填写：i5，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，0 ）两条相邻对称轴为x 和 x ，若 f（0） ，则 f（ ）（ ）A B C D【分析】根据函数两条相邻对称轴确定出函数的周期，求出 的值，由函数在对称轴处取得最大值或最小值可求 ，再由 f（0） ，可求 f（ x） ，即可求解【解答】
21、解：f（x ）A sin（x+） （A0，0，0 ）两条相邻对称轴为 x和 x ，T2（ ） ，0 ， 3 ，即 f（x）Asin（3x +） ，对称轴为 x 和 x ，+ ，k ，0 ， ，f（x）Asin（3x+ ） ，f（0）Asin ，A则 f（ ）Asin（ ） ，故选：C【点评】此题考查了正弦函数的图象，以及三角函数的周期，熟练掌握正弦函数的图象第 12 页（共 25 页）与性质是解本题的关键11 （5 分）已知抛物线 C：y 24x 和直线 l：x y+10，F 是 C 的焦点，P 是 l 上一点过P 作抛物线 C 的一条切线与 y 轴交于 Q，则PQF 外接圆面积的最小值为（
22、 ）A B C D2【分析】设过点 P 的切线与抛物线相切于点 M（x 0，y 0） ，从而写出切线 PM 的方程，可求出点 P、Q 的坐标，根据斜率之间的关系得出 FQ PQ，于是得出|PF| 为PFQ 外接圆的直径，结合两点的间的距离公式得出|PF |的最小值，从而得出 PQF 外接圆的面积的最小值【解答】解：如下图所示，设过点 A 所作的切线与抛物线 C 相切于点 M（x 0，y 0） ，则 ，易知，直线 PM 的方程为 y0y2x+2x 0，即 ，该直线的斜率为 ，直线 PM 交 y 轴于点 ，所以，直线 FQ 的斜率为 ，k PMkFQ1，所以，FQPQ ，将直线 l 的方
23、程与 PM 的方程联立得 ，解得 ，所以，点 P 的坐标为 ，第 13 页（共 25 页）由两点间的距离公式可得 ，所以，当 y00 时，|PF |取得最小值 ，则PFQ 的外接圆的半径的最小值为 ，因此，PFQ 的外接圆的面积的最小值为 故选：A【点评】本题考查直线与抛物线的综合，解决本题的关键在于切线方程的求解，考查计算能力与推理能力，属于难题12 （5 分）设 a 为常数，函数 f（x ）e x（xa）+a，给出以下结论：若 a 1，则 f（x ）在区间（ a1，a）上有唯一零点；若 0 a1，则存在实数 x0，当 xx 0 时，f （x）0：若 a 0，则当 x0 时，f（ x）0其中
24、正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【分析】由题意可得 f（x ）过原点，求得 f（x）的导数，可得单调性、极值和最值，即可判断 ；结合最小值小于 0，以及 x 的变化可判断【解答】解：函数 f（x ）e x（xa）+a，可得 f（0）0，f（x）恒过原点，若 a1，由 f（x ）的导数为 f（x）e x（xa+1） ，即有 xa1 时，f（x）递增；xa1 时，f （x）递减，可得 xa1 处取得最小值，且 f（a1）ae a1 ，由 exx +1，可得 ae a1 0，即有 f（a1）0，f（a）a0，则 f（x）在区间（ a1，a）上有唯一零点，故正确；，若 0a 1
25、，由 可得 f（x）的最小值为 f（a1）0，且 x+时，f（x）+ ，x时，f（x ）a，结合图象可得 xa1 时存在实数 x0，当 xx 0 时，f（x ）0，故正确；，若 a0，由 可得 f（x）的最小值为 f（a1）0，且 f（0）0，x时，f（x）a，结合图象可得当 x0 时，f（x）0，故正确第 14 页（共 25 页）故选：D【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数的零点问题，以及函数值的符号，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分满分 20 分13 （5 分）已知双曲线 1（a0）的离心率为 a，则该双曲线的渐近线为 y
26、 x 【分析】利用双曲线的离心率求出 a，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线 1（a0）的离心率为 a，可得： ，解a1，所以双曲线方程为： 1，所以该双曲线的渐近线为 y x故答案为：y x【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查14 （5 分）已知 f（x ）x|x|，则满足 f（2x 1）+ f（x）0 的 x 的取值范围为 ，+） 【分析】根据题意，将 f（x ）写成分段函数的形式，分析可得 f（x）为奇函数且在 R 上为增函数，进而可得 f（2x 1）+f（x）0f （2x1） f（x）f（2x1）f（x）2x 1x，解可得 x 的取值范围，即可
27、得答案【解答】解：根据题意，f（ x）x|x | ，则 f（x）为奇函数且在 R 上为增函数，第 15 页（共 25 页）则 f（2x1）+f（x ）0f（ 2x1）f（x）f （2x1）f（x）2x1x，解可得 x ，即 x 的取值范围为 ，+ ） ；故答案为： ，+） 【点评】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析 f（x）的奇偶性与单调性15 （5 分）已知矩形 ABCD，AB1， ，E 为 AD 中点，现分别沿 BE、CE 将三角形 ABE 和三角形 DCE 翻折，使 A、D 点重合，记为 P 点，则几何体 PBCE 外接球的表面积为 【分析
28、】首先利用数量关系得到三线垂直，而后联想到长方体，外接球直径为长方体体对角线长，得解【解答】解：AB1，AD ，E 为 AD 中点，可得EPB EPC90，CPB90，PBCE 为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，2R ，R ，外接球表面积为 4 ，故答案为： 第 16 页（共 25 页）【点评】此题考查了长方体外接球问题，难度不大16 （5 分）等腰直角ABC 内（包括边界）有一点 P，ABAC2， 1，则| |的取值范围是 ，1 【分析】建立以点 A 为直角坐标系的原点，AB，AC 所在直线为 x 轴，y 轴的直角坐标系，则 A（0，0） ，B（2，0） ，C （0
29、，2） ，设 P（x，y） ，则 （x，y） ，（2x，y ） ，易得：（x1） 2+y22，画图观察及圆的性质可求解【解答】解：建立以点 A 为直角坐标系的原点，AB，AC 所在直线为 x 轴，y 轴的直角坐标系，则 A（0，0） ，B（2，0） ，C （0，2） ，设 P（x ，y） ，则 （x，y） ， （2x，y ） ，由 1，得：（x1） 2+y22，图象为以 F（1，0）为圆心， 为半径的圆，由图可知 D（0，1）由圆的知识可知：| |取最小时为 |CE|CF| ，最大为|CD |1，故| |的取值范围是： ，1，故答案为： ，1，【点评】本题考查了建系及平面向量的数量积及圆的有关
30、性质，属中档题三、解答题本大题共 5 小题共 70 分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）数列a n中，a 11，a n+an+1pn+1，其中 p 为常数（）若 a1，a 2，a 4 成等比数列，求 P 的值：（）若 p1，求数列a n的前 n 项和 Sn第 17 页（共 25 页）【分析】 （）可令 n1，2，3，解得得 a2p，a 3p+1，a 42p，再由等比数列中项性质解方程可得 p 的值；（）若 p1，可得 an+an+1n+1，讨论 n 为偶数或奇数，结合数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，即可得到所求和【解答】解：（）a 11，a n+an+1pn
31、+1，可得a1+a2p+1，a 2+a32p+1 ，a 3+a43p+1，解得 a2p，a 3p+1，a 42p，若 a1，a 2，a 4 成等比数列，可得 a22a 1a4，即 p22p，解得 p2（0 舍去） ；（）若 p1，可得 an+an+1n+1，当 n 为偶数时前 n 项和 Sn（a 1+a2）+（a 3+a4）+（a n1 +an）2+4+ +n （2+n） ；当 n 为奇数时，S na 1+（a 2+a3）+ （a 4+a5）+（a n1 +an）1+3+5+n （1+ n） 综上可得 Sn 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，以及数列的求和
32、方法：并项求和，考查运算能力，属于中档题18 （12 分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：学号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22数学1171289611313613912112412111511512312511712312213212996105106120物理80 81 8385 89 81 91 78 85 91 72 76 87 82 79 82 81 89 6373 77 45学号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
33、 41 42 43 44第 18 页（共 25 页）数学 108 137 87 95 108 119 101 128 125 74 81 135 101 97 116 102 76 100 62 86 120 101物理 76 80 71 57 72 65 69 79 0 55 56 77 63 70 75 63 59 64 42 62 77 65用这 44 人的两科成绩制作如下散点图：学号为 22 号的 A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为 31 号的 B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将 A、B 两同学的成绩（对应于图中 A、B 两点）剔除后，用
34、剩下的 42 个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为 110.5，标准差为 18.36，物理学科的平均分为 74，标准差为 11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为 0.8222，回归直线 l（如图所示）的方程为 y0.5006x +18.68（）若不剔除 A、B 两同学的数据，用全部 44 的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为 0，回归直线为 l0，试分析 0 与 的大小关系，并在图中画出回归直线 l0 的大致位置（）如果 B 同学参加了这次物理考试，估计 B 同学的物理分数（精确到个位）：（）就这次考试而言，学号为 16 号的 C
35、 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式 Zi 统一化成标准分再进行比较，其中 Xi 为学科原始分， 为学科平均分，s 为学科标准差） 【分析】 （）判断出 0，根据相关数据分析判断即可；（）代入 x 的值，求出 y 的预报值即可；（）根据原始分，分别求出标准分，判断即可【解答】解：（） 0，说明理由可以是：离群的点 A， B 会降低变量间的线性关联程度，第 19 页（共 25 页）44 个数据点与回归直线 l0 的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，42 个数据点与回归直线 l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，42 个数据点
36、更加贴近回归直线 l，44 个数据点与回归直线 l0 更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线 l0 斜率须大于 0 且小于 l 的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；（）令 x125，代入 y0.5006x +18.6881，故估计 B 同学的物理分数大约是 81 分；（）由表中知 C 同学的数学原始分为 122，物理原始分为 82，数学标准分为 Z16 0.63，物理标准分为 Z16 0.72，0.720.63，故 C 同学物理成绩比数学成绩要好一些【点评】本题考查了回归方程问题，考查相关系数以及转化思想，是一道常规题19 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，A
37、D1，E、F 分别是 CD 边上的三等分点将ADF ，BCE 分别沿 AF、BE 折起到ADF、BCE 的位置，且使平面ADF 底面 ABCD，平面 BCE底面 ABCD，连结 D'C（）证明：DC平面 ABEF；（）求点 A 平面 EFDC 的距离第 20 页（共 25 页）【分析】 （）分别过 D， C作 AF，BE 的垂线，垂足为 M，N，连结 MN，推导出DM平面 ABEF，CN平面 ABEF，从而 DMCN，进而四边形 DMNC为平行四边形，DCMN，由此能证明 DC 平面 ABEF（）连结 DD，设点 A 到平面 EFDC 的距离为 h，由 VADFD V DADF ，能求
38、出点 A 平面 EFDC 的距离【解答】证明：（）分别过 D，C作 AF，BE 的垂线，垂足为 M，N，连结 MN，平面 ADF平面 ABEF，且平面 ADF平面 ABEFAF，DM平面 ABEF，同理可证 CN平面 ABEF，DMCN，ADF BCE ，DM C N，四边形 DMNC为平行四边形，DC MN，DC平面 ABEF，MN 平面 ABEF，DC平面 ABEF解：（）连结 DD，在 RtD AF 中，DFAD 1，DM ， ，V DADF ，设点 A 到平面 EFDC 的距离为 h， 1，D FDF 1，S DFD ，V ADFD ，V ADFD VDADF ， ，第 21 页（共
39、25 页）解得 h ，点 A 平面 EFDC 的距离为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20 （12 分）已知过点 D（4 ，0）的直线 1 与椭圆 C： 1 交于不同的两点A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，其中 y1y20，O 为坐标原点（）若 x10，求OAB 的面积：（）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA 与 TB 的斜率互为相反数？【分析】 （）根据对称性可得直线 k 的方程，求出点 B 的坐标，即可求出三角形的面积，（）设直线 l：x my +4，根据韦达定理
40、和斜率公式，结合直线 TA 与 TB 的斜率互为相反数，即可求出【解答】解：（）当 x10 时，A（0，1）或 A（0，1） ，由对称性，不妨令 A（0，1） ，此时直线 l：x+4y40，联立 ，消 x 整理可得 5y28y +30，解得 y11，或 y2 ，故B（ ， ） ，所以OAB 的面积为 1 ，（）显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l：xmy+4，联立 ，消去 x 整理得（m 2+4）y 2+8my+120，所以64m 2412（m 2+4）0，即 m212，则 y1+y2 ，y 1y2 ，设 T（t，0） ，第 22 页（共 25 页）则kTA+kTB + ，因为直线 TA
41、与 TB 的斜率互为相反数，所以 kTA+kTB0，即 2my1y2+（4t） （y 1+y2） + 0，解得 t1，故 x 轴上存在定点 T（1，0） ，使得直线 TA 与 TB 的斜率互为相反数【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21 （12 分）已知 a 是常数函数 f（x ）（xalnx）lnxx（）讨论函数 f（x ）在区间（0，+）上的单调性；（）若 0a1，证明：f（ ea）1【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（）问题等价于 1，令 g（a） （0a1） ，根据函数的单调性证明即可【
42、解答】解：（）f（x ）（1 ）lnx ，若 a 0，则由 f（x ） 0，解得：x 1，且 f（x） 0，解得：0x1，由 f（x）0 ，解得：x1，故 f（x）在（0 ，1）递减，在（1，+）递增；若 a 0，则由 f（x ） 0 解得：x 1 或 x2a，（i）若 2a1 即 0a 时，由 f（x）0 ，解得：2ax1，由 f（x ）0，解得：0x2a 或 x1，故 f（x）在（2 a，1）递减，在（1，+）递增；（ii）若 2a1 即 a 时，f（x ）0，f（x）在（0，+）递增；（iii ）若 2a1 即 a 时，由 f（x）0 ，解得：1x2a，由 f（x ）0，解得：0x1 或
43、 x2a，故 f（x）在（0 ，1）递增，在（1，2a）递减，在（2a，+）递增；第 23 页（共 25 页）（）f（e a） a（e aa 2）e a，由 f（e a） 1 得 a（e aa 2）e a1，故（a1）e aa 31（*） ，而 0a1，故（*）等价于 eaa 2+a+1 1，令 g（a） （0a1） ，则 g（a） 0，故 g（a）在（0，1）递增，故 g（a）g（0）1，故 f（e a） 1【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在直角坐标系 xOy
44、 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a0） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （）若 a2，求曲线 C 与 l 的普通方程；（）若 C 上存在点 P，使得 P 到 l 的距离为 ，求 a 的取值范围【分析】 （）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之进行转换（）利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论的方法，对无理不等式进行求解，最后求出 a 的取值范围【解答】解：（）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a0） ，由于：a2，故： （ 为参数） ，所以转换为直角坐标方程为： 直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 第 24 页（共 25 页）转换为直角坐标方程为
45、x+y20（）设点 P（acos，sin ） ，则：点 P 到直线的距离 d ，当 时，即 a 时， ，当 时，即： 时，由于： ，当 a 时， ，解得：故：a 的取值范围是： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，无理不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+ x，aR （）若 f （1）+f（2）5，求 a 的取值范围；（）若 a，bN*，关于 x 的不等式 f（x）b 的解集为（， ） ，求 a，b 的值【分析】 （）通过讨论 a 的范围，去掉绝对值，求出 a 的范围即可；（）通过讨论 x 的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集，得到关于 a，b 的不等式组，求出 a，b 的值即可第 25 页（共 25 页）【解答】解：（）由 f（1） +f（2）5 得|1a|+|2 a|2，当 a2 时，a1+a22，解得：a ，当 1a2 时，a1+2a2，不等式无解，当 a1 时，1a+2a2，解得：a ，综上，a 的范围是（， ）（ ，+） ；（）f（x） b，|x a|+ xb，当 xa 时，xa+x b，解得： x ，当 xa 时，ax +xb，得 ab，由不等式的解集是（， ） ，则 ，又 a，bN *，故 a1，b2