1、2019 年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| ylg（x2），B（2， 3） ，则 AB （ ）A （2，2）（2，3） B （2，2）C （2，3） D2，3）2 （5 分）已知 aR，i 是虚数单位，若 ， ，则 a（ ）A 或 B1 或1 C2 D23 （5 分）已知向量 ，若 ，则 的值为（ ）A3 B C D34 （5 分）已知函数 ，则 f（x ） （ ）A是奇函数，且在 R 上是增函数B是
2、偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数5 （5 分）已知曲线 C1：y sinx，C 2： ，则下面结论正确的是（ ）A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲
3、线 C26 （5 分）已知数列a n满足（n+1）a nna n+1（nN*） ，a 22，等比数列 bn满足第 2 页（共 27 页）b1a 1，b 2a 2，则b n的前 6 项和为（ ）A64 B63 C64 D1267 （5 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（ ）A第一种生产方式的工人中，
4、有 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟B第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为 80D无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是 80 分钟8 （5 分）如图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC2，AC 4，在ABC 上任取一点，则此点取自正方形 DEFC 的概率为（ ）A B C D9 （5 分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上下两部分的体积比为（ ）第
5、 3 页（共 27 页）A B C D10 （5 分）过双曲线 两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（ ）A2 B C D11 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，底面圆周上的两点 A、B 满足SAB 为等边三角形，且面积为 ，又知 SA 与圆锥底面所成的角为 45，则圆锥的表面积为（ ）A B C D12 （5 分）已知点 P 在直线 x+2y10 上，点 Q 在直线 x+2y+30 上，M （x 0，y 0）为PQ 的中点，且 y02x 0+1，则 的取值范围是（ ）A BC D二、填空题：本题共 4 小题，每
6、小题 5 分，共 20 分13 （5 分）命题“对x 1，1 ，x 2+3x10”的否定是 ；14 （5 分）在曲线 f（x ）x 34x 的所有切线中，斜率最小的切线方程为 15 （5 分）若圆 x2+y21 与圆 x2+y26x8ym0 相切，则 m 的值为 16 （5 分）如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第 i 行第 j 列的数为，则 an4 第 4 页（共 27 页）三、解答题：共 70 分，解答
7、应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中， ， ，点 D 在 BC 上， （1）求 AD 的长；（2）若ABD 的面积为 ，求 AB 的长；18 （12 分）如图，在四边形 ABED 中，AB DE ，ABBE，点 C 在 AB 上，且AB CD，ACBCCD 2，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且PE （1）求证：平面 PBC平面 DEBC；（2）求三棱锥 PEBC 的体积19 （12 分）某地种植常规稻 A
8、 和杂交稻 B，常规稻 A 的亩产稳定为 500 公斤，统计近年来数据得到每年常规稻 A 的单价比当年杂交稻 B 的单价高 50%统计杂交稻 B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近 10 年来杂交稻 B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 10 组数据记为（x i，y i）第 5 页（共 27 页）（i1，2，10） ，并得到散点图如图，参考数据见下（1）求出频率分布直方图中 m 的值，若各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 B 的亩产平均值；（2）判断杂交稻 B 的单价 y（单位：元/ 公斤）与种植亩数 x（单位：万亩）是否线性相关，若相关，试根据以下
9、统计的参考数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；（3）调查得到明年此地杂交稻 B 的种植亩数预计为 2 万亩，估计明年常规稻 A 的单价，若在常规稻 A 和杂交稻 B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60， 2.82， （x i ） ）y i ）0.52， （x i ）20.65，附：线性回归方程 ，b 20 （12 分）已知椭圆 C： ，直线 （mR）与椭圆 C 交于不同的两点 A、 B（1）若 ，求 m 的值；（2）试求|OA| 2|OB| 2|（其中 O 为坐标原点）的最大值21 （12 分）已知函数 （a1，e 是自然对数的底，e2.72）（1）讨论 f（x ）
10、的单调性；（2）若 0a1，x 0 是函数 f（x）的零点，f'（x ）是 f（x）的导函数，求证：（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第第 6 页（共 27 页）一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos2a 2（a R，a 为常数） ，过点 P（2，1） 、倾斜角为 30的直线 l 的参数方程满足 ， （t 为参数） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A
11、、B 两点（点 P 在 A、B 之间） ，且| PA|PB|2，求 a和|PA | |PB|的值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +1| x1|，（1）求函数 f（x ）的值域；（2）若 x 2，1时，f（x）3x+a，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 27 页）2019 年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| ylg（x2），B（2， 3） ，则 AB （ ）A （2，2）（2，3）
12、B （2，2）C （2，3） D2，3）【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x2；AB（2，3） 故选：C【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算2 （5 分）已知 aR，i 是虚数单位，若 ， ，则 a（ ）A 或 B1 或1 C2 D2【分析】根据复数的定义与运算法则，列出方程求出 a 的值【解答】解： ，则 ai ，又 ，则 3+（a） 24，解得 a1，a 的值为 1 或1故选：B【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题3 （5 分）已知向量 ，若 ，则 的值为（ ）A3 B C D3【分析】可求出
13、，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 的值【解答】解： ； ；第 8 页（共 27 页） ；3故选：A【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算4 （5 分）已知函数 ，则 f（x ） （ ）A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（x ）2 x（ ） xf （x） ，则函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质可得 y（ ） x 在 R 上为减函数，y2 x 在 R 上为增函数，则函数 f（x ）（ ） x2 x 在 R 上为减函
14、数，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，f（ x）（ ） x2 x，有 f（x）2 x（ ） xf （x） ，则函数 f（x ）为奇函数，又由 y（ ） x 在 R 上为减函数，y 2 x 在 R 上为增函数，则函数 f（x）（ ）x 2x 在 R 上为减函数，故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题5 （5 分）已知曲线 C1：y sinx，C 2： ，则下面结论正确的是（ ）A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原
15、来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移第 9 页（共 27 页）个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果【解答】解：曲线 C1：y sinx，把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 ysin2 x，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2： ，故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变
16、换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型6 （5 分）已知数列a n满足（n+1）a nna n+1（nN*） ，a 22，等比数列 bn满足b1a 1，b 2a 2，则b n的前 6 项和为（ ）A64 B63 C64 D126【分析】由数列a n满足（n+1）a nna n+1（nN*） ，可得 ，即可得到ann，再根据等比数列的求和公式即可求出【解答】解：数列a n满足（n+1）a nna n+1（nN*） ， ，数列 为以 1 的常数列， 1，a nn等比数列b n满足 b1a 11，b 2a 22，q2，b n的前 6 项和为 63，故选：B第
17、10 页（共 27 页）【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算和求解能力，属于中档题7 （5 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（ ）A第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟B第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为
18、 80D无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是 80 分钟【分析】第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过 80 分钟第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到 80 分钟【解答】解：由茎叶图的性质得：在 A 中，第一种生产方式的工人中，有： 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟，故 A 正确；在 B 中，第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故 B 正确；在 C 中，这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为： 80，故 C 正确；在 D 中，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过 80 分钟第二种生产方式的
19、工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到 80 分钟，故 D 错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （5 分）如图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC2，AC 4，在第 11 页（共 27 页）ABC 上任取一点，则此点取自正方形 DEFC 的概率为（ ）A B C D【分析】由 DEBC 则有 ，即 ，解得 x ，由几何概型中的面积型得：P（A） ，得解【解答】解：设 CDx，由 DEBC 则有 ，即 ，解得 x ，设在ABC
20、 上任取一点，则此点取自正方形 DEFC 为事件 A，由几何概型中的面积型得：P（A） ，故选：B【点评】本题考查了相似比及几何概型中的面积型，属中档题9 （5 分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上下两部分的体积比为（ ）第 12 页（共 27 页）A B C D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：由三视图知该几何体是下方为长方体上方为一直三棱柱的组合体，几何体的直观图如图：其上下体积比为 故选：C【点评】本题考查三视图求解几何体的体积的应用，考查空间想象能力以及计算能力10 （5 分）过双曲
21、线 两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（ ）A2 B C D【分析】将 xc 代入双曲线方程可得纵坐标，再由正方形的定义可得 a，b，c 的关系，由离心率公式，解方程可得所求值【解答】解：将 xc 代入双曲线的方程得 ，则 2c ，即有 acb 2c 2a 2，由 e ，可得：e2e10，解得 故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题11 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，底面圆周上的两点 A、B 满足SAB 为等边三角形，且第 13 页（共 27 页）面积为 ，又知 SA 与圆
22、锥底面所成的角为 45，则圆锥的表面积为（ ）A B C D【分析】根据题意画出图形，结合题意求出圆锥的母线长 l 和底面底面圆半径 r，从而求得圆锥的表面积【解答】解：如图所示，设圆锥母线长为 l，由SAB 为等边三角形，且面积为 ，得 l24 ，解得 l4；设圆锥底面半径为 r，由 SA 与圆锥底面所成的角为 45，得 r4cos452 ；所以圆锥的表面积为 故选：C【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，也考查了圆锥表面积的计算问题，是基础题12 （5 分）已知点 P 在直线 x+2y10 上，点 Q 在直线 x+2y+30 上，M （x 0，y 0）为PQ 的中点，且
23、y02x 0+1，则 的取值范围是（ ）A BC D【分析】根据直线平行的性质求出 M 的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可【解答】解：因直线 x+2y10 与 x+2y+30 平行，故点 M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，第 14 页（共 27 页）其方程为 x+2y+10，即点 M（x 0，y 0）满足 x0+2y0+10，而满足不等式 y02x 0+1 的点在直线 y2x+1 的上方，易得直线 x+2y+10 与 y2x +1 的交点为 ，故问题转化为求射线（不含端点）x 0+2y0+10（ ）上的点 M（x 0，y 0）与坐标原点（0，0）连线斜
24、率、即 的取值范围，故 故选：B【点评】本题主要考查直线斜率的求解，利用直线平行的性质求出中点的轨迹方程以及利用直线的斜率公式是解决本题的关键二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）命题“对x 1，1 ，x 2+3x10”的否定是 x1，1 ，x 2+3x10 ；【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为x1，1，x 2+3x10故答案为 x1，1，x 2+3x10【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14 （5 分）在曲线 f（x ）x 34x 的所有切线中，斜率最小的切线方程为 y4x 【分析】求
25、出原函数的导函数，可得导函数的最小值，求出使导函数取最小值的 x 值，则答案可求【解答】解：由 f（x ）x 34x，得 f（x）3x 244，当 x0 时取“” ，此时切点为（0，0） ，则切线方程为 y4x 故答案为：y4x 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查二次函数的最值，是中档题第 15 页（共 27 页）15 （5 分）若圆 x2+y21 与圆 x2+y26x8ym0 相切，则 m 的值为 9 或 11 【分析】由圆 x2+y26x 8ym 0，求出圆心和半径，分两圆内切和外切两种情况，求出 m 的值即可【解答】解：圆 x2+y26x 8ym 0 的圆心为（3
26、，4） ，半径 ，若两圆外切，则 ，解得 m9，若两圆内切，则 ，解得 m11故答案为：9 或 11【点评】本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题16 （5 分）如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第 i 行第 j 列的数为，则 an4 【分析】a n4 位于第 n 行第 4 列，且第一列的公差为 ，每一行的公比均为 ，即可求得结论【解答】解：a n4 位于第 n 行第 4 列，且第一列的公差为 ，每一行的公比均为 ，由等差数列的通项公式知第 n 行第一个数为 ，
27、故 故答案为：【点评】本题考查数列的性质和应用，考查学生的读图能力，寻找数量间的相互关系，总结规律是解题的关键三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）第 16 页（共 27 页）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中， ， ，点 D 在 BC 上， （1）求 AD 的长；（2）若ABD 的面积为 ，求 AB 的长；【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinADC 的值，利用正弦定理可求 AD 的值（2）由已知利用三角形的面积公
28、式可求 BD 的值，利用诱导公式可求 cosADB 的值，根据余弦定理可求 AB 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1） ，且 0ADC， ，（2 分）正弦定理有 ，得 ；（5 分）（2） ，（6 分） ， ，得 BD2， （8 分）又 ，（9 分）由余弦定理得 ，AB3（12 分）第 17 页（共 27 页）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）如图，在四边形 ABED 中，AB DE ，ABBE，点 C 在 AB 上，且AB CD，ACBCCD 2，
29、现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且PE （1）求证：平面 PBC平面 DEBC；（2）求三棱锥 PEBC 的体积【分析】 （1）推导出 ABBE，AB CD ，从而 BECD，由 ACCD，得 PCCD，从而 PCBE，再由 BCBE ，得到 EB平面 PBC，由此能证明平面 PBC平面 DEBC（2）法 1：由 ABDE ，结合 CDEB 得 BE CD2，推导出 EBPB，利用，能求出三棱锥 PEBC 的体积法 2：由 ABDE ，结合 CDEB 得 BECD2，推导出 EBPB，由 PE ，取BC 的中点 O，连结 OP，则 ，PO 平面 EBCD，由此能求出三
30、棱锥 PEBC 的体积【解答】证明：（1）ABBE，AB CD ，BE CD，ACCD，PCCD，PCBE，又 BCBE，PCBCC，EB平面 PBC，又EB 平面 DEBC，平面 PBC平面 DEBC解：（2）解法 1：ABDE，结合 CDEB 得 BECD2，第 18 页（共 27 页）由（1）知 EB平面 PBC，EBPB，由 PE得 ，PBC 为等边三角形， ，三棱锥 PEBC 的体积 解法 2：ABDE ，结合 CDEB 得 BECD2，由（1）知 EB平面 PBC，EBPB，由 PE ，得 ，PBC 为等边三角形，取 BC 的中点 O，连结 OP，则 ，POBC，PO平面 EBCD
31、，三棱锥 PEBC 的体积 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）某地种植常规稻 A 和杂交稻 B，常规稻 A 的亩产稳定为 500 公斤，统计近年来数据得到每年常规稻 A 的单价比当年杂交稻 B 的单价高 50%统计杂交稻 B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近 10 年来杂交稻 B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 10 组数据记为（x i，y i）（i1，2，10） ，并得到散点图如图，参考数据见下第 19 页（共
32、27 页）（1）求出频率分布直方图中 m 的值，若各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 B 的亩产平均值；（2）判断杂交稻 B 的单价 y（单位：元/ 公斤）与种植亩数 x（单位：万亩）是否线性相关，若相关，试根据以下统计的参考数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；（3）调查得到明年此地杂交稻 B 的种植亩数预计为 2 万亩，估计明年常规稻 A 的单价，若在常规稻 A 和杂交稻 B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60， 2.82， （x i ） ）y i ）0.52， （x i ）20.65，附：线性回归方程 ，b 【分析】 （1）根据概率的性质：所有概率之和为 1 列
33、式可得 m 的值，再用每组数据的中点值与该组概率相乘再相加；（2）根据斜率求 ，根据 +a 求得 a，从而可得线性回归方程；（3）在线性回归方程中，令 x2，求得 B 的单价，从而可得 A 的单价，再算出 A，B的每亩平均收入进行比较可得【解答】解：（1）由 m30+0.0120+0.0220+0.025101，解得m0.005（2 分）过程一：杂交稻 B 的亩产平均值为：（730+790+800）0.005+（740+780）0.01+（750+770）0.02+7600.025第 20 页（共 27 页）10116+152+304+190762（5 分）过程二：设杂交稻 B 的亩产数据为
34、n 个，则杂交稻 B 的亩产平均值为：116+152+304+190762（5 分）（2）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻 B 的单价 y 与种植亩数 x 线性相关，（6 分）由题目提供的数据得： ，由 得 ，所以线性回归方程为 （8 分）（3）明年杂交稻 B 的单价估计为 元/公斤，明年常规稻 A 的单价估计为 2.50（1+50%）3.75 元/ 公斤；（10 分）明年常规稻 A 的每亩平均收入估计为 5003.751875 元/亩，明年杂交稻 B 的每亩平均收入估计为 7622.501905 元/亩，因 19051875，所以明年选择种杂交稻 B 收入更高（12
35、 分）【点评】被踢考查了线性回归方程，属中档题20 （12 分）已知椭圆 C： ，直线 （mR）与椭圆 C 交于不同的两点 A、 B（1）若 ，求 m 的值；第 21 页（共 27 页）（2）试求|OA| 2|OB| 2|（其中 O 为坐标原点）的最大值【分析】 （1）根据弦长公式即可求出 m 的值，（2）根据韦达定理定理表示出|OA |2|OB| 2| ，再用基本不等式即可求出【解答】解：（1）由 消去 y 并整理得 ，直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B， ，即2m 2，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， 即 ，解得 （2）|OA| 2 |OB|2 ，又 ，
36、|OA| 2| OB|2| ，|OA| 2| OB|2| ，即|OA| 2| OB|2|的最大值为 1 （当且仅当 时，取得最大值）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 （a1，e 是自然对数的底，e2.72）（1）讨论 f（x ）的单调性；第 22 页（共 27 页）（2）若 0a1，x 0 是函数 f（x）的零点，f'（x ）是 f（x）的导函数，求证：【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）法一：根据分析法证明即可；法二：根据综合法证明即可【解
37、答】解：（1） ，（1 分）设 （x0） ，由 和 在（0，+）上单调递增，由 x0 得 ，可知 g（x）在（0，+）上单调递增，又 g（1）0，所以当 x（0， 1）时，g（x）0，当 x（1，+）时，g（x）0，当 a 0 时， xa0，当 x（0，1）时， f'（x ） 0；当 x（1，+）时，f'（x）0（3 分）当 0 a1 时，由 f'（x ） 0 得 xa 或 x1，当 x（0，a）时， xa0，g（x）0，f '（x）0；当 x（a，1）时， f'（x ） 0；当 x（1，+）时，f'（x）0（5 分）综上所述：当 a0 时，f（
38、x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当 0a1 时，f（x ）在（0，a）单调递增，在（a，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增（6 分）（2）方法一（分析法）：当 0a1 时，由（1）知 f（ x）在（0，1 上的最大值为 f（a） ，可知 f（a）e a1 +alnaa0，所以 f（x）在（0，1上无零点若 x0 是函数 f（ x）的零点，则第 23 页（共 27 页）x01，（7 分） ，由 yxa 和 在（1，+）上单调递增，且 、xa0，设 h（x）f' （x） ，则 ，由 x1 得 ， ，所以 h'（x）0，可知 f'（x ）在（1，+）上
39、单调递增，（8 分）要证 ，只需证 ，（9 分）由（1）知 f（x ）在（1，+）上单调递增，只需证 ，又 f（x 0）0，（10 分）只需证 且 f（3）0. ，由 ， ，得 ，又 ，所以 ；f（3）（2a）e 2+aln33，由 2a1 得 f（3）e 2+aln330，综上所述，得证（12 分）方法二（综合法）：第 24 页（共 27 页）当 0a1 时，由（1）知 f（ x）在（0，1 上的最大值为 f（a） ，可知 f（a）e a1 +alnaa0，所以 f（x）在（0，1上无零点若 x0 是函数 f（ x）的零点，则x01，（7 分）而 ，由 ， ，得 ，又 ，所以 ；f（3）（2
40、a）e 2+aln33，由 2a1 得 f（3）e 2+aln330，所以 ，又 f（x 0）0，即 ，（9 分）由（1）知 f（x ）在（1，+）上单调递增，所以 ，（10分）而 ，由 yxa 和 在（1，+）上单调递增，且 、xa0，可知 f'（x ）在（1，+）上单调递增，（11 分）所以 ，得证（12 分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）以原点 O 为极点，
41、 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐第 25 页（共 27 页）标方程为 2cos2a 2（aR，a 为常数） ，过点 P（2，1） 、倾斜角为 30的直线 l 的参数方程满足 ， （t 为参数） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间） ，且| PA|PB|2，求 a和|PA | |PB|的值【分析】 （1）先用二倍角余弦公式变形再利用互化公式 x cos，y sin 可得 C 的普通方程，根据点 P（2，1）和倾斜角 30可得直线 l 的参数方程；（2）联立直线 l 的参数方程与
42、 C 的普通方程，再根据参数 t 的几何意义可得【解答】解：（1）由 2cos2a 2 得 2（cos 2sin 2）a 2，（1 分）又 xcos ，ysin ，得 x2y 2a 2，C 的普通方程为x2y 2a 2，（2 分）过点 P（2，1） 、倾斜角为 30的直线 l 的普通方程为 ，（3 分）由 得直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ；（5 分）（2）将 代入 x2y 2a 2，得 ，第 26 页（共 27 页）（6 分）依题意知则上方程的根 t1、t 2 就是交点 A、B 对应的参数， ，由参数 t 的几何意义知|PA| PB| t1|t2| t1t2|，得|t 1t2|2，点 P 在 A、B 之间，t 1t20，t 1t22，即 2（3a 2）2，解得 a24（满足 0） ，a2，（8 分）|PA | |PB| |t1| t2| t1+t2|，又 ， （10 分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +1| x1|，（1）求函数 f（x ）的值域；（2）若 x 2，1时，f（x）3x+a，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）法一：根据绝对值不等式的性质求出函数的值域，法二：求出 f（x）的分段函数的形式，求出函数的值域即可