1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第 289 页)A 组 基础对点练1(2016高考全国卷 )体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( A )A12 B 323C8 D42平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则2此球的体积为( B )A. B4 6 3C4 D6 6 33某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )A. B43 52C. D373解析：由三视可知该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体VV三棱柱 V 三棱锥 211 211 .12 13 12 434三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC 且 PA2，ABC
2、 是边长为 的等边三3角形，则该三棱锥外接球的表面积为( C )A. B443C8 D205某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( D )A2 B2 2C. D23 36已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，PC 为球 O 的直径，该三棱锥的体积为 ，则球 O 的表面积为( A )26A4 B8C12 D167现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 .7解析：设新的底面半径为 r，由题意得r2
3、4 r28 5242 28，解得 r .13 13 78已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上，且AB3，BC ，过点 D 作 DE 垂直于平面 ABCD，交球 O 于 E，则棱锥3EABCD 的体积为 2 . 3解析：如图所示，BE 过球心 O，DE 2，42 32 32VEABCD 3 22 .13 3 39已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AHHB 12，AB平面 ，H 为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为 .92解析：如图，设截面小圆的半径为 r，球的半径为 R，因为 AHHB12，所以 OH R.由勾股定理，有 R2r 2OH 2
4、，又由题意得 r2 ，则 r1，故13R21 2，即 R2 .由球的表面积公式，得 S4R 2 .(13R) 98 9210(2016高考全国卷 ) 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点E，F 分别在 AD，CD 上， AECF ，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置(1)证明：AC HD；(2)若 AB5，AC6，AE ，OD2 ，求五棱锥 DABCFE 的体积54 2解析：(1)证明 ：由已知得 ACBD，AD CD .又由 AECF，得 ，故 ACEF.AEAD CFCD由此得 EFHD ，EF HD ，所以 ACHD.(2)由 EF
5、AC，得 .OHDO AEAD 14由 AB5，AC6，得 DOBO 4.AB2 AO2所以 OH1，DHDH3.于是 OD 2OH 2(2 )21 29DH 2，2故 ODOH.由(1)知，AC HD，又 ACBD，BD HD H，所以 AC平面 BHD，于是 ACOD.又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面 ABC.又由 ，得EFAC DHDOEF .92五边形 ABCFE 的面积 S 68 3 .所以五棱锥 DABCFE 的12 12 92 694体积 V 2 .13 694 2 2322B 组 能力提升练1已知 A，B 是球 O 的球面上两点， AOB 90，C 为该球面上的动点若
6、三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( C )A36 B64C144 D2562(2016高考全国卷 )在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB 6， BC8，AA 13，则 V 的最大值是( B )A4 B92C6 D3233已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为( A )A. B26 36C. D23 224四棱锥 SABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取
7、得最大值时，其表面积等于 88 ，3则球 O 的体积等于( A )A. B323 3223C16 D1623解析：依题意，设球 O 的半径为 R，四棱锥 SABCD 的高为 h，则有 hR ，即 h 的最大值是 R，易得 AB R，所以四棱锥 SABCD 的体积2VSABCD 2R2h .因此，当 hR 时，四棱锥 SABCD 的体积最大，其13 2R33表面积等于( R)24 R 88 ，解得 R2，因此球 O212 2 ( 2R2)2 R2 3的体积为 ，故选 A.4R33 3235已知正四棱锥 OABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心，OA322 3为半径的球的表面积为 2
8、4 .解析：过 O 作底面 ABCD 的垂线段 OE(图略) ，则 E 为正方形 ABCD 的中心由题意可知 ( )2OE ，所以 OE ，故球的半径 ROA13 3 322 322 ，则球的表面积 S4 R224.OE2 EA2 66一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，3则该六棱锥的侧面积为 12 .解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为 h，则6 22h2 ，解得 h1，底面正六边形的中心到其边的距离为 ，13 34 3 3故侧面等腰三角形底边上的高为 2，故该六棱锥的侧面积为3 112212.127多面体的三视图如图所示，则该多面体的体
9、积为 cm 3.323解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥 DABC 中，底面 ABC 是等腰三角形，设底边 AB 的中点为 E，则底边 AB 及底边上的高 CE均为 4，侧棱 AD平面 ABC，且 AD4，所以三棱锥 DABC 的体积 V S13ABCAD 444 (cm3)13 12 3238一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 m 3.83解析：由三视图可得该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体，圆柱的底面圆的半径为 1 m，高为 2 m，圆锥的底面圆的半径和高都是 1 m，且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面重合，故该组合体的体积为 22 (
10、m3)13 839如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若ABC120，AE EC，三棱锥 EACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧63面积解析：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 BEAC.而 BD BEB，BD，BE平面 BED，所以 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120 ，可知AGGC x，GB GD .32 x2因为 AEEC，所以在 RtA
11、EC 中，可得 EG x.32由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE x.22由已知得，三棱锥 EACD 的体积VEACD ACGDBE x3 ，13 12 624 63故 x2.从而可得 AEECED .6所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 ，5故三棱锥 EACD 的侧面积为 32 .510(2018贵阳质检 )如图，ABC 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC平面 ABC，AB2，EB .3(1)求证：DE平面 ACD；(2)设 ACx，V( x)表示三棱锥 BACE 的体积，求函数 V(x)的解析式及最大值
12、解析：(1)证明： 四边形 DCBE 为平行四边形，CDBE，BC DE.DC平面 ABC，BC 平面 ABC，DCBC.AB 是圆 O 的直径，BCAC，且 DCACC，DC，AC 平面 ADC， BC平面 ADC.DEBC，DE平面 ADC.(2)DC平面 ABC，BE平面 ABC.在 RtABE 中，AB 2，EB .3在 RtABC 中， ACx，BC (0x2)，4 x2SABC ACBC x ，12 12 4 x2V(x) V 三棱锥 EABC x (0x2)36 4 x2x2(4x 2) 24，当且仅当 x24x 2，即 x 时取等号，当(x2 4 x22 ) 2x 时，体积有最大值 .233