1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第 297 页)A 组 基础对点练1如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，平面 ABB1A1 为矩形，ABBC1，AA 1 ，D 为 AA1 的中点，BD 与 AB1 交于点 O，BCAB 1.2(1)证明：CDAB 1；(2)若 OC ，求二面角 ABCB 1 的余弦值33解析：(1)证明：由 AB1B 与DBA 相似，知 DBAB 1，又BCAB 1，BDBCB，AB1平面 BDC，CD 平面 BDC，CDAB 1.(2)由于 OC ，BC1，在ABD 中，可得 OB ， BOC 是直角三角形，33 63BOCO.由(1)知 COAB 1，则 CO平面
2、 ABB1A1.以 O 为坐标原点，OA，OD，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略) ，则 A ，B ，C ，B 1 ，(33，0，0) (0， 63，0) (0，0，33) ( 233，0，0) ， ， .BC (0，63，33) AB ( 33， 63，0) BB1 ( 233，63，0)设平面 ABC，平面 BCB1的法向量分別为 n1(x 1，y 1，z 1)，n 2(x 2，y 2，z 2)，则Error!Error!不妨取 n1( ，1， )，n 2(1， ，2)，2 2 2cosn 1，n 2 ，n1n2|n1|n2| 27035又二面角 ABC
3、B 1为钝二面角，二面角 ABCB 1的余弦值为 .270352(2018高考江苏卷 )如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABAA 12，点P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点(1)求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；(2)求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值解析：如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，设 AC，A1C1的中点分别为 O，O 1，则 OBOC，OO 1OC，OO1OB ，以 为基底，建立空间直角OB ，OC ，OO1 坐标系 Oxyz.因为 AB AA12，所以 A(0， 1,0)，B( ， 0,0)，C(0,1,0)，A 1(0，1,2)
4、，B 1( ，0,2)，3 3C1(0,1,2)(1)因为 P 为 A1B1的中点，所以 P ，(32， 12，2)从而 ， (0,2,2)，BP ( 32， 12，2) AC1 故|cos ， | .BP AC1 |BP AC1 |BP |AC1 | | 1 4|522 31020因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为 .31020(2)因为 Q 为 BC 的中点，所以 Q ，(32，12，0)因此 ， (0,2,2)， (0,0,2)AQ ( 32，32，0) AC1 CC1 设 n(x，y，z)为平面 AQC1的一个法向量，则Error!即Error!不妨取 n( ，1,1)，
5、设直线 CC1与平面 AQC1所成角为 ，3则 sin |cos ，n | ，CC1 |CC1 n|CC1 |n| 252 55所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为 .553如图，三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，ABB 1C.(1)证明：AC AB 1；(2)若 ACAB 1，CBB 160 ，AB BC，求二面角 AA 1B1C 1 的余弦值解析：(1)证明：连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1CBC 1，且 O 为 B1C 及 BC1的中点又 ABB 1C，AB BOB，所以 B1C平面 ABO
6、.由于 AO平面 ABO，故 B1CAO.又 B1OCO，故 ACAB 1.(2)因为 AC AB1，且 O 为 B1C 的中点，所以 AOCO.因为 ABBC，所以 BOABOC.故 OA OB，从而 OA，OB，OB 1两两互相垂直以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位长，建立如图所示的空OB OB 间直角坐标系 Oxyz.因为CBB 160 ，所以CBB 1为等边三角形，又 ABBC，OCOA，则 A ，B(1,0,0)，B 1 ，C .(0，0，33) (0，33，0) (0， 33，0)易知 ， ， .AB1 (0，33， 33) A1B1 AB (1，0， 33
7、) B1C1 BC ( 1， 33，0)设 n(x，y，z)是平面 AA1B1的法向量，则Error!即Error!所以可取 n (1， ， )3 3设 m 是平面 A1B1C1的法向量，则Error!同理可取 m(1， ， )3 3则 cos n，m .nm|n|m| 17所以二面角 AA 1B1C 1的余弦值为 .174(2017高考天津卷 )如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面ABC，BAC90.点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN 平面 BDE；(2)求二面角 CEM N 的正弦值；(3)已知点 H 在棱 P
8、A 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段721AH 的长解析：如图，以 A 为原点，分别以 ， ， 方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方AB AC AP 向建立空间直角坐标系依题意可得 A(0,0,0)，B (2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2) ，M (0,0,1)，N(1,2,0)(1)证明： (0,2,0) ， (2,0，2)DE DB 设 n(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，则Error!即Error!不妨设 z1，可得 n(1,0,1)又 (1,2 ，1) ，可得 n0.MN MN 因为 MN平面 BDE，所以
9、 MN平面 BDE.(2)易知 n1(1,0,0) 为平面 CEM 的一个法向量设 n2(x 1，y 1，z 1)为平面 EMN 的法向量，则Error!因为 (0，2, 1)，EM (1,2 ，1) ，MN 所以Error!不妨设 y11 ，可得 n2(4,1，2)因此有 cosn 1，n 2 ，n1n2|n1|n2| 421于是 sinn 1，n 2 .10521所以二面角 CEMN 的正弦值为 .10521(3)依题意，设 AHh(0 h4)，则 H(0,0，h)，进而可得 (1，2，h)， ( 2,2,2)NH BE 由已知，得|cos ， | NH BE |NH BE |NH |BE
10、 | ，|2h 2|h2 523 721整理得 10h221h80，解得 h 或 h .85 12所以线段 AH 的长为 或 .85 12B 组 能力提升练1(2018长沙师大附中月考)如图，平行四边形 ABCD 中，DAB 60 ，AB2AD2，M 为 CD 边的中点，沿 BM 将CBM 折起使得平面 BMC平面ABMD.(1)求证：平面 AMC平面 BMC；(2)求四棱锥 CADMB 的体积；(3)求折后直线 AB 与平面 ADC 所成的角的正弦值解析：(1)证明： 平面 BMC平面 ABMD，平面 BMC平面 ABMDMB ，由题易知 AMMB ，且 AM平面 ABMD.AM平面 BMC
11、，而 AM平面 AMC，平面 AMC平面 BMC.(2)由已知有CMB 是正三角形，取 MB 的中点 O，则 COMB，又平面 BMC平面 ABMD 于 MB，则 CO平面 ABMD，且 CO .32易求得 S 梯形 ABMD (12) .12 32 334VCABDM .13 334 32 38(3)作 MzCO，由(1)知可如图建系，则 A( ，0,0)，B(0,1,0) ， C ，3 (0，12，32)( ， 1,0)AB 3又 ，得 D .MD 12BA ( 32， 12，0) ， .CA ( 3， 12， 32) CD ( 32， 1， 32)设平面 ACD 的法向量 n (x，y，
12、z)，则Error!不妨取 n(1 ， ，3)3设折后直线 AB 与平面 ADC 所成的角为 ，则 sin .|nAB |n|AB | 39132如图，六面体 ABCDHEFG 中，四边形 ABCD 为菱形，AE，BF ，CG，DH都垂直于平面 ABCD.若 DADHDB4，AE CG3.(1)求证：EGDF；(2)求 BE 与平面 EFGH 所成角的正弦值解析：(1)证明：连接 AC，HF，由 AE 綊 CG 可知四边形 AEGC 为平行四边形，所以 EGAC，而 ACBD，ACBF，所以 EGBD，EGBF，因为BDBFB，所以 EG平面 BDHF，又 DF平面 BDHF，所以 EGDF.
13、(2)设 ACBDO，EG HFP，由已知可得，平面 ADHE平面 BCGF，所以EHFG，同理可得 EFHG，所以四边形 EFGH 为平行四边形，所以 P 为 EG的中点，又 O 为 AC 的中点，所以 OP 綊 AE，从而 OP平面 ABCD，又 OAOB ，所以 OA，OB，OP 两两垂直，由平面几何知识，得 BF2.如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B(0,2,0)，E (2 ，0,3)，F (0,2,2)，3P(0,0,3)，所以 (2 ，2,3)， (2 ，0,0)， (0,2，1)BE 3 PE 3 PF 设平面 EFGH 的法向量为 n(x，y ，z)，由Error!可得
14、Error!令 y1，则 z2，所以 n(0,1,2)设 BE 与平面 EFGH 所成角为 ，则 sin .|BE n|BE |n| 45253(2018高考天津卷 )如图，AD BC 且 AD2BC，ADCD ，EGAD 且EGAD，CDFG 且 CD2FG，DG平面 ABCD，DADCDG2.(1)若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN 平面 CDE；(2)求二面角 EBCF 的正弦值；(3)若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP的长解析：依题意，可以建立以 D 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴
15、的正方向的空间直角坐标系(如图)，DA DC DG 可得 D(0,0,0)，A(2,0,0) ， B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F (0,1,2)，G (0,0,2)，M，N(1,0,2) (0，32，1)(1)证明：依题意 (0,2,0)， (2,0,2)DC DE 设 n0(x，y，z)为平面 CDE 的法向量，则Error!即Error!不妨令 z1，可得 n0(1,0，1)又 ，可得 n00，MN (1， 32，1) MN 又因为直线 MN平面 CDE，所以 MN平面 CDE.(2)依题意，可得 ( 1,0,0)， (1，2,2)， (0，1,2)BC BE C
16、F 设 n(x，y，z)为平面 BCE 的法向量，则Error!即Error!不妨令 z1，可得 n(0,1,1)设 m( x，y， z)为平面 BCF 的法向量，则Error!即Error!不妨令 z1，可得 m(0,2,1)因此有 cosm，n ，mn|m|n| 31010于是 sinm，n .1010所以二面角 EBCF 的正弦值为 .1010(3)设线段 DP 的长为 h(h 0,2)，则点 P 的坐标为(0,0，h)，可得(1，2，h)BP 易知 (0,2,0)为平面 ADGE 的一个法向量，DC 故|cos | ，BP DC |BP DC |BP |DC | 2h2 5由题意，可得
17、 sin 60 ，2h2 5 32解得 h 0,2所以线段 DP 的长为 .33 334直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1AB AC1，E ，F 分别是 CC1，BC 的中点，AEA 1B1，D 为棱 A1B1 上的点(1)证明：DFAE ；(2)是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的平面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位置，若不存在，请说明理由1414解析：(1)证明： AEA 1B1，A 1B1AB，ABAE，又 ABAA 1， AEAA 1A，AB平面 A1ACC1，又 AC平面 A1ACC1，ABAC.以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角
18、坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，E ，F ，A 1(0,0,1)，B 1(1，0,1)(0，1，12) (12，12，0)设 D(x，y，z)， ，且 0,1，A1D A1B1 即(x，y，z1)(1,0,0) ， D(，0,1)， ，又 ，DF (12 ，12， 1) AE (0，1，12) 0， DFAE.DF AE 12 12(2)假设存在满足条件的点 D，设平面 DEF 的法向量为 n(x ，y，z) ，则Error! ， ，FE ( 12，12，12) DF (12 ，12， 1)Error!即Error!令 z2(1)，得 n(3,12，2(1)由题可知平面 ABC 的法向量为 m(0,0,1)，平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的平面角的余弦值为 ，1414|cos m，n| ，|mn|m|n| 1414即 ，|21 |9 1 22 41 2 1414解得 或 (舍去)12 74当点 D 为 A1B1中点时，满足要求