1、单元质检二 函数(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)1.设集合 M=x|2x-10),2(0),A.2 B.0 C.-4 D.-63.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)内单调递增的是( )A.y=- B.y=-x21C.y=e-x+ex D.y=|x+1|4.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),若 f(x)在区间0,1 上单调递增,则 f ,f(1),f 的大小(-32) (43)关系为( )A.f 0 时,函数 f(x)=(x2-ax)ex 的图象大致是( )7.已知函数 f(x)= 若始终
2、存在实数 b,使得函数 g(x)=f(x)-b 的零点不唯一,则 a 的取值-2+,1,2-4,1, 范围是( )A.2,3) B.(-,2) C.(-,3) D.(-,38.已知函数 f(x)= 设 aR,若关于 x 的不等式 f(x) 在 R 上恒成立,则 a 的取值2-+3,1,+2,1. |2+|范围是( )A. B.-4716,2 -4716,3916C.-2 ,2 D.3 -23,3916二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)9.已知 p:函数 f(x)=|x+a|在区间 (-,-1)内是单调函数,q: 函数 g(x)=loga(x+1)(a0,且 a1)在
3、区间(-1,+)内是减函数,则 p 是 q 的 .(填“充分不必要条件 ”“必要不充分条件”“充要条件”或“ 既不充分也不必要条件”) 10.已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x 时,f =f ,则12 (+12) (-12)f(6)= .11.已知 g(x)是 R 上的奇函数,当 xf(x),则实数 x3(0),()(0).的取值范围是 . 12.已知奇函数 f(x)满足对任意 xR 都有 f(x+6)=f(x)成立,且 f(1)=1,则 f(2 015)+f(2 017)= . 13.已知函数 f(x)= 的图象关于原点对称,g(x)=lg(10 x+1)+bx 是偶函数,则 a+b=
4、 . 9-314.已知 f(x)= 若对任意 x t,t+2,不等式 f(x+t)2f(x)恒成立,则 t 的取值范围是 .2,0,-2,0,且 a1)的图象过点(8,2) 和(1,-1) .(1)求函数 f(x)的解析式 ;(2)令 g(x)=2f(x)-f(x-1),求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值.16.(13 分) 已知函数 g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间2,3 上有最大值 4 和最小值 1.设 f(x)= .()(1)求 a,b 的值;(2)若当 x- 1,1时不等式 f(2x)-k2x0 有解,求实数 k 的取值范围.17.(13 分) 已知 f(x)=
5、 (xa).-(1)若 a=-2,试用定义证明 f(x)在区间( -,-2)内单调递增;(2)若 a0,且 f(x)在区间(1,+)内单调递减,求 a 的取值范围.18.(13 分) 已知二次函数 y=f(x)在 x= 处取得最小值- (t0),且 f(1)=0.+22 24(1)求 y=f(x)的解析式;(2)若函数 y=f(x)在区间 上的最小值为-5,求此时 t 的值.-1,1219.(14 分) 已知函数 f(x)=lg ,其中 x0,a0.(+-2)(1)求函数 f(x)的定义域 ;(2)若对任意 x2,+)恒有 f(x)0,试确定 a 的取值范围.20.(14 分) 已知函数 f(
6、x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x0 时,f(x)12 MN= ,故选 A.|120),2(0),3.C 解析 选项 A 中函数是奇函数 ,不合题意;选项 B 中函数在区间(0,+)内单调递减,不合题意;选项 D 中函数为非奇非偶函数 ,不合题意;故选 C.4.C 解析 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1), f(x+2)=f(x). f =f =f ,f =f =f =f .(-32) (-32+2) (12)(43) (43-2) (-23) (23) f(x)在0,1上单调递增 , f 0,可设 a=1,则 f(x)=(x2
7、-x)ex, f(x)=(x2+x-1)ex.由 f(x)=(x2+x-1)ex0,解得 x 或 x1,则 b=-4 时,g( x)=f(x)-b 的零点不唯一,选项 A 错误;当 a=2 时,f(x) =-2+2,1,4-4,1, 则 b= 时,g(x) =f(x)-b 的零点不唯一,选项 B 错误;12当 a=3 时,f(x) = 函数在 R 上单调递增,所以不存在实数 b,使得函数 g(x)=f(x)-b 的零-2+3,1,6-4,1, 点不唯一,选项 D 错误.故选 C.8.A 解析 由函数 f(x)= 易知 f(x)0 恒成立.2-+3,1,+2,1 关于 x 的不等式 f(x) 在
8、 R 上恒成立,|2+| 关于 x 的不等式-f (x) +af(x)在 R 上恒成立,2即关于 x 的不等式-f (x)- af(x)- 在 R 上恒成立.2 2设 p(x)=f(x)- ,则 p(x)=2 2-32+3,1,2+2,1. 当 x1 时,p(x)=x 2- x+3= ,32 (-34)2+3916 当 x1 时,p( x)min= .3916当 x1 时,p(x)= 2 =2,当且仅当 ,即 x=2 时,取等号,2+2 22 2=2 当 x1 时,p(x) min=2. 2, p(x)min=2.3916设 q(x)=-f(x)- ,2则 q(x)=-2+2-3,1,-32-
9、2,1. 当 x1 时,q(x)=-x 2+ -3=- , 当 x1 时,q( x)max=- .2 (-14)24716 4716当 x1 时,q(x)=- =- - 2 ,当且仅当 ,即 x= 时,取等号.322 (32+2) 3 32=2 233 当 x1 时,q(x) max=-2 .3 - -2 , q(x)max=- .4716 3 4716 关于 x 的不等式-f (x)- af(x)- 在 R 上恒成立, - a2.故选 A.2 2 47169.充要条件 解析 由 p 成立, 得 a1.由 q 成立,得 0 时 ,由 f12 (+12)=f 可得 f(x+1)=f(x).(-1
10、2)所以 f(6)=f(51+1)=f(1).而 f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2.所以 f(6)=2.11.-20 时,g(x)=-g(-x)=ln(1+x),故函数 f(x)=3(0),(1+)(0),因此当 x0 时,f( x)=x3 为单调递增函数 ,值域为(-,0 .当 x0 时,f(x)=ln(1+x )为单调递增函数 ,值域为(0,+).所以函数 f(x)在区间(-,+) 内单调递增.因为 f(2-x2)f(x),所以 2-x2x,解得-21).2-1因为2-1=(-1)2+2(-1)+1-1=(x-1)+ +21-12 +2=4,(-1)1-1当且仅当 x-1= ,
11、即 x=2 时,等号成立,函数 y=log2x 在(0,+)内单调递增,所以 log2 -1log 24-1=1,1-1 2-1故当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1.16.解 (1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因为 a0,所以 g(x)在区间2,3上是增函数,故 解得(2)=1,(3)=4, =1,=0.(2)由已知可得 f(x)=x+ -2,所以 f(2x)-k2x0 可化为 2x+ -2k2 x,1 12可化为 1+ -2 k .(12)2 12令 t= ,则 kt 2-2t+1.12因为 x- 1,1,所以 t .12,2记 h(t)=t2-2t+1,因为 t ,所以
12、 h(t)max=1.12,2所以 k1,即实数 k 的取值范围是(-,1 .17.(1)证明 当 a=-2 时,f(x )= (x-2).+2设任意的 x1,x2(-,- 2),且 x10,x1-x20,x2-x10, 要使 f(x1)-f(x2)0,只需(x 1-a)(x2-a)0 在区间(1,+)内恒成立, a1.综上所述,a 的取值范围是(0,1.18.解 (1)设 f(x)=a (a0).(-+22)224因为 f(1)=0,所以 (a-1) =0.24又因为 t0,所以 a=1,所以 f(x)= (t0).(-+22)224(2)因为 f(x)= (t0),(-+22)224所以当
13、 -1 时,+2212f(x)在 上的最小值为 f(x)min=f =-5,-1,12 (12)=(12-+22)224所以 t=- (舍去 ).212综上所述,可得 t=- .9219.解 (1)由 x+ -20,得 0. 2-2+因为 x0,所以 x2-2x+a0.当 a1 时,x 2-2x+a0 恒成立,定义域为(0,+);当 a=1 时,定义域为x|x0,且 x1;当 01+ .1- 1-(2)对任意 x2,+)恒有 f(x)0,即 x+ -21 对 x2,+)恒成立 ,故 a3x-x2 对 x2,+)恒成立.而 h(x)=3x-x2=- 在2,+)内是减函数,(-32)2+94于是
14、h(x)max=h(2)=2.故 a2,即 a 的取值范围是a|a2.20.解 (1)取 x=y=0,则 f(0+0)=2f(0),即 f(0)=0.取 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 恒成立 ,故函数 f(x)为奇函数.(2)任取 x1,x2( -,+),且 x10. f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)f(x2). f(x)在(- ,+)内是减函数. 对任意 x-3,3,恒有 f(x)f(-3) . f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-23=-6, f(-3)=-f(3)=6, f(x)在- 3,3上的最大值为 6.(3) f(x)为奇函数 , 整理原不等式得 f(ax2)+2f(-x)ax-2,即(ax-2)(x-1) 0. 当 a=0 时,x x|x2或 2 时,x .|1综上所述,当 a=0 时,原不等式的解集为 x|x2或 2 时,原不等式的解集为 .|1